Exo7
Tous les exercices
Table des matières
1 100.01 Logique 13
2 100.02 Ensemble 16
3 100.03 Absurde et contraposée 19
4 100.04 Récurrence 20
5 100.05 Relation d’équivalence, relation d’ordre 23
6 100.99 Autre 28
7 101.01 Application 29
8 101.02 Injection, surjection 31
9 101.03 Bijection 33
10 101.99 Autre 34
11 102.01 Binôme de Newton et combinaison 34
12 102.02 Cardinal 39
13 102.99 Autre 42
14 103.01 Divisibilité, division euclidienne 45
15 103.02 Sous-groupes de Z 51
16 103.03 Pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide 52
17 103.04 Nombres premiers, nombres premiers entre eux 59
18 103.99 Autre 63
19 104.01 Forme cartésienne, forme polaire 63
20 104.02 Racine carrée, équation du second degré 66
21 104.03 Racine n-ieme 69
22 104.04 Géométrie 73
23 104.05 Trigonométrie 78
24 104.99 Autre 84
25 105.01 Division euclidienne 85
26 105.02 Pgcd 89
27 105.03 Racine, décomposition en facteurs irréductibles 92
28 105.04 Fraction rationnelle 99
29 105.99 Autre 106
30 106.01 Définition, sous-espace 116
31 106.02 Système de vecteurs 121
32 106.03 Somme directe 126
33 106.04 Base 129
34 106.05 Dimension 134
35 106.99 Autre 139
36 107.01 Définition 139
37 107.02 Image et noyau, théorème du rang 141
38 107.03 Morphismes particuliers 152
39 107.99 Autre 159
40 108.01 Propriétés élémentaires, généralités 159
41 108.02 Noyau, image 168
42 108.03 Matrice et application linéaire 170
43 108.04 Exemples géométriques 175
44 108.05 Inverse, méthode de Gauss 175
45 108.06 Changement de base, matrice de passage 178
46 108.99 Autre 180
47 120.01 Les rationnels 186
48 120.02 Maximum, minimum, borne supérieure 190
49 120.99 Autre 194
50 121.01 Convergence 198
51 121.02 Suite définie par une relation de récurrence 209
52 121.03 Suites équivalentes, suites négligeables 215
53 121.04 Suite récurrente linéaire 220
54 121.05 Suite de Cauchy 223
55 121.06 Suite dans Rn 224
56 121.99 Autre 224
57 122.01 Série à termes positifs 225
58 122.02 Convergence absolue 230
59 122.03 Séries semi-convergentes 231
60 122.04 Séries alternées 231
61 122.05 Familles sommables 232
62 122.06 Fonction exponentielle complexe 234
63 122.99 Autre 235
64 123.01 Continuité : théorie 247
65 123.02 Continuité : pratique 254
66 123.03 Limite de fonctions 257
67 123.04 Etude de fonctions 263
68 123.05 Fonction continue par morceaux 269
69 123.06 Fonctions équivalentes, fonctions négligeables 270
70 123.99 Autre 271
71 124.01 Calculs 272
72 124.02 Théorème de Rolle et accroissements finis 275
73 124.03 Applications 278
74 124.04 Fonctions convexes 280
75 124.99 Autre 282
76 125.01 Formule de Taylor 290
77 125.02 Calculs 294
78 125.03 Applications 300
79 125.04 Développements limités implicites 305
80 125.05 Equivalents 306
81 125.99 Autre 307
82 126.01 Fonctions circulaires inverses 308
83 126.02 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses 313
84 126.99 Autre 316
85 127.01 Théorie 316
86 127.02 Somme de Riemann 325
87 127.03 Longueur, aire, volume 327
88 127.04 Intégration à l’aide d’une fonction auxiliaire 329
89 127.05 Changement de variables 329
90 127.06 Intégration par parties 331
91 127.07 Polynôme en sin, cos ou en sh, ch 333
92 127.08 Fraction rationnelle 334
93 127.09 Fraction rationnelle en sin, cos ou en sh, ch 336
94 127.10 Intégrale abélienne 336
95 127.11 Primitives diverses 337
96 127.12 Intégrale impropre 343
97 127.99 Autre 356
98 200.01 Forme multilinéaire 360
99 200.02 Calcul de déterminants 362
100 200.03 Système linéaire, rang 378
101 200.04 Applications 392
102 200.99 Autre 394
103 201.01 Valeur propre, vecteur propre 397
104 201.02 Diagonalisation 407
105 201.03 Polynôme caractéristique, théorème de Cayley-Hamilton 430
106 201.04 Sous-espace stable 433
107 201.05 Trigonalisation 436
108 201.06 Réduction de Jordan 438
109 201.07 Applications 440
110 201.08 Polynôme annulateur 449
111 201.99 Autre 456
112 202.01 Endomorphisme du plan 459
113 202.02 Endomorphisme auto-adjoint 460
114 202.03 Autres endomorphismes normaux 463
115 202.04 Endomorphisme orthogonal 463
116 202.99 Autre 468
117 203.01 Groupe, sous-groupe 474
118 203.02 Ordre d’un élément 484
119 203.03 Morphisme, isomorphisme 486
120 203.04 Anneau 486
121 203.05 Idéal 491
122 203.06 Algèbre, corps 492
123 203.07 Groupe de permutation 495
124 203.99 Autre 502
125 204.01 Produit scalaire, norme 506
126 204.02 Forme quadratique 518
127 204.03 Espace orthogonal 523
128 204.04 Projection, symétrie 524
129 204.05 Orthonormalisation 531
130 204.06 Espace vectoriel euclidien de dimension 3 535
131 204.07 Endomorphismes auto-adjoints 540
132 204.08 Espaces vectoriels hermitiens 546
133 204.09 Problèmes matriciels 549
134 204.99 Autre 553
135 205.01 Arithmétique de Z 554
136 205.02 Anneau Z/nZ, théorème chinois 557
137 205.03 Groupe fini commutatif 560
138 205.04 Arithmétique de K[X] 560
139 205.05 Corps fini 560
140 205.06 Applications 560
141 205.99 Autre 560
142 220.01 Convergence normale 560
143 220.02 Critères de Cauchy et d’Alembert 560
144 220.03 Rayon de convergence 560
145 220.04 Propriétés de la sommme d’une série entière 562
146 220.05 Calcul de la somme d’une série entière 562
147 220.06 Développement en série entière 565
148 220.07 Etude au bord 567
149 220.08 Equations différentielles 568
150 220.09 Intégrales 570
151 220.10 Analycité 570
152 220.99 Autre 571
153 221.01 Calcul de coefficients 573
154 221.02 Convergence, théorème de Dirichlet 578
155 221.03 Formule de Parseval 579
156 221.99 Autre 580
157 222.01 Convergence simple, uniforme, normale 582
158 222.02 Continuité, dérivabilité 587
159 222.03 Suites et séries d’intégrales 589
160 222.04 Suite et série de matrices 590
161 222.99 Autre 591
162 223.01 Limite 597
163 223.02 Continuité 599
164 223.03 Différentiabilité 601
165 223.04 Dérivée partielle 607
166 223.05 Différentielle de fonctions composées 618
167 223.06 Différentielle seconde 618
168 223.07 Extremums locaux 619
169 223.08 Fonctions implicites 624
170 223.99 Autre 624
171 224.01 Intégrale multiple 627
172 224.02 Calcul approché d’intégrale 634
173 224.03 Intégrale de Riemann dépendant d’un paramètre 634
174 224.04 Tranformée de Laplace et transformée de Fourier 645
175 224.99 Autre 645
176 225.01 Résolution d’équation différentielle du premier ordre 645 177 225.02 Résolution d’équation différentielle du deuxième ordre 647
