III Probl` emes

Int´ egration, probabilit´ es

Dans tous les exercices “probabilistes”, les variables al´eatoires sont suppos´ees d´efinies sur le mˆeme espace probabilis´e (Ω,A,P).

I Questions de cours

1 La fonctiont 7→ _t3/2^sin_Log(t)^t ₂ est-elle int´egrable sur ]0;¹₂]? Sur [2;∞[?

2 Montrer que la fonction z 7→ 1/z (arbitrairement d´efinie en 0) est int´egrable sur tout compact de C.

3 Trouver une suite (fn) de fonctions mesurables positives sur [0; 1] qui converge simplement vers 0 et v´erifie limn→∞

R1

0 f_n(t)dt = +∞.

4 Soit f : [0;∞[→ C une fonction continue int´egrable sur [0;∞[. D´eterminer la limite lim_n→∞Rn

0 f(_n+1ⁿ t)dt.

5 D´eterminer lim_n→∞R∞

0 e^−tndt.

6 Montrer que la formule f(z) = R∞ 0

t^z

1+t²dt d´efinit une fonction holomorphe dans la bande {−1<Re(z)<1}.

7 Montrer que la formule f(x) = R∞

0 e^−txsin(t³x)dt d´efinit une fonction de classe C^∞ sur ]0;∞[.

8 Calculer R

R²e^−x2−y2dxdy, et en d´eduire la valeur de R∞

0 e^−t2dt.

9 Soient f et g deux fonctions int´egrables surR, `a valeurs complexes.. Montrer que f ∗g(x) = R

Rf(x−t)g(t)dt est d´efini pour presque tout x ∈ R, et que la fonction (presque partout d´efinie) f∗g est int´egrable sur R.

10 Soit (Ω,A, µ) un espace mesur´e. Montrer que si (f_n) est une suite de fonctions int´egrables convergeant en norme L¹ vers 0, alors (f_n) admet une sous-suite qui converge presque partout vers 0.

11 Soit (X_n) une suite de variable al´eatoires int´egrables convergeant en norme L¹ vers une v.a. int´egrableX. Montrer que (X_n) converge versX en probabilit´e.

12 Montrer que si α > 0, alors l’int´egrale R∞ 1

sint

t^α dt est convergente. Pour quelles valeurs de α est-elle absolument convergente?

1

II Exercices

Exercice 1 Soit f : [0;∞[→R d´efinie par f(t) = sin(t^1/4)e^−t1/4. Montrer que pour toutp∈N, la fonctiont7→t^pf(t) est int´egrable sur [0;∞[ avecR∞

0 t^pf(t)dt= 0. Un exemple analogue existe-t-il sur un intervalle compact [a;b] au lieu de [0;∞[?

Exercice 2 Soit f :R→C une fonction de classe C^∞ `a support compact. Montrer que pour tout k ∈N, on a

Z b a

f(t)e^iλtdt=O 1

λ^k

quand λ→ ∞.

Exercice 3 Discuter suivant les valeurs deα, β l’existence de I(α, β) =

Z +∞

1

dx x^α(1 +x^β) Calculer l’int´egrale I(1, β) quand elle existe.

Exercice 4Determiner les couples (α, β) pour lesquels l’int´egrale Z ∞

0

x^α|cosx|^xβdx converge.

Exercice 5 Soit f :R→C une fonction localement int´egrable telle que

x→+∞lim f(x) = l, lim

x→−∞f(x) = l⁰. Montrer l’existence deR+∞

−∞ f(x+a)−f(x)

dxpoura >0 et calculer cette int´egrale.

Donner des exemples d’applications.

Exercice 6 Soit f : [0;∞[→ C une fonction int´egrable sur [0;∞[. Montrer que si f est uniform´ement continue, alors lim_t→∞f(t) = 0. Qu’en est-il si on suppose seulement f continue?

Exercice 7 Soit f ∈ C¹([a, b]) non identiquement nulle, avec f(a) = f(b) = 0.

Montrer qu’il existe au moins un ζ ∈]a, b[ tel que 4

(b−a)² Z b

a

f(x)dx <|f⁰(ζ)|.

Exercice 8Soitf : [−a;a]→Ccontinue sur [−a, a], deux fois d´erivable sur ]−a, a[, ayant des d´eriv´ees `a droite en −a et `a gauche en a, et v´erifiant f(0) = 0. Montrer qu’il existe ζ ∈]−a, a[ tel que

f⁰⁰(a) = 3 a³

Z a

−a

f(x)dx.

Exercice 9 Soit f : [0; 1] → R une fonction continue strictement positive. Pour α >0, on pose

N_α(f) = Z 1

0

f(t)^αdt ^1/α

D´eterminer limα→∞N_α(f) et limα→0⁺N_α(f) .

Exercice 10 D´eterminer un ´equivalent simple deRx

0 e^t2dt quand x→+∞.

Exercice 11 Soit f : [0; 1] → R une fonction continue, avec f(0) 6= 0. D´eterminer un ´equivalent de R1

0 f(t)

t+ε dt quand ε→0⁺.

Exercice 12 Montrer que sif : [a;b]→R est de classe C¹, alors f(x)² ≤ 1

b−a Z b

a

f(t)²dt+ Z b

a

2|f(t)| |f⁰(t)|dt .

En d´eduire que pour tout ε > 0 donn´e, on peut trouver une constante C < ∞ telle que

∀f ∈ C¹([a;b]) kfk²_∞≤Ckfk²_L2 +εkf⁰k²_L2. On pourra commencer par comparer 2uv et εu²+^v_ε² pouru, v ≥0.

Exercice 13 Soient u, v les z´eros du polynˆome Q(x) = x² −x+ 1

10. V´erifier que , pour tout polynˆome dont le degr´e n’ exc`ede pas 5, on a

Z 1 0

P(t)dt= 1 18

5P(u) + 8P(1

2) + 5P(v) .

Exercice 14 Dans tout l’exercice, f :R→C est une fonction int´egrable.

1SoitP :R→Cun polynˆome trigonom´etrique. D´eterminer limλ→∞

R

Rf(t)P(λt)dt.

2 Montrer que si g :R→C est une fonction continue T-p´eriodique (T >0), alors

λ→∞lim Z

R

f(t)g(λt)dt= 1 T

Z

R

f(t)dt

Z T 0

g(t)dt

. 3 D´eterminer limn→∞

Rb

a f(t)|sin(nt)|dt, pour tout intervalle [a;b]⊂R.

Exercice 15 Soit E l’ensemble des fonctions continˆument d´erivables sur [−^π₂,+^π₂], non identiquement nulles et v´erifiant f(^π₂) = f(−^π₂) = 0. Soit φ l’application de E dans R qui, `a la fonctionf ∈E, associe

φ(f) = Z ^π₂

−^π

2

f⁰²(x)dx Z ^π₂

π 2

f²(x)dx

·

1 Montrer, en utilisant les fonctions f_m(x) = ch(mx)−ch(m^π₂), que φ(E) est une partie non major´ee de R.

2 f ´etant une fonction de E etk un r´eel, |k|<1, calculer I =

Z ^π₂

−^π₂

f⁰²(x)−k²f²(x)−(f⁰(x) +kf(x)tan(kx))² dx En d´eduire que φ(E) admet le nombre 1 pour minorant.

