LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE
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MATHEMATIQUES Série S Nº : 32001
Fiche Exercices
Etudier la monotonie d’une suite numérique Méthode 1 :
Comparer un+1−un à 0. Exercice 1
Etudier la monotonie de la suite définie par un=n−2n pour tout n.
Méthode 2 :
Lorsque un+1= f( )n pour tout n, f étant une fonction monotone dans un intervalle du type [n0,+∞[, ( )un a le même sens de variation que f .
Exercice 2
Etudier la monotonie de la suite définie par un= 2n−5 pour tout n ≥ 5.
Méthode 3 :
Lorsque la suite est strictement positive, comparer
n 1 n
u u + à 1. Exercice 3
Etudier la monotonie de la suite définie par n nn2
u = 2 pour tout n > 0.
Méthode 4 :
Lorsque un+1= f( )un pour tout n≥n0, f étant croissante sur un intervalle I contenant un0 et tel que f(I) est inclus dans I , on montre par récurrence que la suite est croissante lorsque un0 ≤un0+1, décroissante lorsque un0 ≥un0+1.
Exercice 4
Etudier la monotonie de la suite définie par un+1=u2n pour tout n et par a) u0=0,5. b) u0=2.
Etudier le comportement asymptotique d’une suite Méthode :
Analyser le terme général de la suite. Peut-on directement appliquer l’un des théorèmes du cours (limites et opérations, théorèmes de comparaison) ?
Dans la négative, donner au terme général une nouvelle expression relevant de ces théorèmes. Mettre en facteur le terme « le plus puissant » est une idée directrice.
Fiche 1 : Les suites
Méthodes et exercices
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Fiche Exercices
Exercice 5
Etudier le comportement asymptotique de la suite u dans les cas suivants : a) un= n+1− n ;
b) un= n+1+ n ;
c) 3n 1
n 2 un 1 +2
= − ; d) n nn nn
5 4
2
u 3 −
= − pour n > 0 ;
e) ∑
=
−
= n
0 k
k
n 2
u 1 .
Exprimer en fonction de n le terme de rang n d’une suite arithmétique Méthode :
Pour une suite arithmétique ( )un n de raison r et de premier terme up on a un+1=un+r et un =a+nb pour tout n ≥ p. Il vient r=un+1−un=a+( ) (n+1 b− a+nb)=b.
D’où un−up=a+nr−(a+pr) (=r n−p). Ainsi : un =up+(n−p)r pour tout n ≥ p.
Exprimer en fonction de n le terme de rang n d’une suite géométrique Méthode :
Soit une suite géométrique ( )un n de raison q et de premier terme up non nul.
On montre par récurrence que un ≠0 pour tout n ≥ p. On a : un+1=qun et un =abn pour tout n ≥ p.
Il vient b
b a
b a u
q u nn1
n 1
n = =
= + + .
D’où pn n p
p
n q
q a
q a u
u = = − .
Ainsi : un =up×qn−p pour tout n ≥ p.
Calculs de sommes Méthode :
Identifier la nature (arithmétique ou géométrique) de la suite associée à la somme ainsi que la raison. Déterminer le nombre de termes de la somme.
Exercice 6
a) Calculer la somme des entiers impairs compris entre 10 et 100. b) Calculer la somme 5 3 11 19 27
x 1 x
1 x
1 x
x − 1 + − + où x est un réel non nul et différent de 1.