178 225.03 Raccordement de solutions 651
179 225.04 Equations différentielles linéaires 651
180 225.05 Equations différentielles non linéaires 663
181 225.06 Equations aux dérivées partielles 667
182 225.99 Autre 670
183 229.01 Ouvert, fermé, intérieur, adhérence 670
184 229.02 Compacité 676
185 229.03 Borne supérieure 679
186 229.04 Topologie de la droite réelle 679
187 229.05 Topologie des espaces métriques 681
188 229.06 Topologie des espaces vectoriels normés 682
189 229.07 Connexité 695
190 229.08 Espaces complets 696
191 229.09 Fonctions vectorielles 697
192 229.10 Application linéaire continue, norme matricielle 698
193 229.99 Autre 699
194 240.00 Géométrie affine dans le plan et dans l’espace 701
195 240.01 Sous-espaces affines 714
196 240.02 Applications affines 717
197 240.03 Barycentre 721
198 240.04 Propriétés des triangles 722
199 240.99 Autres 724
200 241.00 Isométrie vectorielle 724
201 242.01 Géométrie affine euclidienne du plan 725
202 242.02 Géométrie affine euclidienne de l’espace 728
203 243.00 Conique 734
204 243.01 Ellipse 737
205 243.02 Parabole 738
206 243.03 Hyperbole 741
207 243.04 Quadrique 742
208 243.99 Autre 746
209 244.01 Courbes paramétrées 747
210 244.02 Coordonnées polaires 754
211 244.03 Courbes définies par une condition 757
212 244.04 Branches infinies 759
213 244.05 Points de rebroussement 760
214 244.06 Enveloppes 760
215 244.07 Propriétés métriques : longueur, courbure,... 762
216 244.08 Courbes dans l’espace 766
217 244.99 Autre 766
218 245.00 Analyse vectorielle : forme différentielle, champ de vecteurs, circulation 768 219 245.01 Forme différentielle, champ de vecteurs, circulation 768
220 245.02 Torseurs 773
221 246.00 Autre 774
222 246.01 Plan tangent, vecteur normal 774
223 246.02 Surfaces paramétrées 774
224 260.01 Probabilité et dénombrement 777
225 260.02 Probabilité conditionnelle 778
226 260.03 Variable aléatoire discrète 780
227 260.04 Lois de distributions 781
228 260.05 Espérance, variance 784
229 260.06 Droite de régression 784
230 260.07 Fonctions génératrices 784
231 260.99 Autre 784
232 261.01 Densité de probabilité 784
233 261.02 Loi faible des grands nombres 784
234 261.03 Convergence en loi 784
235 261.99 Autre 784
236 262.01 Estimation 784
237 262.02 Tests d’hypothèses, intervalle de confiance 784
238 262.99 Autre 786
239 300.00 Groupe quotient, théorème de Lagrange 786
240 301.00 Ordre d’un élément 788
241 302.00 Groupe symétrique, décomposition en cycles disjoints, signature 793
242 303.00 Sous-groupe distingué 794
243 304.00 Action de groupe 798
244 305.00 Groupe cyclique 804
245 306.00 Théorème de Sylow 804
246 307.00 Autre 807
247 310.00 Isométrie euclidienne 807
248 311.00 Géométrie différentielle élémentaire de Rn 809
249 312.00 Géométrie et trigonométrie sphérique 809
250 313.00 Groupe orthogonal et quaternions 810
251 314.00 Géométrie projective 812
252 315.00 Géométrie et trigonométrie hyperbolique 814
253 316.00 Autre 816
254 320.00 Groupe 816
255 321.00 Sous-groupe, morphisme 821
256 322.00 Groupe fini 824
257 323.00 Anneau, corps 827
258 324.00 Polynôme 835
259 325.00 Extension de corps 844
260 326.00 Extension d’anneau 846
261 327.00 Autre 847
262 350.00 Variété 847
263 351.00 Immersion, submersion, plongement 847
264 352.00 Sous-variété 847
265 353.00 Espace tangent, application linéaire tangente 850
266 354.00 Champ de vecteurs 850
267 355.00 Forme différentielle 853
268 356.00 Orientation 855
269 357.00 Intégration sur les variétés 855
270 358.00 Autre 855
271 370.00 Différentiabilité, calcul de différentielles 855
272 371.00 Différentielle d’ordre supérieur, formule de Taylor 862 273 372.00 Difféomorphisme, théorème d’inversion locale et des fonctions implicites 864
274 373.00 Extremum, extremum lié 871
275 374.00 Autre 876
276 380.00 Solution maximale 877
277 381.00 Théorème de Cauchy-Lipschitz 883
278 382.00 Système linéaire à coefficients constants 885
279 383.00 Etude qualititative : équilibre, stabilité 888
280 384.00 Equation aux dérivées partielles 888
281 385.00 Autre 890
282 400.00 Tribu, fonction mesurable 894
283 401.00 Mesure 895
284 402.00 Lemme de Fatou, convergence monotone 896
285 403.00 Théorème de convergence dominée 897
286 404.00 Intégrales multiples, théorème de Fubini 899
287 405.00 Intégrale dépendant d’un paramètre 900
288 406.00 Espace Lp 900
289 407.00 Transformée de Fourier 903
290 408.00 Autre 903
291 420.00 Espace topologique, espace métrique 909
292 421.00 Compacité 923
293 422.00 Continuité, uniforme continuité 932
294 423.00 Application linéaire bornée 940
295 424.00 Espace vectoriel normé 942
296 425.00 Espace métrique complet, espace de Banach 951
297 426.00 Théorème du point fixe 957
298 427.00 Espace de Hilbert, théorème de projection 960
299 428.00 Théorème de Baire 960
300 429.00 Dualité, topologie faible 961
301 430.00 Connexité 962
302 431.00 Autre 967
303 432.00 Théorème de Stone-Weirstrass, théorème d’Ascoli 968
304 440.00 Fonction holomorphe 970
305 441.00 Fonction logarithme et fonction puissance 981
306 442.00 Formule de Cauchy 984
307 443.00 Singularité 997
308 444.00 Théorème des résidus 1000
309 445.00 Tranformée de Laplace et de Fourier 1016
310 446.00 Autre 1020
311 450.00 Interpolation polynomiale 1036
312 451.00 Courbe de Bézier, spline 1036
313 452.00 Intégration numérique 1036
314 453.00 Méthode de Newton 1036
315 454.00 Résolution d’équation différentielle 1036
316 455.00 Résolution de systèmes linéaires : méthode directe 1036 317 456.00 Résolution de systèmes linéaires : méthode itérative 1036 318 457.00 Résolution de systèmes linéaires : méthode de gradient 1036
319 458.00 Calcul de valeurs propres et de vecteurs propres 1036
320 459.00 Autre 1036
321 470.00 Fonction convexe 1046
322 471.00 Multiplicateurs de Lagrange 1048
323 472.00 Algorithme d’Uzawa 1048
324 473.00 Algorithme du simplexe 1048
325 474.00 Autre 1048
326 480.00 Loi, indépendance, loi conditionnelle 1048
327 481.00 Variance, covariance, fonction génératrice 1048
328 482.00 Convergence de variables aléatoires 1048
329 483.00 Lois des grands nombres, théorème central limite 1048
330 484.00 Estimateur 1048
331 485.00 Tests sur la moyenne, test du chi2 1048
332 486.00 Chaînes de Markov 1048
333 487.00 Autre 1048
334Loi normale et approximations 1947
1 100.01 Logique
Exercice 1
Soient R et S des relations. Donner la négation de R ⇒ S.