3 Montrer qu’il existe des fonctions f ∈E telles queφ(E) = 1.

4 Montrer que si une fonction f ∈E admet une d´eriv´ee seconde continue, alors Z ^π₂

−^π₂

f(x) f(x) +f⁰⁰(x)

dx≤0

Exercice 16 On consid`ere la fonction f :R→R d´efinie par f(x) = e^−x2

Z x 0

e^t2dt

1 Montrer que f est de classe C^∞ sur R et qu’elle y v´erifie l’´equation differentielle y⁰+ 2xy= 1.

2Montrer quef⁰admet une seul z´ero sur ]0,∞[ et que ce z´ero appartient `a l’intervalle ]0,1[.

3 Donner une equivalent de la fonctionf `a l’infini et compl´eter son ´etude sur R. Exercice 17 Soit φ une fonction continue sur un intervalle I et x₀ un point de I.

On pose Φ₀ =φ et on d´esigne par Φ_n+1 la primitive de Φ_n sur I qui prend la valeur 0 au point x₀. V´erifier par deux m´ethodes que

Φ_n(x) = 1 (n−1)!

Z x x0

φ(t)(x−t)ⁿ⁻¹dt.

Exercice 18 Soit f : [0,1]→C int´egrable.

1 On suppose que f poss`ede une limite `a gauche en 1. Montrer que

n→∞lim Z 1

0

xⁿf(x)dx=f(1⁻).

2 On suppose que f poss`ede une limite `a droite en 0. Montrer que

h→0lim Z 1

0

h

h² +x²f(x)dx= π

2f(0⁺).

Exercice 19On suppose que la s´erie de DirichletD(s) = P

n≥1a_nn^−s converge pour s >0. Montrer que

D(s)Γ(s) = Z ∞

0

P(u)u^s−1du o`u

P(y) =X

n≥1

a_ne^−ny, Γ(s) = Z ∞

0

e^−tt^s−1dt.

Exercice 20 Soient f, g deux fonctions continues sur le segment [a, b], a < b, `a valeurs positives. D´emontrer que la suite

u_n=Z b a

fⁿ(x)g(x)dx¹_n admet pour limite kfk∞, borne sup´erieure de f sur [a, b].

Exercice 21 Montrer que si (pn)n≥0 est une suite de r´eels strictement positifs, con- vergente vers p∈R⁺, alors

n→∞lim p0p1· · ·pn

_n¹

=p .

En d´eduire que sif, φsont des fonctions continues et `a valeurs strictement positives, alors

n→∞lim Z b

a

f(x)φ(x)ⁿ⁺¹dx

Z b a

f(x)φ(x)ⁿdx

=kfk∞.

Exercice 22 (in´egalit´e de Wirtinger)

Soit f : [0; 1]→Rde classe C¹, avec f(0) = 0 = f(1).

1 Montrer que I₁ =R1

0 f(t)f⁰(t) cotan(πt)dt etI₂ =R1

0 f(t)²(1 + cotan²(πt))dt exis- tent, et qu’on a I₁ = ^π₂I₂.

2 En d´eduire qu’on a kfk_L² ≤ ¹_πkf⁰k_L².

Exercice 23 (sommes de Riemann)

Dans tout l’exercice, f : [a;b]→R est une fonction int´egrable. Pour n∈N, on pose R_n(f) = b−a

n

n−1

X

k=0

f

a+kb−a n

.

1On suppose quef est born´ee et que l’ensemble des points de discontinuit´e def est de mesure nulle. Montrer que R_n(f)→Rb

af(t)dt quand n → ∞.

2 Montrer que si f est lipschitzienne, alors R_n(f)−

Z b a

f(t)dt =O 1

n

.

3 On suppose que f est de classe C¹. Montrer qu’on a R_n(f)−

Z b a

f(t)dt= b−a

2n (f(b)−f(a)) +o 1

n

.

4 On suppose que f est de classe C². D´eterminer deux constantes α, β telles que Z b

a

f(t)dt−R_n(f) = α n + β

n² +o 1

n²

Exercice 24 (m´ethode des trap`ezes).

Dans tout l’exercice, f : [a;b] → R est une fonction de classe C². Pour n ∈ N, on pose

T_n(f) = b−a

2 f(a) +

n−1

X

k=1

f

a+kb−a n

+f(b)

! .

1Soit [α;β]⊂[a;b], et soitϕ: [α;β]→Rla fonction affine interpolant f aux points α et β.

a Calculer Rβ

α ϕ(t)dt en fonction de α, β, f(α), f(β).

b Montrer qu’on a Rβ

α f(t)dt−Rβ

α ϕ(t)dt =Rβ α

(t−α)(t−β)

2 f⁰⁰(t)dt.

2 Interpr´eter g´eom´etriquement la d´efinition desT_n(f).

3 Montrer que T_n(f)→Rb

a f(t)dt quand n→ ∞, avec

T_n(f)− Z b

a

f(t)dt

≤ (b−a)³

12n² kf⁰⁰k∞.

Exercice 25 Montrer que si f :R→R est d´erivable en tout point, alors f⁰ est une fonction bor´elienne.

Exercice 26 Soit F :R→R une fonction d´erivable en tout point. On suppose que la fonction F⁰ est born´ee.

1 Montrer que la fonction F est lipschitzienne.

2 Montrer que pour tous a, b∈R, a < b, on a F(b)−F(a) =Rb

aF⁰(t)dt. On pourra

´

ecrire F⁰ comme limite d’une suite de fonctions convenable.

Exercice 27 Soit (Ω,A, µ) un espace mesur´e, et soit f : Ω → C une fonction int´egrable sur Ω. Montrer qu’on a

R

Ωf dµ = R

Ω|f|dµ si et seulement si il existe une constante λ∈C telle que|λ|= 1 etf(x) =λ|f(x)| pour presque toutx∈Ω.

Exercice 28 Soit (Ω,A, µ) un espace mesur´e.

1Montrer que si la mesure µest finie et si 1≤p₁ ≤p₂ ≤ ∞, alorsL^p2(Ω)⊂L^p1(Ω).

Que dire si µn’est pas suppos´ee finie?

2On suppose que µest une mesure de probabilit´e. Montrer que sif ∈L^∞(Ω), alors

||f||_p est fonction croissante de p∈[1;∞[, et d´eterminer limp→∞||f||_p.

Exercice 29 Soit f : R → R de classe C¹. On suppose que f⁰ ∈ L^p(R), pour un certain p >1. Montrer quef est uniform´ement continue.

Exercice 30 Soit (Ω,A, µ) un espace mesur´e, et soit f : Ω → R⁺ une fonction mesurable. On suppose qu’on a 0<R

Ωf dµ <∞. Pourα >0, d´eterminer

n→∞lim n Z

Ω

Log

1 +

f(x) n

α

dµ(x).

On aura `a distinguer 3 cas : 0 < α < 1, α = 1 et α > 1. Dans le troisi`eme cas, on pourra utiliser l’in´egalit´e (1 +x)^α ≤e^αx, apr`es l’avoir d´emontr´ee.

Exercice 31 Soit (Ω,A, µ) un espace mesur´e, et soit (f_n) une suite de fonctions int´egrables sur Ω, `a valeurs complexes. On suppose que la suite (fn) converge presque partout vers une fonction f : Ω → C. On suppose ´egalement qu’il existe une con- stante C < ∞ telle quekf_nk₁ ≤C pour tout n∈N.

