ELEC 2795 - S´eance 2
Transmissions num´eriques (2)
Exercice 1 : Codage pr´edictif (DPCM)
La figure suivante pr´esente un syst`eme de codage pr´edictif (DPCM) complet.
Quantificateur Codeur
Canal
Décodeur
Filtre Interpolation
Σ
W(z)
− ˆ m(n) m(t) m(n)
1 T
+
Σ
W(z) + + mo(n)
mo(t)
e(n) eq(n)
• En l’absence de bruit sur le canal, montrez que les filtres de pr´ediction situ´es dans l’´emetteur et dans le r´ecepteur op`erent sur des signaux l´eg`erement diff´erents. Calculez l’expression de l’erreur globale. Comment modifier le sch´ema de l’´emetteur pour que l’erreur globale comprenne uniquement l’erreur de quantification?
• Calculer le gain en rapport signal `a bruit de quantification obtenu par le syst`eme DPCM par rapport `a un syst`eme PCM (MIC) classique. Consid´erez des signaux de type gaussien, et un quantificateur uniforme sur Rbits qui couvre au mieux la dynamique du signal `a quantifier.
• Soit un pr´edicteur du premier ordre ˆm(n) =w1m(n−1). On suppose connue la fonction de covariance du signal d’entr´ee Rm(k). Quel est le coefficient w1 qui minimise la variance de l’erreur de pr´ediction? Quelle est la variance de l’erreur de pr´ediction?
• Refaire les calculs pour un pr´edicteur d’ordre deux: ˆm(n) =w1m(n−1) +w2m(n−2).
• Quel sera le gain calcul´e plus haut pour des signaux dont la densit´e spectrale de puissance est donn´ee par γ1(f) = 2σB2 etγ2(f) = σB2[1− |f|/B] pour |f| ≤B respectivement? A-t-on int´erˆet `a utiliser des pr´edicteurs d’ordre sup´erieur?
• Comment ajuster le syst`eme pour obtenir une modulation delta?
• Pour une modulation delta avec un signal d’entr´ee sinuso¨ıdal de fr´equencefmet d’amplitude Am, quelle sera la condition `a satisfaire pour ´eviter la distorsion de surcharge?
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Exercice 2 : Densit´e spectrale de puissance des codes en ligne
On consid`ere la situation g´en´erale d’une s´equence de symboles r´eels an `a cadence T1
b, de moyenne mA et de covariance ΓA(n), mis en forme par un filtre r´eel g(t) dont la transform´ee de Fourier est G(ω). Le signal ainsi construit s’´ecrit:
s(t;T0) =
∞
−∞
ang(t−nTb−T0)
avec T0 une variable al´eatoire uniform´ement r´epartie sur l’intervalle [0, Tb] permettant de station- nariser le signal. On noteCg(t) la fonction de corr´elation deg(t).
• Montrer que la moyenne du signal s(t) est donn´ee par:
mS= mA
Tb G(0).
• Montrer que la fonction de covariance du signal s(t) est donn´ee par:
ΓS(τ) =
∞
m=−∞
ΓA(m) +m2A
Tb Cg(τ −mTb)−(mA
Tb )2G2(0).
• Montrer que la densit´e spectrale de puissance du signals(t) est donn´ee par:
γS(ω) = 1
Tb|G(ω)|2
σ2A+
∞
m=1
2ΓA(m) cos(ωmTb)
+
∞
k=−∞
k=0
2π(mA
Tb )2δ(ω−2πk
Tb )|G(2πk Tb )|2.
• Pour les codes binaires suivants: NRZ unipolaire, NRZ polaire, RZ unipolaire, RZ polaire et Manchester (cf. syllabus section 5.4.1), et en supposant les bits 0 et 1 ´equiprobables,
– Identifier la forme d’ondeg(t) et les symbolesan correspondant au mod`ele ci-dessus.
– Calculer la moyenne mA et la s´equence de covariance ΓA(n) de ces symboles.
– Calculer la valeur de l’amplitude A permettant d’obtenir une puissance moyenne uni- taire.
– Calculer et esquisser la densit´e spectrale de puissance du signal.
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