[000104]Exercice 2
Démontrer que (1 = 2) ⇒ (2 = 3).
CorrectionH [000105]
Exercice 3
Soient les quatre assertions suivantes :
(a) ∃ x ∈ R ∀ y ∈ R x + y > 0 ; (b) ∀ x ∈ R ∃ y ∈ R x + y > 0 ;
(c) ∀ x ∈ R ∀ y ∈ R x + y > 0 ; (d) ∃ x ∈ R ∀ y ∈ R y
2> x.
1. Les assertions a, b, c, d sont-elles vraies ou fausses ? 2. Donner leur négation.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000106]
Exercice 4
Soitfune application deRdansR. Nier, de la manière la plus précise possible, les énoncés qui suivent : 1. Pour toutx∈Rf(x)≤1.
2. L’application fest croissante.
3. L’application fest croissante et positive.
4. Il existex∈R+tel que f(x)≤0.
5. Il existex∈Rtel que quel que soity∈R, six<yalors f(x)>f(y).
On ne demande pas de démontrer quoi que ce soit, juste d’écrire le contraire d’un énoncé.
CorrectionH Vidéo [000107]
Exercice 5
Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose :⇔,⇐,⇒. 1. x∈R x2=4. . . .x=2 ;
2. z∈C z=z. . . .z∈R; 3. x∈R x=π . . . .e2ix=1.
CorrectionH Vidéo [000108]
Exercice 6
DansR2, on définit les ensemblesF1={(x,y)∈R2,y≤0}etF2={(x,y)∈R2, xy≥1,x≥0}. On noteM1M2la distance usuelle entre deux pointsM1etM2deR2. Évaluer les propositions suivantes :
1. ∀ε∈]0,+∞[ ∃M1∈F1 ∃M2∈F2 M1M2<ε 2. ∃M1∈F1 ∃M2∈F2 ∀ε∈]0,+∞[ M1M2<ε 3. ∃ε∈]0,+∞[ ∀M1∈F1 ∀M2∈F2 M1M2<ε 4. ∀M1∈F1 ∀M2∈F2 ∃ε∈]0,+∞[ M1M2<ε Quand elles sont fausses, donner leur négation.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000109]
Exercice 7
Nier la proposition : “tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans”.
CorrectionH Vidéo [000110]
Exercice 8
Écrire la négation des assertions suivantes oùP,Q,R,Ssont des propositions.
1. P⇒Q, 2. Pet nonQ, 3. Pet (QetR), 4. Pou (QetR), 5. (PetQ)⇒ (R⇒S).
CorrectionH [000111]
Exercice 9
Nier les assertions suivantes :
1. tout triangle rectangle possède un angle droit ; 2. dans toutes les écuries, tous les chevaux sont noirs ;
3. pour tout entierx, il existe un entierytel que, pour tout entierz, la relationz<ximplique le relationz<x+1 ; 4. ∀ε>0 ∃α>0 (|x−7/5|<α⇒ |5x−7|<ε).
CorrectionH Vidéo [000112]
Exercice 10 Le missionnaire et les cannibales
Les cannibales d’une tribu se préparent à manger un missionnaire. Désirant lui prouver une dernière fois leur respect de la dignité et de la liberté humaine, les cannibales proposent au missionnaire de décider lui-même de son sort en faisant une courte déclaration : si celle-ci est vraie, le missionnaire sera rôti, et il sera bouilli dans le cas contraire. Que doit dire le missionnaire pour sauver sa vie ?
(d’après Cervantès) [000113]
Exercice 11
La proposition P∧Q⇒(¬P)∨Q
est-elle vraie ? [000114]
Exercice 12
On suppose que la propositionPest vraie ainsi que les propositions suivantes : 1. (¬Q)∧P⇒ ¬S.
2. S⇒(¬P)∨Q.
3. P⇒R∨S.
4. S∧Q⇒ ¬P.
5. R∧ ¬(S∨Q)⇒T. 6. R⇒(¬P)∨(¬Q).
La propositionT est-elle vraie ? [000115]
Exercice 13
Ecrire la négation des phrases suivantes : 1. (∀x)(∃n)/(x≤n).
2. (∃M)/(∀n)(|un| ≤M).
3. (∀x)(∀y)(xy=yx).
4. (∀x)(∃y)/(yxy−1=x).
5. (∀ε>0)(∃N∈N)/(∀n≥N)(|un|<ε).
6. (∀x∈R)(∀ε>0)(∃α>0)/(∀f∈F)(∀y∈R)(|x−y|<α⇒ |f(x)−f(y)|<ε).
[000116]
Exercice 14
Comparer les différentes phrases (sont-elles équivalentes, contraires, quelles sont celles qui impliquent les autres...) 1. (∀x)(∃y)/(x≤y).
2. (∀x)(∀y)(x≤y).
3. (∃x)(∃y)/(x≤y).
4. (∃x)/(∀y)(x≤y).
5. (∃x)/(∀y)(y<x).
6. (∃x)(∃y)/(y<x).
7. (∀x)(∃y)/(x=y).
[000117]
Exercice 15
SiP(x)est une proposition dépendant dex∈X, on noteP={x∈X/P(x)est vraie}. Exprimer en fonction dePetQles ensembles
¬P,P∧Q,P∨Q,P⇒Q,P⇔Q. [000118]
Exercice 16 Montrer que
∀ε>0 ∃N∈Ntel que(n≥N⇒2−ε< 2n+1
n+2 <2+ε).