1 Montrer que la fonction f est int´egrable sur Ω.

2 Montrer qu’on a

n→∞lim Z

Ω

|f_n| − |f_n−f| − |f|

dµ= 0.

3 D´eduire de 2 que si kf_nk₁ tend vers kfk₁ quand n tend vers l’infini, alors la suite (f_n) converge vers f en norme L¹.

Exercice 32Soitµune mesure de probabilit´e bor´elienne surR. On suppose qu’on a µ({x}) = 0 pour tout x∈R. Montrer que la fonction x7→µ(]− ∞;x]) est continue

sur R. En d´eduire que pour tout λ ∈ [0; 1], on peut trouver un bor´elien B ⊂ R tel que µ(B) = λ.

Exercice 33 Soit f : R → C une fonction localement int´egrable. Pour x ∈ R, on pose

F(x) = Z x

0

f(t)dt.

1 Montrer que la fonction F est continue sur R. 2 Que peut-on dire de plus si f est born´ee?

3 Montrer que si f est continue en un point t₀ ∈ R, alors F est d´erivable en t₀ et F⁰(t0) = f(t0).

Exercice 34 Soit (Ω,A, µ) un espace mesur´e, et soit f une fonction int´egrable sur Ω, `a valeurs complexes.

1 Pour n ∈ N^∗, on pose Aⁿ = {x ∈ Ω; _n¹ ≤ |f(x)| ≤ n}. V´erifier que la suite (Aⁿ) est croissante, et d´eterminer S

n∈NAⁿ.

2 D´eduire de1 que pour tout η > 0, on peut trouver un ensemble A_η ∈A v´erifiant les propri´et´es suivantes:

(a) µ(A_η)<∞;

(b) La fonction f est born´ee sur Aη; (c) R

Ω\A_η|f|dµ < η.

3 En utilisant2, montrer que pour tout ε >0, on peut trouver δ >0 tel que

∀B ∈A µ(B)< δ =⇒ Z

B

|f|dµ < ε .

4 On suppose que Ω =R et que µ est la mesure de Lebesgue. Pourx∈R, on pose F(x) =

Z x

−∞

f(t)dt.

Montrer que la fonction F est uniform´ement continue sur R. Exercice 35 (ensembles de Vitali)

On note R la relation d’´equivalence sur [0 ; 1] d´efinie par xRy⇔x−y∈Q.

On dit qu’un ensembleA⊂[0 ; 1] est unensemble de Vitali siA contient exactement 1 point de chaqueR-classe d’´equivalence.

1SoitAun ensemble de Vitali. On ´enum`ere (injectivement) l’ensemble des rationnels de [−1 ; 1] sous la forme {ri; i∈N}.

a Montrer qu’on a [0 ; 1]⊂S

i(r_i+A)⊂[−1 ; 2].

b Montrer que les ensembles r_i+A sont deux `a deux disjoints.

2Montrer qu’un ensemble de Vitali ne peut pas ˆetre mesurable au sens de Lebesgue.

Exercice 36 (th´eor`eme d’Egorov)

Soit (Ω,A,P) un espace probabilis´e. Soit ´egalement (f_n) une suite de fonctions mesurables sur Ω, `a valeurs r´eelles. On suppose que la suite (f_n) converge simplement vers une fonction f. Dans toute la suite, on fixeε >0.

1 Soit k ∈N. Pourn∈N, on pose

A_n={x∈Ω; ∀p≥n |f_p(x)−f(x)|<2^−k}. Montrer qu’il existe un entier nk tel que P(An_k)>1−2^−kε.

2 Montrer qu’il existe un ensemble A ∈ A tel que P(A) > 1−ε et tel que la suite (f_n) converge uniform´ement sur A.

Exercice 37 (th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e)

Soit (Ω,A, µ) un espace mesur´e, avec µ(Ω) < ∞. Soit ´egalement T : Ω → Ω une application mesurable telle queµ(T⁻¹(A)) =µ(A) pour tout A∈A.

1 Soit A∈A, et soitp∈N^∗. On pose

F ={x∈A; ∀n≥p : Tⁿ(x)6∈A}, o`uT<sup>n</sup> =T ◦ · · · ◦T est la n-i`eme it´er´ee de T.

a Montrer que les ensembles (T^kp)⁻¹(F),k ≥0 sont deux `a deux disjoints.

b Montrer qu’on a µ(F) = 0.

2 Soit A ∈ Ω v´erifiant µ(A) > 0. Montrer qu’il existe un point x ∈ A tel que Tⁿ(x)∈A pour une infinit´e d’entiers n.

Exercice 38 Soit (Ω,A, µ) un espace mesur´e, avec µ(Ω) <∞. Toutes les fonctions sur Ω consid´er´ees sont mesurables et `a valeurs complexes. On dit qu’une suite de fonctions (f_n) convergeen mesure vers une fonction f si, pour tout ε >0, on a

n→∞lim µ({x∈Ω; |f_n(x)−f(x)| ≥ε}) = 0.

1 Montrer que si une suite (f_n) de fonctions int´egrables converge en norme L¹ vers une fonction int´egrablef, alors elle converge en mesure vers f.

2 Montrer qu’une suite (f_n) converge en mesure vers une fonction f si et seulement si

n→∞lim Z

Ω

inf(1,|fn−f|)dµ= 0.

3 Montrer que si une suite (fn) converge presque partout, alors elle converge en mesure.

4 Montrer que si une suite (f_n) converge en mesure, alors elle poss`ede une sous- suite qui converge presque partout. Plus pr´ecis´ement, montrer que (f_n) converge en

mesure si et seulement si toute sous-suite de (fn) poss`ede une sous-suite qui converge presque partout.

Exercice 39 Soit (Ω,A, µ) un espace mesur´e, et soit f une fonction int´egrable sur Ω. Soit ´egalement (λn) une suite strictement croissante de nombres positifs. Pour n∈N, on pose

A_n={x∈Ω; |f(x)| ≥λ_n}. 1D´eterminer limn→∞

R

An|f|dµ. En d´eduire qu’on aµ(A_n) = o

1 λn

quand n→ ∞.

2 On suppose que la fonction f est born´ee et que µ est une mesure finie. Montrer qu’il existe une constante C <∞ telle que µ(An)≤C e^−λn pour toutn ∈N.

3 On revient au cas g´en´eral (µquelconque et f int´egrable).

a Pour n ∈ N^∗, on pose B_n = {x ∈ Ω; λ_n ≤ |f(x)| < λ_n+1}. Montrer qu’on a P∞

1 λ_nµ(B_n)<∞.

b Pour n∈N, exprimerµ(A_n) `a l’aide des µ(B_p),p≥n.

c Montrer que la s´erie P

n≥1µ(A_n) est convergente.

Exercice 40 (ensemble triadique de Cantor)

On d´efinit une suite de ferm´es K_n ⊂ [0; 1] de la mani`ere suivante : K₀ = [0; 1], K₁ = [0; 1/3]∪[2/3; 1], K₂ = [0; 1/9]∪[2/9; 1/3]∪[2/3; 7/9]∪[8/9; 1], et “ainsi de suite”. Enfin, on pose

K = \

n≥0

Kn.

1Ecrire explicitement l’ensemble´ K_n, pourn∈N, et calculer la mesure de Lebesgue deK_n.

