Transmissions num´eriques (3) : solutions

ELEC 2795 - S´eance 3

Transmissions num´ eriques (3) : solutions

Exercice 1 : Signaux QAM et CAP

• xQAM(t) =P∞

n=−∞a(n)g(t−nT) cos(ω0t) +P∞

n=−∞b(n)g(t−nT) sin(ω0t)

• Signal analytique QAM: x_a(t) = xQAM(t) +jxˆQAM(t) = P∞

n=−∞(a(n) − jb(n))g(t− nT) exp(jω0t)

• Enveloppe complexe QAM:e_x(t) =P∞

n=−∞(a(n)−jb(n))g(t−nT)

• Composantes de Rice QAM:x_I(t) =P∞

n=−∞a(n)g(t−nT) etx_Q(t) =P∞

n=−∞b(n)g(t−nT).

• Le passage deg(m_N^T) `a travers un interpolateur id´eal doit restituerg(t) (Tech=T /N est la p´eriode d’´echantillonnage du signal analogique). Donc par le crit`ere de Shannon _T¹

ech ≥ ^1+α_T et par cons´equentN ≥1 +α, soitN ≥2.

• Signal CAP avant le DAC :x_CAP(m) =P∞

n=−∞a(n)p(m−nN) +P∞

n=−∞b(n)˜p(m−nN), apr`es le DAC : xCAP(t) = P∞

n=−∞a(n)p(t−nT) +P∞

n=−∞b(n)˜p(t−nT) soit xCAP(t) = P∞

n=−∞a(n)g(t−nT) cos(ω0(t−nT)) +P∞

n=−∞b(n)g(t−nT) sin(ω0(t−nT)).

• Enveloppe complexe CAP: e⁰_x(t) =P∞

n=−∞(a(n)−jb(n))e^−jnω0Tg(t−nT). Le d´ecalage de phasee^−jnω0T vient du terme nω0T dans les arguments des sin(.) et cos(.) ci-dessus.

• Pour obtenir un signal ´equivalent au signal QAM, il faut ajouter un op´erateur de rotation complexee^−jnω0T sur chaque symbole complexe a(n)−jb(n).

• Le passage dep(m_N^T) `a travers un interpolateur id´eal doit restituer p(t). ^N_T ≥2(f0+^1+α_2T ), soitN ≥4.

• Si f0 = ⁿ_T avec n entier (ce qui est le cas ici), l’op´eration de rotation complexe n’est pas n´ecessaire.

Exercice 2 : Taux d’erreur binaire en M-PAM

• Constellation r´eelle deMpoints, sym´etriques par rapport `a l’origine, et s´epar´es d’une distance 2d. Chaque symbole est choisi dans un alphabet comprenant M = 2^Nb repr´esentants, ce qui peut ˆetre cod´e par une s´equence deN_b bits.

• σ²_a = _M¹ PM

m=1(2m−1−M)²d² = ¹₃(M² −1)d² avec 1 + 2 + 3 +· · ·+M = ^M(M₂⁺¹⁾ et 1²+ 2²+ 3²+· · ·+M² = ^M(M+1)(2M₆ ⁺¹⁾.

1

• Es = Tsσ_s². Pour pouvoir calculer la variance σ_s² il faut d’abord stationnariser s(t) en introduisant un phase al´eatoire T0 ∈[0, Ts] :

s_T0(t) =X

n

a_nu(t−nT_s−T₀) La variance de ce signal vaut

σ_s²_T

0 = E

( X

n

X

n⁰

ana^∗_n⁰u(t−nTs−T0)u^∗(t−n⁰Ts−T0) )

= X

n

σ_a²u²(t−nTs−T0)

On obtient la varianceσ_s² du signal de d´epart en prenant la moyenne de σ_s²_T

0 par rapport `a T₀ :

σ_s² = 1 Ts

Z Ts

0

σ_s²_T

0dT₀

= σ²_a T_s

X

n

Z Ts

0

u²(t−nTs−T0)dT0

= σ²_a T_s

Z +∞

−∞

u²(t−v)d_T0

= σ²_a T_sCuu(0)

o`u l’on a effectu´e un changement de variablev=nTs+T0 allant de−∞`a +∞, et o`uCuu(τ) est la fonction de corr´elation deu(t). L’´energie vaut doncE_s=σ²_aC_uu(0).

• C’est le crit`ere de Nyquist: Cuu[(m−n)Ts] =δ(m−n).

• Si le symboleam a ´et´e transmis, la sortie du filtre adapt´e ym est une gaussienne de moyenne am et de variance ^N₂⁰ (d´etail dans le syllabus).

• On place M −1 fronti`eres de d´ecision `a mi-chemin entre chaque paire de points dans la constellation.

• Pour un point central (c’est-`a-dire poss´edant 2 voisins directs), on a:

p(|ν_m|> d) = 2 Z ∞

d

√1 πN₀e

−y2

N0 dy= erfc( d

√N₀).

La moiti´e pour les 2 symboles extrˆemes de la constellation. Si tous les symboles sont

´equiprobables, on calcule finalement:

ps= M −1

M erfc( d

√N0

).

• Eb= _N^Es

b = ^σ_N^2a

b.

• Probabilit´e d’erreur sur les bitspb= _N¹

bps (1 symbole erronn´e donne 1 bit erronn´e etNb−1 bits corrects). Finalement:

pb= M−1 Mlog₂(M)erfc



 s

3 log₂(M) M²−1

E_b N0



.

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• SiM = 2, on a p_b = ¹₂erfc(

qEb

N0).

• Le d´ebit binaire vautR = ^log2_T^(M)

s etps≈erfc(

q 3 M²−1

Es

N0) si on n´eglige le cas particulier des 2 points extrˆemes de la constellation. En identifiant M dans les expressions de R et de ps, on trouve effectivement l’expression propos´ee avec f(p_s) = ¹₃[erfc⁻¹(p_s)]².

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