IndicationH CorrectionH Vidéo [000119]
Exercice 17
Soient f,gdeux fonctions deRdansR. Traduire en termes de quantificateurs les expressions suivantes : 1. fest majorée ;
2. fest bornée ; 3. fest paire ; 4. fest impaire ; 5. fne s’annule jamais ; 6. fest périodique ; 7. fest croissante ;
8. fest strictement décroissante ; 9. fn’est pas la fonction nulle ;
10. fn’a jamais les mêmes valeurs en deux points distincts ; 11. fatteint toutes les valeurs deN;
12. fest inférieure àg; 13. fn’est pas inférieure àg.
CorrectionH Vidéo [000120]
Exercice 18 **IT
Exprimer à l’aide de quantificateurs les phrases suivantes puis donner leur négation.
1. (f étant une application du plan dans lui-même) (a) fest l’identité du plan.
(b) fa au moins un point invariant (on dit aussi point fixe).
2. (f étant une application deRdansR) (a) fest l’application nulle.
(b) L’équationf(x) =0 a une solution.
(c) L’équationf(x) =0 a exactement une solution.
3. ((un)n∈Nétant une suite réelle) (a) La suite(un)n∈Nest bornée.
(b) La suite(un)n∈Nest croissante.
(c) La suite(un)n∈Nest monotone.
CorrectionH [005103]
Exercice 19 *IT
Donner la négation des phrases suivantes 1. x≥3
2. 0<x≤2.
CorrectionH [005104]
Exercice 20 **IT
Les phrases suivantes sont-elles équivalentes ?
1. « ∀x∈R,(f(x) =0 etg(x) =0)» et «(∀x∈R, f(x) =0)et(∀x∈R,g(x) =0)».
2. « ∀x∈R,(f(x) =0 oug(x) =0)» et « (∀x∈R, f(x) =0)ou(∀x∈R,g(x) =0)».
Donner un exemple de fonctions fetgdeRdansR, toutes deux non nulles et dont le produit est nul.
CorrectionH [005105]
2 100.02 Ensemble
Exercice 21
Montrer que /0⊂X, pour tout ensembleX. [000121]
Exercice 22
Montrer par contraposition les assertions suivantes,Eétant un ensemble : 1. ∀A,B∈P(E) (A∩B=A∪B)⇒A=B,
2. ∀A,B,C∈P(E) (A∩B=A∩CetA∪B=A∪C)⇒B=C.
CorrectionH Vidéo [000122]
Exercice 23
SoitA,Bdeux ensembles, montrer{(A∪B) ={A∩{Bet{(A∩B) ={A∪{B.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000123]
Exercice 24
SoientEetFdeux ensembles,f:E→F. Démontrer que :
∀A,B∈P(E) (A⊂B)⇒(f(A)⊂ f(B)),
∀A,B∈P(E) f(A∩B)⊂ f(A)∩f(B),
∀A,B∈P(E) f(A∪B) =f(A)∪f(B),
∀A,B∈P(F) f−1(A∪B) =f−1(A)∪f−1(B),
∀A∈P(F) f−1(F\A) =E\f−1(A).
CorrectionH Vidéo [000124]
Exercice 25
AetBétant des parties d’un ensembleE, démontrer les lois de Morgan :
{A∪{B={(A∩B) et {A∩{B={(A∪B).
[000125]
Exercice 26
Démontrer les relations suivantes :
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) et A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).
[000126]
Exercice 27
Montrer que siFetGsont des sous-ensembles deE:
(F⊂G⇐⇒ F∪G=G) et (F⊂G⇐⇒ {F∪G=E).
En déduire que :
(F⊂G ⇐⇒F∩G=F) et (F⊂G ⇐⇒F∩{G=/0).
[000127]
Exercice 28
SoitEetFdes ensembles. SiA⊂EetB⊂Fmontrer queA×B⊂E×F. [000128]
Exercice 29
SoitA={a1,a2,a3,a4}etB={b1,b2,b3,b4,b5}. Écrire le produit cartésienA×B. Quel est le nombre de parties deA×B? [000129]
Exercice 30
SoitEun ensemble ànéléments. Quel est le nombre d’éléments deEp? Quel est le nombre de parties deEp? [000130]
Exercice 31
x,y,zétant des nombres réels, résoudre le système :
(x−1)(y−2)z = 0 (x−2)(y−3) = 0
Représenter graphiquement l’ensemble des solutions. [000131]
Exercice 32
SoitAune partie deE, on appelle fonction caractéristique deAl’applicationfdeEdans l’ensemble à deux éléments{0,1}, telle que : f(x) =
(0 six∈/A 1 six∈A
SoitAetBdeux parties deE, fetgleurs fonctions caractéristiques. Montrer que les fonctions suivantes sont les fonctions caractéris- tiques d’ensembles que l’on déterminera :
1. 1−f. 2. f g.
3. f+g−f g.
[000132]
Exercice 33
Soit un ensembleEet deux partiesAetBdeE. On désigne parA4Bl’ensemble(A∪B)\(A∩B).Dans les questions ci-après il pourra être commode d’utiliser la notion de fonction caractéristique.
1. Démontrer queA4B= (A\B)∪(B\A).
2. Démontrer que pour toutes les partiesA,B,CdeEon a(A4B)4C=A4(B4C).
3. Démontrer qu’il existe une unique partieXdeEtelle que pour toute partieAdeE,A4X=X4A=A.
4. Démontrer que pour toute partieAdeE, il existe une partieA0deEet une seule telle queA4A0=A04A=X.
[000133]
Exercice 34
1. Écrire l’ensemble de définition de chacune des fonctions numériques suivantes :x7→√
x,x7→x−11,x7→√ x+x−11. 2. Simplifier[1,3]∩[2,4]et[1,3]∪[2,4].
3. Pour toutn∈N, on notenZl’ensemble des entiers relatifs multiples den:nZ={np|p∈Z}. Simplifier 2Z∩3Z.
[000134]
Exercice 35
On définit les cinq ensembles suivants :
A1 = n
(x,y)∈R2,x+y<1 o A2 = n
(x,y)∈R2,|x+y|<1o A3 = n
(x,y)∈R2,|x|+|y|<1o A4 = n
(x,y)∈R2,x+y>−1o A5 = n
(x,y)∈R2,|x−y|<1o
1. Représenter ces cinq ensembles.
2. En déduire une démonstration géométrique de
(|x+y|<1 et |x−y|<1)⇔ |x|+|y|<1.
[000135]
Exercice 36
Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, éventuellement vide ou réduit à un point I1=
+∞\
n=1
3,3+ 1
n2
et I2=
+∞\
n=1
−2−1 n,4+n2
.
CorrectionH [000136]
Exercice 37
Montrez que chacun des ensembles suivants est un intervalle que vous calculerez.
