Fonctions caract´eristiques

D´efinition 4.2.2 Si Y est une v.a.r, la fonction caract´eristique de Y est la fonction φY :R→R d´efinie par

φY(t) =E(e^itY), (o`u i=√

−1).

Remarquei) Pourtfix´e la v.ae^itY est born´ee par 1 (puisqueY est `a valeurs r´eelles) et est donc int´egrable.

ii) La fonction caract´eristique d’une v.a ne d´epend que de laloide cette v.a.

iii) On peut d´emontrer (en utilisant le th´eor`eme de convergence domin´ee) que la fonction caract´eristique d’une v.a.r est continue et tend vers 0 en±∞.

On peut pr´eciser le r´esultat de continuit´e pr´ec´edent :

Proposition 4.2.1 SiY est une v.a.r int´egrable, alors la fonction caract´eristique de Y est de classe C¹ (d´erivable et de d´eriv´ee continue) et

φ⁰_Y(t) =E

(iY)e^itY

.

De mˆeme, si Y est dans L^p(Ω,P) la fonction caract´eristique de Y est de classe C^p et on a

D´emonstration.— Soit tn une suite de r´eels convergeant vers t. Il suffit de d´emontrer que pour toute telle suite

n→∞lim

4.2. TH ´EOR `EME DE LA LIMITE CENTRALE 79 Pour cela, remarquons que la v.a

Zn(ω) = e^itnY(ω)−e^itY(ω) t_n−t ,

converge simplement (c’est-`a-dire pour toutωfix´e) quandntend vers l’infini vers (itY(ω))e<sup>itY(ω)</sup> (la d´eriv´ee ens =t de s7→e<sup>isY(ω)</sup>). En outre, d’apr`es la formule des accroissement finis, pour tout ω il existe s_n,ω ∈(t, t_n) tel que

e^itnY(ω)−e^itY(ω)

tn−t = (iY(ω)e^isn,ωY(ω), et donc

|Zn(ω)| ≤ |Y(ω)|,

d`es que n est assez grand. Or, le membre de droite de l’in´egalit´e pr´ec´edente est une fonction integrable. Le th´eor`eme de convergence domin´ee s’applique et on a donc

n→∞lim E(Zn) =E((iY)e^itY).

Ceci conclut la preuve de la proposition quand p = 1. Le cas g´en´eral ne pr´esente pas de difficult´es suppl´ementaires.

2 Exercice : Montrer que siZ =aY +b

φZ(t) =e^itbφY(ta).

Calculons `a pr´esent les fonctions caract´eristiques de certaines lois classiques.

v.a discr`etes SiY prend un nombre fini de valeurs y1, . . . , yr et si on note p_r =P(Y =y_r) on a

φY(t) =E(e^itY)

=

r

X

k=1

e^itykP(Y =yk)

=

r

X

k=1

(e^it)^ykP(Y =yk)

et on reconnait (si Y est `a valeurs enti`eres) la fonction g´en´eratrice de Y au point e^it. Le calcul des fonctions caract´eristiques de v.a discr`etes est exacte-ment le mˆeme que celui que nous avons effectu´e dans un chapitre pr´ec´edent.

v.a admettant une densit´e ρY Dans ce cas φY(t) =E(e^itY)

= Z ∞

−∞

e^ityρ_Y(y)dy.

On habituellement ˆρY(t) = R∞

−∞e^ityρY(y)dy et on dit que la fonction ˆρY est latransform´ee de Fourier de la fonction ρY

Exemple : Fonctions caract´eristique d’une gaussienne Rappelons que si Z est une v.a suivant une loi gaussienne N(µ, σ) on peut l’´ecrire sous la forme Z =σY +µo`u Y suit une loi gaussienne normalis´eeN(0,1) de densit´e

ρ(y) = 1

√2πe^−y2/2. On a donc

φ_Y(t) = 1

√2π Z ∞

−∞

e^itye^−y2/2dy.

On a (cf. exercice) :

φY(t) =e^−t2/2.

Ainsi, la fonction d’une caract´eristique d’une v.a suivant une loi gaussienne N(µ, σ) est

φZ(t) =e^{itµ−σ2(t2/2)}.

Mentionnons que l’on peut ´etendre la notion de fonction g´en´eratrice au cas des vecteurs al´eatoires r´eeels.

D´efinition 4.2.3 Si (Y1, . . . , Yn) est un vecteur al´eatoire, la fonction ca-ract´eristique deY est la fonctionφY :Rⁿ→R d´efinie par

φ_Y(t₁, . . . , t_n) =E(e^{i(t1Y1+···+tnYn)}), (o`u i=√

−1).

Liens avec la convergence en loi

Les fonctions caract´eristiques jouent un rˆole important dans les probl`emes o`u inteviennent des convergences en loi. Les deux th´eor`emes qui suivent illus-trent ce fait.

4.2. TH ´EOR `EME DE LA LIMITE CENTRALE 81 Th´eor`eme 4.2.3 La loi d’une v.a.r (resp. d’un vecteur al´eatoire) est d´etermin´ee par sa fonction caract´eristique : si Y et Z sont deux v.a.r (resp. vecteurs al´eatoires) tel(le)s que pour tout t∈R (resp. t∈Rⁿ)

φY(t) =φZ(t),

alors la loi de Y et la loi de Z sont les mˆemes : pour tout bor´elien A de R (resp. de Rⁿ) :

P(Y ∈A) =P(Z ∈A).

Th´eor`eme 4.2.4 La suite de v.a.r (resp. de vecteurs al´eatoires) (Y_n)_n∈^N converge en loi vers Y si et seulement si pour tout t∈R (resp. t∈Rⁿ)

n→∞lim φYn(t) =φY(t).