2 Quelle est la mesure de K?

3 Montrer que K n’est pas d´enombrable.

Exercice 41On note m la mesure de Lebesgue sur R, etµ la mesure de d´ecompte.

Soit ´egalement K ⊂Run compact non d´enombrable tel que m(K) = 0.

1 Donner un exemple d’un tel compact K.

2 On pose C ={(x, y)∈ R²; x−y ∈ K}. Calculer R

R

R

R1_C(x, y)dµ(y)

dm(x) et R

R

R

R1_C(x, y)dm(x)

dµ(y). Que faut-il en conclure?

Exercice 42 Soit (X, µ) un espace mesur´e, et soit f : X → R⁺ une fonction mesurable. Soit ´egalement φ : R⁺ → R⁺ une fonction continue, de classe C¹ sur ]0;∞[, avec φ(0) = 0. Montrer qu’on a

Z

X

φ(f(x))dµ(x) = Z ∞

0

φ⁰(t)µ({x; f(x)≥t})dt .

Expliciter cette formule lorsque φ(t) =t^p,p≥1.

Exercice 43 Soit (X,A, µ) un espace mesur´e et soit f : X → R⁺ une fonction mesurable. On suppose qu’il existe une constante c >0 telle que

µ({x; f(x)≥t})≤e^−ct pour tout t >0. Montrer que f ∈L^p pour tout p∈[1;∞[.

Exercice 44 On note λ_d la mesure de Lebesgue sur R^d, et v_d le volume de la boule unit´e euclidienne B(0,1)⊂R^d.

1 Soit µ une mesure bor´elienne sur R^d telle que µ(K) < ∞ pour tout compact K ⊂R^d. Montrer que pour toute fonction continue `a support compact ϕ:R^d→R, on a

Z

R^d

ϕ(x)µ(B(x, r))

vdr^d dλ_d(x) = Z

R^d

1 λd(B(y, r))

Z

B(y,r)

ϕ(x)dλ_d(x)

dµ(y). 2 Montrer que si µ est une mesure bor´elienne sur R^d v´erifiant µ(B) = λ_d(B) pour toute boule B ⊂R^d, alorsµ=λ_d.

Exercice 45 (convolution)

Soient f, g :R→R deux fonctions mesurables. Pour x∈R, on pose formellement f ∗g(x) =

Z

R

f(x−y)g(y)dy .

1aOn suppose quef ∈L¹(R) et queg ∈L^∞(R). Montrer quef∗g(x) est bien d´efini pour tout x∈R, que la fonctionf∗g est born´ee, et qu’on a||f∗g||∞≤ ||f||₁||g||∞. 1b Plus g´en´eralement, on suppose que f ∈L^p(R) et queg ∈L^q(R), o`up∈[1;∞] et q est l’exposant conjugu´e. Montrer de mˆeme que f∗g est d´efinie en tout point, que f ∗g est born´ee, et majorer ||f ∗g||∞.

2 On suppose que f ∈ L¹(R) et que g ∈ L¹(R). Montrer que f ∗g est d´efinie en presque tout point x∈R, quef ∗g ∈L¹(R) et qu’on a ||f ∗g||1 ≤ ||f||1||g||1. 3 On suppose que f ∈L¹(R) et que g ∈L^p(R), o`u 1 < p <∞.

a On note q l’exposant conjugu´e de p. Montrer que pour tout x∈R, on a Z

R

|f(x−y)| |g(y)|dy≤ ||f||^1/q₁ × Z

R

|f(x−y)| |g(y)|^pdy 1/p

.

b Montrer que f ∗ g est d´efinie presque partout, que f ∗ g ∈ L^p, et qu’on a

||f ∗g||_p ≤ ||f||₁||g||_p.

4On suppose que f ∈L¹ et queg est de classeC^∞ `a support compact. Montrer que f ∗g est de classe C^∞.

Exercice 46 (continuit´e des translations)

A Soit p ∈ [1;∞]. Pour f ∈L^p(R) et h ∈ R, on d´efinit τhf : R →R par τhf(x) = f(x−h).

1 Montrer que si f ∈L^p(R), alors τ_hf ∈L^p et||τ_hf||_p =||f||_p.

2 Montrer que si f est continue `a support compact, alors l’application h7→ τ_hf est continue de Rdans L^p(R).

3 On suppose p <∞. Montrer que pour toute f ∈L^p(R), l’application h7→τ_hf est continue de Rdans L^p(R).

4 Que peut-on dire pourp=∞?

B Soit p ∈ [1;∞], et soit q l’exposant conjugu´e. Montrer que si f ∈ L^p(R) et g ∈L^q(R), alorsf ∗g est une fonction continue.

Exercice 47 Soit f : R → C une fonction int´egrable, et soit (λ_n) une suite de nombres r´eels positifs v´erifiant P∞

0 1

λn <∞. Montrer que pour presque tout x∈R, on a limn→∞f(λ_nx) = 0. On pourra consid´erer la s´erie P

|f_n|, o`uf_n(x) = f(λ_nx).

Exercice 48En consid´erantf_n(x) =

n

P

k=0

e^i(k+1)θx^k, montrer que pour toutθ∈]0; 2π[, on peut ´ecrire

∞

X

k=1

coskθ

k =−Log

2 sinθ 2 .

Exercice 49 Montrer qu’on a arctan(1) =

∞

X

0

(−1)ⁿ

2n+ 1 et Log(2) =

∞

X

1

(−1)ⁿ⁺¹

n .

Exercice 50 Calculer Z 1

0

Log(1−t)

t dt.

Exercice 51 Calculer de deux fa¸cons diff´erentes l’int´egrale R

R²+

dx dy

(1+y)(1+x²y) et en d´eduire la valeur de R∞

0 Logx

x²−1dx. ´Etablir ensuite la formule

∞

X

n=0

1

(2n+ 1)² = π² 8 .

Exercice 52CalculerI = Z ∞

0

arctanx x

2

.On pourra ´ecrire arctanx=xR1 0

dt 1+(tx)².

Exercice 53En calculantP∞

0 (−1)ⁿR1

0 t²ⁿ(1−t)dtde deux fa¸cons diff´erentes, mon- trer qu’on a

∞

X

0

(−1)ⁿ

(2n+ 1)(2n+ 2) = π

4 − Log2 2 ·

Exercice 54 Dans cet exercice, on donne une m´ethode pour calculer la valeur de l’int´egrale

I_α = Z

R

e^−αt2dt o`uα >0.

1 On d´efinit f :R⁺ →R par f(x) = Z ∞

0

e^−xt2 1 +t² dt.

a Justifier la d´efinition, et montrer que f est continue sur R⁺. b Calculer f(0) et d´eterminer limx→∞f(x).

c Montrer que f est d´erivable sur ]0; +∞[ et v´erifie une ´equation diff´erentielle du type f⁰(x)−f(x) = ^√c_x, o`u cest une constante qu’on exprimera en fonction de I₁.

d R´esoudre l’´equation diff´erentielle pr´ec´edente, puis calculerI₁. 2 Calculer I_α pour toutα >0.

Exercice 55Sif :R→Cest une fonction int´egrable surR, on note ˆf sa transform´ee de Fourier :

fˆ(x) = Z

R

f(t)e^−itxdt .