I=
+∞\
n=1
−1 n,2+1
n
et J=
+∞[
n=2
1+1
n,n
CorrectionH Vidéo [000137]
Exercice 38
SoientEun ensemble etA,B,Ctrois parties deEtelles queA∪B=A∪CetA∩B=A∩C. Montrer queB=C. [000138]
Exercice 39
SoientEun ensemble etA,B,Ctrois parties deE.
Montrer que(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A) = (A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A). [000139]
Exercice 40
Donner les positions relatives deA,B,C⊂EsiA∪B=B∩C. [000140]
Exercice 41
Est-il vrai queP(A∩B) =P(A)∩P(B)? EtP(A∪B) =P(A)∪P(B)? [000141]
Exercice 42
Montrer queA∩B=A∩C⇔A∩{B=A∩{C. [000142]
Exercice 43
Donner la liste des éléments deP(P({1,2})). [000143]
Exercice 44
SoientA,B⊂E. Résoudre les équations à l’inconnueX⊂E 1. A∪X=B.
2. A∩X=B.
CorrectionH [000144]
Exercice 45
SoientE,F,Gtrois ensembles. Montrer que(E×G)∪(F×G) = (E∪F)×G. [000145]
Exercice 46
SoientE,F,G,Hquatre ensembles. Comparer les ensembles(E×F)∩(G×H)et(E∩G)×(F∩H). [000146]
Exercice 47
SoitEl’ensemble des fonctions deNdans{1,2,3}. Pouri=1,2,3 on poseAi={f∈E/f(0) =i}. Montrer que lesAiforment une
partition deE. [000147]
Exercice 48 **T
AetBsont des parties d’un ensembleE. Montrer que : 1. (A∆B=A∩B)⇔(A=B=∅).
2. (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A) = (A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A).
3. A∆B=B∆A.
4. (A∆B)∆C=A∆(B∆C).
5. A∆B=∅⇔A=B.
6. A∆C=B∆C⇔A=B.
CorrectionH [005112]
Exercice 49 ***IT
Soient(Ai)i∈I une famille de parties d’un ensembleE indéxée par un ensembleI et(Bi)i∈I une famille de parties d’un ensembleF indéxée par un ensembleI. Soit fune application deEversF. Comparer du point de vue de l’inclusion les parties suivantes :
1. f(Si∈IAi)etSi∈If(Ai)(recommencer par f(A∪B)si on n’a pas les idées claires).
2. f(Ti∈IAi)etTi∈If(Ai).
3. f(E\Ai)etF\f(Ai).
4. f−1(Ti∈IBi)etTi∈If−1(Bi).
5. f−1(Si∈IBi)etSi∈If−1(Bi).
6. f−1(F\Bi)etE\f−1(Bi).
CorrectionH [005113]
Exercice 50 ***I Théorème de CANTOR
1. Montrer qu’il existe une injection deEdansP(E).
2. En considérant la partieA={x∈E/x∈/ f(x)}, montrer qu’il n’existe pas de bijectionfdeEsurP(E).
CorrectionH [005117]
3 100.03 Absurde et contraposée
Exercice 51 Montrer que√
2∈/Q. [000148]
Exercice 52
SoitX un ensemble et f une application de X dans l’ensembleP(X)des parties deX. On noteAl’ensemble desx∈X vérifiant x∈/f(x). Démontrer qu’il n’existe aucunx∈Xtel queA= f(x). [000149]
Exercice 53
Soit(fn)n∈Nune suite d’applications de l’ensembleNdans lui-même. On définit une application f deNdansNen posant f(n) = fn(n) +1. Démontrer qu’il n’existe aucunp∈Ntel que f=fp.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000150]
Exercice 54
1. Soitp1,p2, . . . ,pr,rnombres premiers. Montrer que l’entierN=p1p2. . .pr+1 n’est divisible par aucun des entierspi. 2. Utiliser la question précédente pour montrer par l’absurde qu’il existe une infinité de nombres premiers.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000151]
4 100.04 Récurrence
Exercice 55
Démontrer, en raisonnant par récurrence, que 106n+2+103n+1+1 est divisible par 111 quel que soitn∈N. (Indication : 1000=
9×111+1 ). [000152]
Exercice 56 Montrer :
1.
n
∑
k=1
k=n(n+1)
2 ∀n∈N∗. 2.
n
∑
k=1
k2=n(n+1)(2n+1)
6 ∀n∈N∗.
CorrectionH Vidéo [000153]
Exercice 57
En quoi le raisonnement suivant est-il faux ?
SoitP(n):ncrayons de couleurs sont tous de la même couleur.
– P(1)est vraie car un crayon de couleur est de la même couleur que lui-même.
– SupposonsP(n). Soitn+1 crayons. On en retire 1. Lesncrayons restants sont de la même couleur par hypothèse de récurrence.
Reposons ce crayon et retirons-en un autre ; lesnnouveaux crayons sont à nouveau de la même couleur. Le premier crayon retiré était donc bien de la même couleur que lesnautres. La proposition est donc vraie au rangn+1.
– On a donc démontré que tous les crayons en nombre infini dénombrable sont de la même couleur.
[000154]
Exercice 58
Soit la suite(xn)n∈Ndéfinie parx0=4 etxn+1=2x2n−3 xn+2. 1. Montrer que :∀n∈N xn>3.
2. Montrer que :∀n∈N xn+1−3>32(xn−3).
3. Montrer que :∀n∈N xn> 32n
+3.
4. La suite(xn)n∈Nest-elle convergente ?
IndicationH CorrectionH Vidéo [000155]
Exercice 59
1. Dans le plan, on considère trois droites∆1,∆2,∆3formant un “vrai” triangle : elles ne sont pas concourantes, et il n’y en a pas deux parallèles. Donner le nombreR3de régions (zones blanches) découpées par ces trois droites.
2. On considère quatre droites∆1, . . . ,∆4, telles qu’il n’en existe pas trois concourantes, ni deux parallèles. Donner le nombreR4
de régions découpées par ces quatre droites.
3. On considèrendroites∆1, . . . ,∆n, telles qu’il n’en existe pas trois concourantes, ni deux parallèles. SoitRnle nombre de régions délimitées par∆1. . .∆n, etRn−1le nombre de régions délimitées par∆1. . .∆n−1. Montrer queRn=Rn−1+n.
4. Calculer par récurrence le nombre de régions délimitées parndroites en position générale, c’est-à-dire telles qu’il n’en existe pas trois concourantes ni deux parallèles.
CorrectionH [000156]
Exercice 60
SoitXun ensemble. Pourf∈F(X,X), on définitf0=idet par récurrence pourn∈N fn+1=fn◦f. 1. Montrer que∀n∈Nfn+1= f◦fn.
2. Montrer que si fest bijective alors∀n∈N(f−1)n= (fn)−1.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000157]
Exercice 61 Montrer que
∀n≥2,n!≤ n+1
2 n
.
