Chapitre 6 Algorithmes num´eriques

(1)

Chapitre 6

Algorithmes num´ eriques

6.1 Equations non lin´ eaires

Le probl` eme g´ en´ eral

Etant donnée une fonction f : I → IR continue, le problème est d’obtenir efficacement une (resp : les) solutions de f(x) = 0 dans un intervalle I. La condition f(a)f (b) < 0 assure l’existence d’une solution. Une étude théorique plus fine peut être nécessaire pour isoler une unique solution dans un intervalle.

6.1.1 Dichotomie

Entr´ ee: a < b, f continue avec f(a)f (b) ≤ 0, pr´ecision ǫ.

Sortie: encadrement d’une solution de f (x) = 0.

tantque b − a > ǫ faire c ← a + b

2 ;

si f (a)f(c) ≤ 0 alors b ← c;

sinon a ← c;

fsi ftantque

retourner a, b;

Algorithme 1: Dichotomie

L’algorithme donne une solution avec la pr´ecision ǫ avec un nombre d’it´eration n = E(log

2

(b − a) − log

2

(ǫ)) + 1.

Exercice 6.1.1 En utilisant les fonction usuelles du module mathématique de Python, appliquez la Dichotomie entre [2, 4] à la fonction sin pour trouver une valeur approchée de π.

thonverb

(python)

✞

from math import ∗ pri nt s i n ( 1 . 5 7 )

✡✝ ✆

1

(2)

6.1.2 Algorithme du point fixe

Entr´ ee: terme initial x

0

et fonction g ; Sortie: n et x

n

;

n ← 0 ; x ← x

0

;

Initialisation du bool´een arret;

tantque arret vaut F alse faire x ← g (x) ;n ← n + 1;

mise `a jour de arrˆet;

ftantque

retourner n, x;

Algorithme 2: Algorithme du point fixe

Condition d’arrêt : précision, sortie de l’intervalle, nombre maximal d’itération.

Th´ eor` eme 6.1.2 Si g est une application d´efinie sur [a, b] telle que :

∀x ∈ [a, b] g (x) ∈ [a, b] , et

g est contractante : ∃k < 1 ∀x ∀y |g(x) − g (y)| ≤ k|x − y| ,

alors g admet un unique point fixe ℓ sur [a, b], et l’algorithme du point fixe converge vers ℓ, pour toute valeur initiale x

0

dans [a, b].

Accroissement finis : la condition de contraction est satisfaite si la dérivée est majorée en valeur absolue par k < 1.

Exercice 6.1.3 On souhaite utiliser la méthode précédente avec u

0

= 1 et f

1

= x + 2

2x et f

2

= x

²

+ 2

2x .

1) Programmez n it´erations en Python. Etudiez la convergence selon u

0

et sa vitesse.

2) Quelle instruction xcas donne directement le dessin ci dessous ?

Vitesse de convergence : Consid´erons une suite (u

n

) de limite ℓ, et e

n

= ℓ − u

n

. Si on a une majoration |e

n+1

| ≤ k|e

n

|, on dit que la convergence est (au moins) lin´eaire. Si on a une majoration

|e

n+1

| ≤ k|e

n

|

^p

, on dit que la convergence est (au moins) d’ordre p (quadratique pour p = 2). Dans le théorème du point fixe précédent, la convergence est au moins linéaire.

6.2 M´ ethodes de Newton et de Lagrange

On consid`ere l’´equation

f (x) = 0 , x ∈ [a, b] .

On suppose que f est de classe C

²

, et change de signe sur [a, b]. La méthode consiste à remplacer, la fonction par une interpolation de degré 1 : P

1

(x) = f [α] + f [α, β](x − α). (Dans le cas α = β lé différence divisée étendue est : f[α, α] = f

^′

(α).

2

(3)

Sous réserve que la différence divisée f[α, β] soit non nulle, cela conduit à une solution ap- prochée : α − f(α)

f [α, β] .

On recommence le proc´ed´e avec un support α

n

, β

n

amélioré à chaque itération.

6.2.1 M´ ethode de Newton (tangente)

On utilise `a chaque it´eration le support x

n

, x

n

. La formule pour x

n+1

: x

n+1

= x

n

− f (x

_n

)

f

^′

(x

n

) . Etude de l’erreur : si ℓ est solution, et e

n

= ℓ − x

n

, alors :

e

_n+1

= −1 2

f

^′′

(u

n

)

f

^′

(x

n

) e

²_n

, a < u

_n

< b .