1 Montrer que ˆf est bien d´efinie, et qu’elle est continue et born´ee surR. 2 On suppose que la fonction int´egrablef v´erifie R

R|t^kf(t)|dt <∞ pour un certain entier k ≥ 1. Montrer que ˆf est de classe C^k, et exprimer ses d´eriv´ees sous forme d’int´egrales.

3 Dans cette question, on prendf(t) = e^−t2/2. a Combien vaut ˆf(0)?

b Montrer que ˆf est de classe C^∞ surR, et d´eterminer une ´equation diff´erentielle du premier ordre v´erifi´ee par ˆf.

c D´eterminer ˆf.

4 Dans cette question, on prendf(t) = _1+t¹2.

a Pour n ∈ N^∗, on d´efinit g_n : R → R par g_n(x) = Rn

−n e^−itx

1+t² dt. Montrer que les g_n sont de classe C¹, et que la suite (g_n⁰) converge uniform´ement sur tout intervalle [a; +∞[,a >0.

b D´eduire de a que la fonction ˆf est de classe C¹ sur ]0; +∞[, et donner une formule pour ˆf⁰(x). Montrer ensuite `a l’aide d’une int´egration par parties que pour

tout x >0, on a

fˆ⁰(x) = Z

R

−iu

u²+x² e^−iudu .

cMontrer que ˆfest deux fois d´erivable sur ]0; +∞[ et y v´erifie l’´equation diff´erentielle fˆ⁰⁰= ˆf.

d Montrer qu’on a ˆf(x) =e^−π|x| pour toutx∈R. Exercice 56 (formule sommatoire de Poisson)

A Soit f :R→C une fonction int´egrable pour la mesure de Lebesgue.

1 Montrer que pour presque tout t ∈ R, la s´erie P

n∈Zf(t+ 2πn) est absolument convergente, et que la fonction ˜f d´efinie (presque partout) par

f(t) =˜

+∞

X

−∞

f(t+ 2πn) est int´egrable sur [0; 2π].

2Montrer que la fonction ˜f est 2π-p´eriodique, et exprimer ses coefficients de Fourier

`

a l’aide de la transform´ee de Fourier de f.

3 On suppose que la fonction f est de classe C¹, et qu’on a |f(t)| = O _t¹2

et

|f⁰(t)|=O _t¹2

quand |t| tend vers l’infini. Montrer qu’on peut ´ecrire

+∞

X

−∞

f(n) = 2πˆ

+∞

X

−∞

f(2πn). Cette formule s’appelle la formule sommatoire de Poisson.

B Pours >0, on poseθ(s) =

+∞

P

−∞

e^−πsn2. Montrer que la fonctionθ v´erifie l’´equation fonctionnelle θ(s) = ^√1_sθ ¹_s

.

Exercice 57 Soit f : [0; +∞[→C une fonction continue born´ee.

1 Pour λ >0, on pose

Lf(λ) = Z ∞

0

f(t)e^−λtdt .

La fonctionLf est la transform´ee de Laplace de la fonction f.

a Justifier la d´efinition, montrer que la fonctionLf est de classe C^∞ sur ]0; +∞[, et exprimer les d´eriv´ees de Lf sous forme d’int´egrales.

b D´eterminer limλ→∞Lf(λ).

2 Dans cette question, on suppose que l’int´egrale R∞

0 f(t)dt existe, au sens o`u RR

0 f(t)dt admet une limite quand R tend vers l’infini.

a Pour x ≥ 0, on pose F(x) = Rx

0 f(t)dt. Montrer que la fonction F est born´ee sur [0; +∞[ et que pour tout λ >0, on peut ´ecrire

Lf(λ) = Z ∞

0

F u

λ

e^−udu . b Montrer qu’on a limλ→0Lf(λ) =R∞

0 f(t)dt.

3 Dans cette question, on veut retrouver d’une autre mani`ere le r´esultat de 2b. On suppose donc `a nouveau que l’int´egrale R∞

0 f(t)dt existe.

aEn int´egrant par parties, montrer que la convergence des int´egralesR∞

0 f(t)e^−λtdt est uniforme par rapport au param`etre λ >0.

b Conclure.

4Montrer que2bserait encore valable si on supposait seulement quef est localement int´egrable (et que l’int´egrale R∞

0 f(t)dt existe).

5 Dans cette question, on prendf(t) = ^sin_t^t (avec f(0) = 1).

a Calculer (Lf)⁰(λ) pour λ >0, puis d´eterminer Lf sur ]0; +∞[.

b Calculer l’int´egrale I =R∞ 0

sint

t dt apr`es avoir justifi´e son existence.

Exercice 58 Pour x >0, on pose Γ(x) =

Z ∞ 0

t^x−1e^−tdt .

1 Justifier la d´efinition, et montrer que la fonction Γ est de classe C^∞ sur ]0; +∞[.

D´eterminer limx→0⁺Γ(x).

2 Montrer que la fonction Log Γ est convexe.

3Trouver une relation entre Γ(x+ 1) et Γ(x). En d´eduire la valeur de Γ(n+ 1) pour n∈N.

4a Pour n ∈ N et x > 0, on pose Jn(x) = R1

0 u^x−1(1−u)ⁿdu. Trouver une relation entreJ_n(x) et Jn−1(x+ 1) pourn ≥1, et en d´eduireJ_n(x) pour tout n∈N.

4b Pour n∈N et x >0, calculer l’int´egraleRn

0 t^x−1 1− _n^tn

dt.

4c Montrer que pour toutx >0, on a Γ(x) = lim

n→∞

n!n^x

x(x+ 1). . .(x+n)· 5 Le but de cette question est d’´etablir la formule de Stirling :

Γ(x+ 1)∼x^xe^−x√ 2πx quand x tend vers +∞.

a Montrer que pour tout x > 0, on a Γ(x + 1) = x^xe^−x√ xR

Rg(x, u)du, o`u g(x, u) = 0 si√

x≤ −u et g(x, u) = exp

xLog 1 + ^√u_x

−u√ x

si√

x >−u.

b Pour u >0, d´eterminer sup_x≥1g(x, u). Pour u <0, d´eterminer sup_x>0g(x, u).

c D´emontrer la formule de Stirling.

Exercice 59 Pour a, b >0 on d´efinit I(a, b) = Z 1

0

t^a−1(1−t)^b−1dt .

1 Montrer que pour toute fonction mesurable f : ]0;∞[×]0;∞[→R⁺, on a Z

Ω

f(x+y)x^a−1y^b−1dxdy=I(a, b) Z ∞

0

u^a+b−1f(u)du . 2 En d´eduire l’identit´e Γ(a)Γ(b) = Γ(a+b)I(a, b).

Exercice 60 (crit`eres d’Abel)

Soient f : [a;∞[→ C continue et g : [a;∞[→ C de classe C¹. Montrer que dans chacun des deux cas suivants, l’int´egrale R∞

a f(t)g(t)dt est convergente.

a l’int´egrale R∞

a f(t)dt est convergente, et la fonction g⁰ est int´egrable sur [a;∞[.

bles int´egralesRX

a f(t)dt sont uniform´ement born´ees, la fonctiong⁰ est int´egrable sur [a;∞[, et g(t)→0 quand t→ ∞.

Donner un exemple dans chacun des deux cas.