[000158]
Exercice 62
Pour tout entier natureln, on pose
Sn=1·2+2·3+···+ (n−1)·n Démontrer que l’on a
Sn=1
3n(n−1)(n+1)
[000159]
Exercice 63
Pourn∈Non considère la propriété suivante :
Pn: 2n>n2 1. Pour quelles valeurs denl’implicationPn=⇒Pn+1est-elle vraie ? 2. Pour quelles valeurs denla propriétéPnest-elle vraie ?
[000160]
Exercice 64
Que pensez-vous de la démonstration suivante ? 1. Pour toutn≥2, on considère la propriété :
P(n): npoints distincts du plan sont toujours alignés 2. Initialisation :P(2)est vraie car deux points distincts sont toujours alignés.
3. Hérédité : On suppose queP(n)est vraie et on va démontrerP(n+1).
Soit doncA1,A2, . . . ,An,An+1 des points distincts. D’après l’hypothèse de récurrence, A1,A2, . . . ,An sont alignés sur une droited, etA2, . . . ,An,An+1 sont alignés sur une droited0. Les deux droitesdetd0ayantn−1 points communsA2, . . . ,An sont confondues. DoncA1,A2, . . . ,An,An+1sont alignés, ce qui montre l’hérédité de la propriété.
4. Conclusion : la propriétéP(n)est vraie pour toutn≥2.
[000161]
Exercice 65
1. Démontrer que pour tout entier natureln, 9 divise 10n−1.
2. Soitkun entier strictement positif. Étudier la propriété suivante : pour tout entier natureln,kdivise(k+1)n+2.
[000162]
Exercice 66
Démontrer que pourn≥1, le produit denentiers impairs est un entier impair. [000163]
Exercice 67
On considère une suite(un)n∈Ntelle que :
u0=0 et u1=1 et ∀n≥1,un+1=un+2un−1
Démontrer que : 1. ∀n∈N,un∈N,
2. ∀n∈N,un=13(2n−(−1)n).
[000164]
Exercice 68
Soitb≥2 un entier fixé. Démontrer que pour toutN∈N∗, il existe un entiern∈Net des entiersa0,a1, . . . ,anappartenant à{0,1, . . . ,b− 1}tels que ;
N=a0+a1b+···+anbn et an6=0
Démontrer que pour chaqueN, le système(n,a0,a1, . . . ,an)est déterminé par la propriété ci-dessus.
On dit quea0,a1, . . . ,ansont les chiffres de l’écriture du nombreNsuivant la baseb. [000165]
Exercice 69
Démontrer par récurrence que pour toutk∈N,k! divise le produit dekentiers consécutifs :
∀n∈N,k!|n(n+1)···(n−k+1)
[000166]
Exercice 70 Les propriétés
Pn : 3|4n−1,∀n∈N, et
Qn : 3|4n+1,∀n∈N,
sont-elles vraies ou fausses ? [000167]
Exercice 71
1. Calculer les restes de la division euclidienne de 1,4,42,43par 3.
2. Formuler, pour toutn∈N, une hypothèseP(n)concernant le reste de la division euclidienne de 4npar 3. Démontrer queP(n) est vérifiée pour toutn∈N.
3. Pour toutn∈N, le nombre 16n+4n+3 est-il divisible par 3.
[000168]
Exercice 72
Démontrer, en raisonnant par récurrence, que 32n+2−2n+1est divisible par 7 quel que soitn∈N. [000169]
Exercice 73
1. Démontrer par récurrence :
n
∑
k=0
k= n(n+1) 2 2. Calculer de deux manières différentes :
n+1
∑
k=1
k3−
n
∑
k=0
(k+1)3. 3. En déduire :
n
∑
k=0
k2=1
6(2n3+3n2+3n).
[000170]
Exercice 74
Montrer que pour tout entiern≥1 :
1 1.2+ 1
2.3+. . .+ 1
n.(n+1)= n n+1.
[000171]
Exercice 75
Démontrer, en le déterminant qu’il existe un entiern0tel que
∀n≥n0,2n≥(n+2)2.
[000172]
Exercice 76
Démontrer par récurrence surnque pour toutn≥2 l’implication
[x>−1,x6=0]⇒[(1+x)n>1+nx]
est vraie. [000173]
Exercice 77
1. Soitn∈N; montrer que pour tout entierk≥1 on a
nk+knk−1≤(n+1)k. 2. Soitbun réel positif ou nul. Montrer par récurrence, que pour toutn≥1 on a
(1+b)n≤1+nb 1!+(nb)2
2! +...+(nb)n n! .
[000174]
Exercice 78
Montrer par récurrence que pour tout entiern∈N,
(a+b)n=
n
∑
k=0
Cknakbn−k,
pour tout réelaetb. [000175]
Exercice 79
On définit une suite(Fn)de la façon suivante :
Fn+1=Fn+Fn−1; F0=1,F1=1. 1. CalculerFnpour 1<n<10.
2. Montrer que l’équationx2=x+1 admet une unique solution positiveaque l’on calculera.
3. Montrer que, pour toutn≥2, on a
an−2<Fn<an−1.
[000176]
Exercice 80 Montrer que :
2 cos π 2n =
r 2+
q 2+. . .√
2.
[000177]
Exercice 81
Pourn∈N,n≥2,trouver une loi simplifiant le produit : (1−1
4)...(1−1 n).
[000178]
Exercice 82
Pourn∈N,soienta0, . . . ,andes nombres réels de même signe tel queai>−1,montrer que : (1+a0)...(1+an)>1+a0+. . .+an.
[000179]
5 100.05 Relation d’équivalence, relation d’ordre
Exercice 83
1. SoitE=N×N, on définitRpar :(a,b)R(a0,b0)⇔a+b0=b+a0. Montrer queRest une relation d’équivalence. Identifier E/R.
2. Mêmes questions avecE=Z×N∗et(p,q)R(p0,q0)⇔pq0=p0q.
[000207]
Exercice 84
DansR2on définit la relationRpar :
(x,y)R(x0,y0)⇔y=y0.
1. Montrer queRest une relation d’équivalence.
2. Déterminer la classe d’équivalence de(x,y)∈R2.
[000208]
Exercice 85
DansCon définit la relationRpar :
zRz0⇔ |z|=|z0|. 1. Montrer queRest une relation d’équivalence.
2. Déterminer la classe d’équivalence de chaquez∈C.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000209]
Exercice 86
SoitRune relation binaire sur un ensembleE, symétrique et transitive. Que penser du raisonnement suivant ?
“xRy⇒yRxcarRest symétrique, or(xRyetyRx)⇒xRxcarRest transitive,
doncRest réflexive.”
IndicationH CorrectionH [000210]
Exercice 87
Étudier la relation Re définie surRR(l’ensemble des applications deRdansR) par : fReg⇐⇒ ∃A>0,∀x∈R,|x|>A⇒ f(x) =g(x).