D´emonstration.— Si Yn converge en loi vers Y, pour toute fonction f continue born´ee et en particulier pour la fonction e_t(y) = e^ity (t fix´e), on a limn→∞E(et(Yn)) = E(et(Y)). La premi`ere partie du th´eor`eme est donc facile.

La preuve de l’implication r´eciproque est plus d´elicate. Nous ne don-nons donc qu’un sch´ema de preuve. La convergence simple des fonctions carct´eristiques est ´equivalente au fait que pour toute fonction f de la forme et(y) = e^ity, E(et(Yn)) converge vers E(et(Y)). Il est ´evident que le mˆeme r´esultat est vrai pour les fonctionsg qui sont combinaisons lin´eaires finies des fonctions et. Or, pour tout > 0, tout intervalle [−A, A] et toute fonction continue f on peut trouver une combinaison lin´eaire finie g des fonctions et

telles que

sup

y∈[−A,A]|f(y)−g(y)|< /5, On a donc

|E(f(Y))−E(f(Yn))| ≤ |E(f(Y))−E(g(Y))|+|E(g(Y))−E(g(Yn))|+

|E(g(Yn))−E(f(Yn))|

≤(/5) +P(|Y|> A) +|E(g(Y))−E(g(Yn))|+ (/5) +P(|Y_n|> A).

Il est clair que P(|Y|> A) tend vers 0 quand A tend vers l’infini, et que le mˆeme r´esultat est vrai si l’on remplaceY parYn n´etant fix´emais il n’est pas

´evident que cette convergence soit uniforme en n. Ceci est l’objet du lemme suivant dont la d´emonstration sort du cadre de ce cours

Lemme 4.2.1 On a

P(|Y_n| ≥A)≤A Z 1/A

−1/A

(1−φ_Yn(t))dt.

Le th´eor`eme de convergence domin´ee et la continuit´e deφY en 0 permettent de d´emontrer qu’il existen(A, ) tel que sin ≥n(A, )

P(|Yn|> A)≤/5

(et ´egalement P(|Y| > A) ≤ /5). L’in´egalit´e pr´ec´edant le lemme permet alors de conclure.

2

Fonctions caract´eristiques et ind´ependance

Th´eor`eme 4.2.5 Les v.a.rY1, . . . , Ynforment une famille de v.a ind´ependantes si et seulement si

φY1,...,Yn(t1, . . . , tn) =φY1(t1)· · ·φYn(tn).

D´emonstration.— 1) Supposons tout d’abord que la familleY1, . . . , Ynsoit ind´ependantes ; on a

E(e^{i(t1Y1+···+tnYn)} =E(e^it1Y1· · ·e^itnYn),

et puisque la famille de v.a e^it1Y1, . . . , e^itnYn est ind´ependante on a E(e^{i(t1Y1+···+tnYn)} =E(e^it1Y1)· · ·E(e^itnYn).

C’est bien la formule annonc´ee.

2) R´eciproquement, supposons que

φ_Y1,...,Yn(t₁, . . . , t_n) =φ_Y1(t₁)· · ·φ_Yn(t_n),

et montrons que la famille Y1, . . . , Yn est ind´ependante. Pour cela, rappelons le r´esultat suivant :Pour toute famille de v.a Y₁, . . . , Y_n (on pourrait prendre une famille infinie), il existe des v.a Y˜1, . . . ,Y˜n qui constituent une famille ind´ependante et telles que pour tout i les lois deY˜i et deYi sont les mˆemes.

i) Montrons que la loi du vecteur ( ˜Y1, . . . ,Y˜n) est la mˆeme que celle du vecteur (Y₁, . . . , Y_n). Il suffit de d´emontrer que (Y₁, . . . , Y_n) et ( ˜Y₁, . . . ,Y˜_n) ont mˆeme fonctions caract´eristiques. Or, comme la famille ( ˜Y1, . . . ,Y˜n) est ind´ependante on a

φ_{( ˜Y1,...,}Y˜n)(t1, . . . , tn) =φY˜1(t1)· · ·φY˜n(tn)

4.2. TH ´EOR `EME DE LA LIMITE CENTRALE 83 et puisque ˜Yi etYi ont mˆeme loi

φ_{( ˜Y1,...,}Y˜n)(t1, . . . , tn) = φY1(t1)· · ·φYn(tn)

(la fonction caract´eristique ne d´epend que de la loi de la v.a). On voit donc que

φ_{( ˜Y1,...,}Y˜n)(t1, . . . , tn) = φ(Y1,...,Yn)(t1, . . . , tn), ce qu’il fallait d´emontrer.

ii) Par cons´equent pour tous bor´eliens (ou mˆeme intervalles) A1, . . . , An

P(Y1 ∈A1, . . . , Yn∈An) =P( ˜Y1 ∈A1, . . . ,Y˜n∈An)

=P( ˜Y1 ∈A1)· · ·P( ˜Yn∈An)

=P(Y1 ∈A1)· · ·P(Yn∈An), ce qui est bien l’ind´ependance annonc´ee.

2 Nous avons ´egalement le r´esultat suivant

Th´eor`eme 4.2.6 Si les v.a.r X1, . . . , Xn forment une famille ind´ependante pour tout t ∈R

φ_X1+···+Xn(t) =φ_X1(t)· · ·φ_Xn(t).

D´emonstration.— Il suffit de constater que

φ_X1+···+Xn(t) =φ_(X1,...,Xn)(t, . . . , t), et d’appliquer le th´eor`eme pr´ec´edent.

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