Exercice 61 (seconde formule de la moyenne)

A Soient f etg deux fonctions int´egrables sur un intervalle [a, b], `a valeurs r´eelles.

1 On suppose que f est de la forme Pn

i=1α_i1_[ai−1;ai[, avec α₁ ≥ · · · ≥ α_n ≥ 0 et a =a0 <· · · < an =b. Pour x ∈[a;b], on pose G(x) = Rx

a g(t)dt. En utilisant une

“sommation par parties”, montrer qu’on a (inf

[a;b]G)f(a⁺)≤ Z b

a

f(t)g(t)dt≤(sup

[a;b]

G)f(a⁺).

2 On suppose que f est d´ecroissante et positive. Montrer que f g est int´egrable sur [a;b] et qu’on a

Z b a

f(t)g(t)dt =f(a⁺) Z ξ

a

g(t)dt, pour une certain ξ ∈[a;b].

3 On suppose seulement que f est d´ecroissante. Montrer qu’il il existe ξ ∈ [a, b] tel que

Z b a

f(t)g(t)dt =f(a⁺) Z ξ

a

g(t)dt+f(b) Z b

ξ

g(t)dt

B1 Soit f : [a;∞[→ R une fonction d´ecroissante tendant vers 0 `a l’infini. Montrer que l’int´egrale R∞

a f(t) sint dtest convergente.

B2Soitg : [0;∞[→Rune fonction localement int´egrable. On suppose que l’int´egrale R∞

0 g(t)dt existe. Montrer que l’int´egraleR∞

0 g(t)e^−λtdtconverge pour toutλ >0, et que la convergence est uniforme par rapport `a λ.

Exercice 62 Montrer que l’int´egraleR∞

0 cos(x²)dx est convergente.

Exercice 63 Soit (Ω,A, µ) un espace mesur´e, avec µ(Ω)<∞.

1 Montrer que si A, B ∈A, alors

µ(A∪B) = µ(A) +µ(B)−µ(A∩B). 2 Montrer que si A₁, . . . , A_n ∈A, alors

µ(A₁∪ · · · ∪A_n) =

n

X

k=1

(−1)^k−1 X

1≤j1<···<j_k≤n

µ(A_j1 ∩ · · · ∩A_jk)

! .

3 Dans cette question, on prend pour Ω l’ensemble de toutes les applications f : {1;. . .;m} → {1;. . .;n}, o`u m, n ∈ N^∗, m ≥ n. On note µ la mesure de d´ecompte sur Ω.

a Combien vaut µ(Ω)?

b Pour j ∈ {1;. . .;n}, on pose A_j = {f ∈ Ω; f ne prend pas la valeur j}. Pour 1≤j₁ <· · ·< j_k ≤n, calculer µ(A_j1 ∩ · · · ∩A_jk).

c On note S_mⁿ le nombre de surjections de {1;. . .;m} sur {1;. . .;n}. ´Etablir la formule

S_mⁿ =

n

X

k=0

(−1)^n−kC_n^kk^m.

4 Soit N un entier au moins ´egal `a 2. On note ϕ(N) le nombres d’entiers m ∈ {1;. . .;N} tels que pgcd(m, N) = 1. On note ´egalement p₁ <· · · < p_n les facteurs premiers de N. ´Etablir la formule

ϕ(N) =N

n

Y

j=1

1− 1

p_j

.

Exercice 64 (lemme de Borel-Cantelli)

Soit (Ω,A,P) un espace probabilis´e, et soit (A_n) une suite d’´el´ements de A.

1 Montrer que si P∞

0 P(A_n)<∞, alorsP

lim sup_nA_n

= 0.

2On suppose que les ´ev`enementsA_nsont ind´ependants. Montrer que siP∞

0 P(A_n) =

∞, alors P(lim supA_n) = 1. On pourra s’int´eresser au produit Q

(1−P(A_n)).

Exercice 65 Un singe trouve sous un baobab une machine `a ´ecrire, et se met imm´ediatement `a l’utiliser. Comme c’est tout de mˆeme un singe, il frappe sur les touches compl`etement au hasard; et comme il n’est pas press´e, il tape infiniment longtemps.

1 On note A = {a₁;. . .;a_N} l’ensemble des touches de la machine `a ´ecrire. Pour i∈N<sup>∗</sup>, on note X<sub>i</sub> la touche frapp´ee par le singe aui-`eme coup.

a Si m = (aj1, . . . , ajp) est une suite finie d’´el´ements de A et si k ∈ N est fix´e, quelle est la probabilit´e de l’´ev`enement ((X_k+1, . . . , X_k+p) =m)?

b Soit m = (a_j1, . . . , a_jp) fix´e. Pour tout entier l ∈ N, on note A_l l’´ev`enement ((X_pl+1, . . . , X_(p+1)l) =m).Calculer P∞

l=0P(A_l).

2Montrer qu’il est presque certain que le singe ´ecrive une infinit´e de fois les oeuvres compl`etes de Victor Hugo, `a l’endroit et `a l’envers.

Exercice 66 Soit Ω l’ensemble des nombres irrationnels de [0; 1]. On munit Ω de sa tribu bor´elienne, et de la mesure de Lebesgue, not´ee P (!). On rappelle que tout nombre ω∈Ω peut s’´ecrire de mani`ere unique sous la forme

ω =

∞

X

i=1

ω_i 10ⁱ ,

o`u les ωi sont des entiers compris entre 0 et 9. Pour i ∈ N^∗ et ω ∈ Ω, on pose Xi(ω) =ωi

1 P est-elle une mesure de probabilit´e?

2 Montrer que les X_i sont des variables al´eatoires ind´ependantes ayant toutes la mˆeme loi, que l’on d´eterminera.

3 Montrer que pour presque toutω ∈Ω et pour toutk ∈ {0;. . .; 9}, on a

n→∞lim 1

ncard{i≤n; ω_i =k}= 1 10.

Exercice 67 Soient f, g deux fonctions continues sur [0; 1], avec f ≥0 et g >0.

1 Soit (X_n)n≥1 une suite de variables al´eatoires ind´ependantes, `a valeurs dans [0; 1], suivant chacune une loi uniforme sur [0; 1]. Pour n∈N^∗, on pose

Z_n= f(X₁) +· · ·+f(X_n) g(X₁) +· · ·+g(X_n) .

Montrer que (Z_n) converge presque surement vers une constante que l’on d´eterminera.

2 Montrer qu’on a

n→∞lim Z

[0;1]ⁿ

f(x₁) +· · ·+f(x_n)

g(x₁) +· · ·+g(x_n) dx₁. . . dx_n = R1

0 f(x)dx R1

0 g(x)dx .

Exercice 68 Soit (X_i)i≥1 une suite de variables al´eatoires suivant chacune une loi de Poisson de param`etre 1; i.e. les X<sub>i</sub> sont `a valeurs dans N et P(X_i = k) = e^{−1 1}_k!^k pour tout k∈N.

1 Pour n∈N^∗, d´eterminer la loi de S_n=X₁+· · ·+X_n. 2 En d´eduire lim

n→∞e⁻ⁿ

n

X

k=0

n^k

k!. On pourra penser au th´eor`eme limite central.