[000211]
Exercice 88
Montrer que la relationRdéfinie surRpar :
xRy⇐⇒xey=yex
est une relation d’équivalence. Préciser, pourxfixé dansR, le nombre d’éléments de la classe dexmoduloR.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000212]
Exercice 89
La relation “divise” est-elle une relation d’ordre surN? surZ? Si oui, est-ce une relation d’ordre total ? [000213]
Exercice 90
Étudier les propriétés des relations suivantes. Dans le cas d’une relation d’équivalence, préciser les classes ; dans le cas d’une relation d’ordre, préciser si elle est totale, si l’ensemble admet un plus petit ou plus grand élément.
1. DansP(E):AR1B⇔A⊂B ; AR2B⇔A∩B=/0.
2. DansZ:aR3b⇔aetbont la même parité ; aR4b⇔ ∃n∈Na−b=3n ; aR5b⇔a−best divisible par 3.
[000214]
Exercice 91
Soient(X,≤)et(Y,≤)deux ensembles ordonnés (on note abusivement les deux ordres de la même façon). On définit surX×Y la relation(x,y)≤(x0,y0)ssi(x<x0)ou(x=x0ety≤y0). Montrer que c’est un ordre et qu’il est total ssiXetYsont totalement ordonnés.
[000215]
Exercice 92
Un ensemble est dit bien ordonné si toute partie non vide admet un plus petit élément.
1. Donner un exemple d’ensemble bien ordonné et un exemple d’ensemble qui ne l’est pas.
2. Montrer que bien ordonné implique totalement ordonné.
3. La réciproque est-elle vraie ?
[000216]
Exercice 93
Soit(E,≤)un ensemble ordonné. On définit surP(E)\ {/0}la relation≺par
X≺Y ssi (X=Y ou ∀x∈X∀y∈Y x≤y).
Vérifier que c’est une relation d’ordre.
CorrectionH Vidéo [000217]
Exercice 94
Montrer quea∗b= a+b
1+ab est une l.c.i sur]−1,1[et déterminer ses propriétés. [000218]
Exercice 95 Congruence des carrés modulo 5
On définit la relation∼surZparx∼y ⇐⇒ x2≡y2mod 5.
1. Déterminer l’ensemble quotient.
2. Peut-on définir une addition quotient ? une multiplication quotient ?
[003030]
Exercice 96 Produit cartésien
Soient deux relations d’équivalence :RsurE, etSsurF. On définit surE×F: (x,y)∼(x0,y0) ⇐⇒xRx0etySy0. 1. Vérifier que∼est une relation d’équivalence.
2. Soitφ:E×F→(E/R)×(F/S),(x,y)7→(x,˙ y)˙
Démontrer queφest compatible avec∼, et que l’application quotient associée est une bijection.
[003031]
Exercice 97 X∪A=Y∪A
SoitEun ensemble etA⊂E. On définit la relation surP(E):
X∼Y ⇐⇒ X∪A=Y∪A.
1. Montrer que c’est une relation d’équivalence.
2. Soitφ:P(E)→P(E\A),X7→X\A.
Montrer queφest compatible avec∼, et que l’application quotient associée est une bijection.
[003032]
Exercice 98 Équivalences surEE
SoitEun ensemble non vide. On considère les relations surF=EE :
f∼g ⇐⇒ ∃n∈N∗tq fn=gn, f≈g ⇐⇒ ∃m,n∈N∗tq fn=gm, f≡g ⇐⇒ f(E) =g(E).
1. Montrer que∼,≈,≡sont des relations d’équivalence.
2. Pourf∈F, on notef∼, f≈,f≡les classes d’équivalence de fmodulo∼,≈,≡. (a) Comparerf∼,f≈.
(b) Montrer que toute classe d’équivalence pour≈est réunion de classes d’équivalence pour∼. (c) Que pouvez-vous dire de fs’il existeg∈f≈injective ? surjective ?
(d) Même question avecf≡.
[003033]
Exercice 99 Relation d’équivalence quotient
SoientRetS deux relations d’équivalence sur un ensembleE, telles que :
∀x,y∈E,xRy⇒xSy.
On définitS˙surE/Rpar : ˙xS˙y˙ ⇐⇒ xSy.
Vérifier queS˙est une relation d’équivalence, puis définir une bijection entre(E/R)/S˙etE/S. [003034]
Exercice 100 Complétion d’une relation réflexive et transitive
SoitRune relation binaire sur un ensembleEréflexive et transitive. On définit les deux relations : xSy ⇐⇒ (xRyetyRx),
xTy ⇐⇒ (xRyouyRx).
Est-ce queSetT sont des relations d’équivalence ? [003035]
Exercice 101 Parties saturées pour une relation d’équivalence
Soit∼une relation d’équivalence sur un ensembleE. PourA⊂E, on définits(A) =Sx∈Ax.˙ 1. ComparerAets(A).
2. Simplifiers(s(A)).
3. Montrer que :∀x∈E, on a(x∈s(A)) ⇐⇒ (x˙∩s(A)6=∅). En déduires(E\s(A)).
4. Démontrer ques(Si∈IAi) =Si∈Is(Ai)ets(Ti∈IAi)⊂Ti∈Is(Ai).
5. Donner un exemple d’inclusion stricte.
[003036]
Exercice 102 Ordre sur les fonctions
SoitXun ensemble etE=RX. On ordonneEpar : f≤g⇐⇒ ∀x∈X, f(x)≤g(x).
1. Vérifier que c’est une relation d’ordre.
2. L’ordre est-il total ?
3. Comparer les énoncés :“ f est majorée”, et“{f}est majoré”.
4. Soit(fi)i∈Iune famille majorée de fonctions deE. Montrer qu’elle admet une borne supérieure.
[003037]
Exercice 103 sup◦inf et inf◦sup
Soitf:R2→Rune fonction bornée. On définit les fonctions :
g:R→R,t7→sup{f(t,y)tqy∈R}
h:R→R,t7→inf{f(x,t)tqx∈R}
Montrer quegethsont bornées, puis comparer suphet infg. [003038]
Exercice 104 Ordre lexicographique
On noteE= [−1,1]2, et on définit surEla relation : (x,y)(x0,y0) ⇐⇒
(x<x0)ou(x=x0ety≤y0)
(ordre lexicographique).
1. Pour(a,b)∈E, représenter graphiquement l’ensemble des majorants de(a,b).
2. SoitAune partie non vide deE. Montrer queAadmet une borne supérieure.
[003039]
Exercice 105 Distance entre un point et une partie PourA⊂Rnon vide et bornée, etx∈R, on note :
d(x,A) =inf{|x−a|tqa∈A} (distance de x à A).
Montrer qued(x,A)−d(y,A)≤ |x−y|. [003040]
Exercice 106 Parties adjacentes
SoientA,B⊂Rvérifiant : (
∀a∈A,∀b∈B,a≤b
∀ε>0,∃a∈A,∃b∈Btqb−a≤ε
(on dit queAetBsontadjacentes). Montrer que sup(A) =inf(B). [003041]
Exercice 107 borne sup⇒borne inf
SoitEordonné tel que toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure. Montrer que toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure.