Th´ eor` eme 6.2.1 Si f : [a, b] → [a, b] est une fonction de classe C

²

, avec : f(a)f (b) < 0, f

^′

et f

^′′

de signe constant sur [a, b], et

f (a) f

^′

(a)

< b − a ,

f (b) f

^′

(b)

< b − a ,

alors il y a une unique solution dans l’intervalle, et la m´ethode de Newton converge vers cette solution avec une vitesse au moins quadratique.

Entr´ ee: terme initial x

0

et fonction f ; Sortie: n et x

n

;

n ← 0 ; x ← x

0

;

Initialisation du bool´een arrˆet;

tantque arrˆet vaut F alse faire x ← x − f (x)

f

^′

(x) ;n ← n + 1;

mise `a jour de arrˆet;

ftantque retourner n, x;

Exercice 6.2.2 On souhaite illustrer la convergence quadratique. Nous utiliserons pour cela un logiciel permettant une pr´ecision arbitraire tel que xcas.

1) Pour n’effectuer ce calcul qu’une seule fois, affectez `a la variable sq2 une valeur approch´ee de sqrt2 avec 1000 chiffres.

2) Programmez la m´ethode de Newton pour la fonction x

²

− 2, et v´erifiez qu’elle fonctionne.

3) a) Adaptez maintenant votre programme pour qu’il calcule la suite u

_n

avec 1000 chiffres.

b) Affichez à chaque itération la différence u

n

− sq2 avec 15 chiffres significatifs.

c) Commentez la convergence quadratique. En combien d’it´erations obtenez vous 1000 chiffres exacts pour sqrt2 ?

6.2.2 M´ ethode de Lagrange (s´ ecante)

On utilise `a chaque it´eration le support x

n

, x

n−1

. La formule pour x

n+1

: x

n+1

= x

n

− f (x

n

)

f [x

n

, x

n−1

] . Etude de l’erreur : si ℓ est solution, et e

n

= ℓ − x

n

, alors :

e

n+1

= −1 2

f

^′′

(u

_n

)

f

^′

(v

n

) e

n

e

n−1

, a < u

n

, v

n

< b .

3

(4)

6.2.3 Exercice ; Fractals

On consid`ere l’ensemble E des compacts de C. On munit E de la distance de Haussdorff : d(K

1

, K

2

) = max {max{d(x, K

2

), x ∈ K

1

}, max{d(x, K

1

), x ∈ K

2

}}

o` u la distance d’un point `a un compact d(x, K) n’est autre que inf {|x − y|, y ∈ K}.

On admettra que (E , d) est un espace métrique complet, et donc que le théorème du point fixe est valable.

1) Essayez :

(giac/xcas)

✞

T:= t r i a n g l e (0 ,1 ,1 + i ) ; T2:=T+1;

T3:=T∗exp ( i∗p i / 3 ) ; T∗( 1 / 3 ) ;

T/ 3 ;

✡✝ ✆

Pour translater une suite d’objets geometriques, on utilisera la fonction translation plutot qu’une syntaxe du type : [D1,D2]+1 qui risque fort de ne pas marcher à cause de l’addition des vecteurs de taille differentes. En revanche on remarquera que la rotation et l’homothétie d’une suite d’objets géométriques marchent parfaitement : [D1,D2]*i;

2) On consid`ere les applications de C dans C : f

1

: x 7→ x/3, f

2

: x 7→ 1 + x.e

^iπ/³

3 , f

3

: x 7→

1 + e

^iπ/³

+ x.e

⁻^iπ/³

3 , f

4

: x 7→ 2 + x

3 . Repr´esentez sous xcas l’image par ces applications du segment [O, 1]. On pourra trouver la syntaxe d’une similitude sous xcas.

3) On consid`ere l’application F : E → E d´efinie par K 7→

4

[

i=1

f

_i

(K ).

4) Créez une fonction qui dessine l’itéré n-ième d’un compact K par F .

a) Testez votre fonction avec le segment [0, 1]. (Attention à ne garder qu’une couche de crochets pour vos listes d’objets géométriques)

b) Testez votre fonction avec un autre compact de C (par exemple un sapin). Conclusion ?

4