III Probl` emes

Probl`eme 1 Le but du probl`eme est d’´etablir la formule

∞

X

1

1 n² = π²

6 . A Dans cette partie, on veut calculer l’int´egrale

I = Z 1

0

Z 1 0

1

1−xydx dy . 1 Montrer qu’on a

I = Z

C

2

2−u²+v² du dv , o`uC est le carr´e de sommets (0,0), (

√ 2 2 ,−

√ 2 2 ), (√

2,0), (

√ 2 2 ,

√ 2 2 ).

2 Calculer les int´egrales I₁ :=

Z

√2 2

0

√ 1

2−u² arctan

u

√2−u²

du et

I₂ :=

Z

√2

√ 2 2

√ 1

2−u² arctan

√2−u

√2−u²

! du . On pourra poser u=√

2 sinθ dans un cas, et u=√

2 cos 2θ dans l’autre.

3 D´eterminer la valeur de I.

B En utilisant A, d´emontrer la formule souhait´ee.

Probl`eme 2 (Moyenne arithm´etico-g´eom´etrique)

Dans tout le probl`eme, a et b sont deux nombres donn´es tels que 0< a < b.

1 On d´efinit deux suites (a_n) et (b_n) de la fa¸con suivante:

a0 =a , b0 =b;

a_n+1 =p a_nb_n; b_n+1 = 1

2(a_n+b_n).

Montrer que les suites (a_n) et (b_n) sont convergente et ont la mˆeme limite. Cette limite s’appelle la moyenne arithm´etico-g´eom´etrique de a, b; on la note m(a, b).

2 Former une relation simple entre les int´egrales I(a, b) =

Z +∞

0

dt

p(t²+a²)(t²+b²), J(a, b) =

Z

√ ab 0

dt

p(t²+a²)(t²+b²).

3 En faisant dans J(a, b) le changement de variables u= ^ab−t_2t², en d´eduire qu’on a I(a, b) =I(a₁, b₁) =I(a₂, b₂) = · · ·=I(a_n, b_n)

pour tout n∈N.

4 Etablir que´ I(a, b)m(a, b) = ^π₂. Probl`eme 3 (unit´es approch´ees)

On dit qu’une suite de fonctions (k_n)⊂L¹(R^d) est uneunit´e approch´ee si elle v´erifie les propri´et´es suivantes.

(i)R

R^dk_n= 1 pour tout n.

(ii) sup_nkk_nk_L¹ <∞ (iii) limn→∞R

kxk≥δ|k_n|= 0 pour tout δ >0 A Soit (k_n)⊂L¹(R^d) une unit´e approch´ee.

aMontrer que sif :R^d→Cest continue `a support compact, alors la suite (k_n∗f) converge uniform´ement versf.

b Montrer que si f ∈ L^p(R^d), 1 ≤ p < ∞, alors la suite (k_n∗f) converge vers f en norme L^p.

B Soit f : R→C une fonction continue nulle en dehors de [−¹₂;¹₂]. Pourn ∈N, on d´efinit P_n:R→C par

P_nf(x) = 1 α_n

Z 1

−1

f(x−t)(1−t²)ⁿdt , o`uαn=R1

−1(1−t²)ⁿdt.

Montrer que lesP_nf sont polynomiales sur [−¹₂;¹₂], et convergent uniform´ement vers f quand n→ ∞.

C1 Soit k∈ L^∞(R^d) `a support compact et v´erifiant R

R^dk = 1. Montrer que la suite (k_n) d´efinie par k_n(x) = n^dk(nx) est une unit´e approch´ee.

C2 Montrer que toute fonction continue `a support compact f : R<sup>d</sup> → C est limite uniforme de fonctions de classe C<sup>∞</sup> `a support compact, et que les fonctions C^∞ `a support compact sont dense dans L^p(R^d), 1≤p < ∞.

Probl`eme 4 (m´ethode de Laplace)

A Soit f : [0;b[→C une fonction mesurable continue en 0, avec f(0) 6= 0.

1 On suppose qu’on a Rb

0 e^−λu|f(u)|du <∞ pourλ >0 assez grand.

a Montrer que pour toutδ∈]0;b[, on a Rb

δ e^−λuf(u)du=o _λ¹

quand λ→ ∞.

b D´eterminer un ´equivalent de Rb

0 e^−λuf(u)du quand λ→ ∞.

2 On suppose qu’on a Rb

0 e^−λu2|f(u)|du <∞ pourλ >0 assez grand.

a Montrer que pour toutδ∈]0;b[, on a Rb

δ e^−λu2f(u)du=o

√1 λ

quand λ → ∞.

b D´eterminer un ´equivalent de Rb

0 e^−λu2f(u)du quand λ→ ∞.

B Soient ϕ : [a;b[→ R une fonction de classe C¹ et f : [a;b[→ C une fonction mesurable. On suppose que la fonction t 7→ e^−λϕ(t)f(t) est int´egrable sur [a;b[

pourλ >0 assez grand, et on pose F(λ) =

Z b a

e^−λϕ(t)f(t)dt .

1 On suppose qu’on a ϕ⁰(t)>0 pour toutt ∈[a;b[, et que f est continue en a avec f(a)6= 0. Montrer qu’on a

F(λ)∼ f(a) ϕ⁰(a)

e^−λϕ(a) λ quand λ→ ∞. On pourra poser u=ϕ(t)−ϕ(a).

2 On suppose que ϕ est de classe C², avec ϕ⁰(t) > 0 pour tout t ∈]a;b[, ϕ⁰(a) = 0 et ϕ⁰⁰(a) > 0. Enfin on suppose toujours que f est continue en a avec f(a) 6= 0.

Montrer qu’on a

F(λ)∼ rπ

2

f(a) pϕ⁰⁰(a)

e^−λϕ(a)

√λ quand λ→ ∞. On pourra poser u=p

ϕ(t)−ϕ(a).

CD´eterminer un ´equivalent de l’int´egraleIn dans les cas suivants.

a I_n =R1

−1(1−t²)ⁿdt:

b I_n=R1

0[Log(1 +x)]ⁿdt;

c I_n =Rπ

0 tⁿsint dt.

D Utiliser B pour donner un ´equivalent de R∞

x e^−t2dt quand x→+∞.

E Montrer que pour x >0, on a

Γ(x+ 1) =x^x+1 Z ∞

0

e^{−x(u−Logu)}du . En d´eduire la formule de Stirling : Γ(x+ 1)∼x^xe^−x√

2πxquand x→ ∞.

Probl`eme 5 (splines)

Dans tout le probl`eme, σ = (x₀, . . . , x_N) est une subdivision d’un intervalle [a;b].

On note S_σ l’ensemble des fonctions ϕ: [a;b]→R de classe C² dont la restriction `a chaque intervalle [x_i;x_i+1] est polynomiales de degr´e au plus 3.

A1 Montrer que S_σ est un espace vectoriel de degr´eN + 3.

A2 Montrer que si ϕ∈ S_σ v´erifie ϕ(x_i) = 0 pour tout i∈ {0;. . . n}, alors Z b

a

ϕ⁰⁰(t)²dt=ϕ⁰(b)ϕ⁰⁰(b)−ϕ⁰(a)ϕ⁰⁰(a).

On pourra commencer par v´erifier qu’on aRxi+1

xi ϕ⁰(t)ϕ⁰⁰⁰(t)dt= 0 pour tout i < N. A2D´eduire des questions pr´ec´edentes que siy₀, . . . , y_N, y₀⁰, y_N⁰ sontN+3 r´eels donn´es, alors il existe une unique ϕ ∈ S_σ v´erifiant ϕ(x_i) = y_i pour tout i ∈ {0;. . .;N}, ϕ⁰(a) =y⁰₀ etϕ⁰(b) = y_N⁰ .

B Soit g : [0; 1] → R une fonction de classe C² telle que g(0) = 0 = g(1). montrer qu’on a kgk_∞≤ kg⁰⁰k_L².

C Soit f : [a;b] → R une fonction de classe C², et soit ϕ l’unique fonction de S_σ v´erifiant ϕ(xi) =f(xi) pour tout i,ϕ⁰(a) = f⁰(a) et ϕ⁰(b) =b.

a Montrer qu’on a

kf⁰⁰k²_L2 =k(f −ϕ)⁰⁰k²_L2 +kϕ⁰⁰k²_L2.

On pourra int´egrer (f⁰⁰−ϕ⁰⁰)ϕ⁰⁰ par parties sur chaque intervalle [x_i;x_i+1].

b Montrer que pour touti∈ {0;. . .;n−1}, on a sup

t∈[xi;xi+1]

|(f−ϕ)(t)| ≤ k(f −ϕ)⁰⁰k_L²h^3/2_i , o`u on a pos´e h_i =x_i+1−x_i.

c Conclure qu’on a

kf−ϕk∞ ≤Ckf⁰⁰k_L²h^3/2_σ ,

o`uh_σ = max{x_i+1−x_i; 0≤i < N}est le pas de la subdivision σ.

Probl`eme 6 (in´egalit´e de Hardy)

1On noteE⁺ l’ensemble des fonctions mesurablesF : ]0;∞[→[0;∞]. Soit ´egalement p∈[1;∞[, et soit q l’exposant conjugu´e.

a Montrer que siF ∈ E⁺ est dans L^p(µ), alors kFk_L^p = sup

Z

X

F G dµ; G∈ E⁺, kGk_L^q = 1

. On pourra consid´erer G= ^Fp/q

||F||^p/q

Lp

.

b Montrer que le r´esultat de 1 est en fait valable pour toute F ∈ E⁺ (les deux membres de l’´egalit´e pr´ec´edente pouvant valoir ∞).

2 SoitK : ]0;∞[×[0; 1]→R⁺ une fonction mesurable. On d´efinit F : ]0;∞[→[0;∞]

par F(x) =R1

0 K(x, u)du. Montrer que pour tout p∈[1;∞[, on a kFk_L^p ≤

Z 1 0

kK(·, t)k_L^pdt .

3 Soit p∈]1;∞[ et soit f ∈L^p(]0;∞[). On d´efinit F : ]0;∞[→R par F(x) = 1

x Z x

0

f(t)dt . a Justifier la d´efinition.

b Montrer que F ∈L^p, avec kFk_L^p ≤ p

p−1kfk_L^p. Probl`eme 7 (test de Schur)

Dans tout le probl`eme, (Ω,A, µ) d´esigne un espace mesur´e, la mesure µ´etant supp- pos´ee σ-finie. On ´ecrira L^p(Ω) au lieu de L^p(Ω, µ). Lorsque Ω =R, la mesure µest la mesure de Lebesgue.

A Soit K : Ω×Ω → C une fonction mesurable. Soit ´egalement p ∈]1;∞[, et soit q l’exposant conjugu´e (¹_p + ¹_q = 1). On suppose qu’il existe une fonction mesurable strictement positivew: Ω→Ret une constanteC <∞telles que les deux propri´et´es suivantes soient v´erifi´ees :

(•)R

Ω|K(x, y)|w(y)^qdµ(y)≤C w(x)^q pour tout x∈Ω;

(∗)R

Ω|K(x, y)|w(x)^pdµ(x)≤C w(y)^p pour tout y∈Ω.

1 Soit f : Ω→C une fonction mesurable. En utilisant judicieusement l’in´egalit´e de H¨older, montrer que pour tout x∈Ω, on a

Z

Ω

|K(x, y)| |f(y)|dµ(y)≤C^1/qw(x) Z

Ω

|K(x, y)||f(y)|^p w(y)^p dµ(y)

1/p

.

2 D´eduire de 1 que si f ∈ L^p(Ω), alors, pour presque tout x ∈ Ω, la fonction y 7→ K(x, y)f(y) est int´egrable sur Ω, et la fonction T_Kf d´efinie (presque partout) par

T_Kf(x) = Z

Ω

K(x, y)f(y)dµ(y) est dansL^p(Ω).

3 Montrer qu’on a kT_Kfk_p ≤Ckfk_p pour toute f ∈L^p(Ω).

B Soit ϕ∈L¹(R), et soit p∈[1;∞]. Montrer que si f ∈L^p(R), alors ϕ∗f(x) =

Z

R

ϕ(x−y)f(y)dy

est bien d´efini pour presque tout x∈R, la fonction ϕ∗f est dans L^p(R), et kϕ∗fk_p ≤ kϕk₁kfk_p.

On pourra poser w(t) = 1, t∈R.

CDans cette partie, on note`²(N^∗) l’ensemble des suites x= (xi)i≥1 ∈C^N

∗ v´erifiant kxk²₂ :=

∞

X

i=1

|x_i|² <∞.

1 Pour i∈N^∗, on poseωi = ^√1_i. Montrer que pour tout i∈N^∗, on a

∞

X

j=1

1

i+j ωj ≤ Z ∞

0

dt (i+t)√

t ≤π ωi.

2 Montrer que si x= (x_i)∈`²(N^∗), alors on peut poser (Hx)i :=

∞

X

j=1

1 i+j xj

pour tout i∈N^∗, la suite Hx ainsi d´efinie appartient `a`²(N^∗), et kHxk₂ ≤πkxk₂. Probl`eme 8 (probl`eme de la chaleur “p´eriodique”)

Si f : R → C est une fonction continue 2π-p´eriodique, le probl`eme de la chaleur associ´e `a f, not´e (P)_f, consiste `a trouver une fonction u: [0; +∞[×R→Cv´erifiant les propri´et´es suivantes :

(1) Pour toutt ≥0, la fonctionx7→u(t, x) est 2π-p´eriodique;

(2) u(t, x) est de classeC² sur ]0; +∞[×R et y v´erifie l’´equation de la chaleur

∂u

∂t = ∂²u

∂x² ; (3) uest continue sur [0; +∞[×R;

(4) u(0, x) = f(x) pour tout x∈R.

On veut montrer ici que pour toute fonction f : R → C continue 2π-p´eriodique, le probl`eme (P)_f admet une unique solution.

1 Pour α >0 et λ∈R, calculer l’int´egraleR+∞

−∞ e^−αx2e^iλxdx.

2 Soit α >0 et soitϕ:R→Rd´efinie par ϕ(x) =

+∞

X

−∞

e^{−α(x−2nπ)2} .

a Justifier la d´efinition, puis montrer queϕ est de classeC¹ et 2π-p´eriodique.

b Calculer les coefficients de Fourier de ϕ.

3 Pour t >0, on d´efinit G_t:R→C par Gt(x) =

+∞

X

−∞

e^−n2te^inx .

a En utilisant2, montrer qu’on a ´egalement G_t(x) =

rπ t

+∞

X

−∞

e^{−(x−2nπ)24t} .