CorrectionH [003042]
Exercice 108 Ordre surR2
On définit surR2:(x,y)(x0,y0) ⇐⇒ |x0−x| ≤y0−y.
1. Vérifier que c’est une relation d’ordre.
2. Dessiner les ensembles des majorants et des minorants d’un couple(a,b).
3. L’ordre est-il total ?
4. SoitA={(x,y)∈R2tqx2+y2≤1}. Déterminer sup(A).
CorrectionH [003043]
Exercice 109 Propriétés de sup et inf
Un treillis est un ensemble ordonnéEdans lequel pour tousx,y∈E,sup(x,y)et inf(x,y)existent. SoitEun treillis.
1. Montrer que sup et inf sont des opérations associatives.
2. A quelle condition ont-elles des éléments neutres ? 3. Montrer que :
∀x,y∈E, supx,inf(x,y)
=inf x,sup(x,y)
=x,
∀x,y,z∈E, x≤z⇒sup x,inf(y,z)
≤inf sup(x,y),z ,
∀x,y,z∈E, inf x,sup(y,z)
≥sup inf(x,y),inf(x,z) .
[003044]
Exercice 110 Ordre déduit d’une loi idempotente
Soit·une opération commutative et associative surE, telle que :∀x∈E,x·x=x.
On définit la relation≤surEpar :x≤y ⇐⇒ x·y=x 1. Reconnaître≤quand·est∩surP(X) (resp∪).
2. Montrer que≤est une relation d’ordre.
3. Démontrer que :∀x,y∈E,x·y=inf(x,y).
[003045]
Exercice 111 Borne supérieure parmi les intervalles
SoitEl’ensemble des intervalles deR(y compris∅) ordonné par l’inclusion.
SoientI,Jdeux intervalles. Qu’est-ce que inf(I,J)? sup(I,J)? [003046]
Exercice 112 Prolongement d’applications
SoitEun ensemble etE={(A,f)tqA⊂E,A6=∅,etf∈EA}. On ordonneEpar : (A,f)(B,g) ⇐⇒
( A⊂B
∀x∈A, f(x) =g(x) (c’est-à-dire que la fonctiong, définie surB, prolonge la fonctionf, définie seulement surA).
1. Montrer queest une relation d’ordre. L’ordre est-il total ?
2. Soient(A,f)et(B,g)deux éléments deE. Trouver une CNS pour que la partie{(A,f),(B,g)}soit majorée. Quelle est alors sa borne supérieure ?
3. Même question avec minorée.
[003047]
Exercice 113 Point fixe d’une fonction croissante
Soitf:[0,1]→[0,1]croissante. On noteA={x∈[0,1]tq f(x)≤x}. 1. Démontrer queAn’est pas vide.
2. Démontrer quef(A)⊂A.
3. Soita=inf(A). Montrer quef(a)minoreA.
4. En déduire quef(a) =a.
Cela prouve que toute application croissante de[0,1]dans lui-même admet un point fixe. Montrer que c’est faux pour l’intervalle[0,1[.
[003048]
Exercice 114 Relation d’ordre sur un ensemble quotient
SoitRune relation surEréflexive et transitive. On définit la relation :x∼y ⇐⇒xRyetyRx.
1. Montrer que∼est une relation d’équivalence surE. SurE/∼on pose : ˙x≤y˙ ⇐⇒ xRy.
2. Montrer que cette définition est indépendante des représentantsxetychoisis.
3. Montrer que≤est une relation d’ordre surE/∼.
[003049]
Exercice 115 Pas de borne supérieure dansQ Dans cet exercice, on admet que :∀x∈Q,x26=2.
1. SoientA={x∈Z+∗tqx2<2}etB={x∈Z+∗tqx2>2}. Déterminer sup(A)et inf(B).
2. SoientA={x∈Q+∗tqx2<2}etB={x∈Q+∗tqx2>2}. On veut démontrer queAn’admet pas de borne supérieuredans Q. Pour cela, on suppose au contraire queα=sup(A)existe (α∈Q), et on poseβ= 2
α. (a) Montrer queβ=inf(B).
(b) Montrer que :∀a∈A,∀b∈B,onaa≤b. Que pouvez-vous en déduire pourαetβ? (c) Obtenir une contradiction en considérantγ=α+β2 .
[003050]
6 100.99 Autre
Exercice 116
Quels sont les entiersntels que 4n≤n! ? [000180]
Exercice 117 Montrer que :
∀n≥2,un=
n
∑
k=1
1 k∈/N. Indication: montrer que
∀n≥2,∃(pn,qn)∈(N∗)2,un= 2pn+1 2qn
.
[000181]
Exercice 118
Soitf:N∗→N∗une application vérifiant :
∀n∈N∗,f(n+1)>f(f(n)).
Montrer que f=IdN∗.Indications: que dire dek∈Ntel que f(k) =inf{f(n)|n∈N}? En déduire que∀n>0,f(n)> f(0).Montrer ensuite que∀n∈N,on a :∀m>n,f(m)> f(n)et∀m≤n,f(m)≥m(on pourra introduirektel que f(k)soit le plus petit entier de la forme f(m)avecm>n). En déduire quefest strictement croissante et qu’il n’existe qu’une seule solution au problème. Laquelle ? [000182]
Exercice 119
Pourp∈ {1,2,3}on noteSp= ∑n
k=0
kp.
1. A l’aide du changement d’indicei=n−kdansS1, calculerS1. 2. Faire de même avecS2. Que se passe-t-il ?
3. Faire de même avecS3pour l’exprimer en fonction denetS2. 4. En utilisant l’exercice56, calculerS3.
[000183]
Exercice 120
Pour calculer des sommes portant sur deux indices, on a intérêt à représenter la zone du plan couverte par ces indices et à sommer en lignes, colonnes ou diagonales... Calculer :
1. ∑
1≤i≤j≤n
i j.
2. ∑
1≤i<j≤n
i(j−1).
3. ∑
1≤i<j≤n
(i−1)j.
4. ∑
1≤i≤j≤n
(n−i)(n−j).
5. ∑
1≤p,q≤n
(p+q)2(on poserak=p+q).
[000184]
7 101.01 Application
Exercice 121
Soient f:R→Retg:R→Rtelles que f(x) =3x+1 etg(x) =x2−1. A-t-on f◦g=g◦f?
IndicationH CorrectionH Vidéo [000185]
Exercice 122
Soit l’application deRdansR, f:x7→x2.
1. Déterminer les ensembles suivants :f([−3,−1]), f([−2,1]), f([−3,−1]∪[−2,1])etf([−3,−1]∩[−2,1]). Les comparer.
2. Mêmes questions avec les ensemblesf−1(]−∞,2]), f−1([1,+∞[), f−1(]−∞,2]∪[1,+∞[)etf−1(]−∞,2]∩[1,+∞[).
[000186]
Exercice 123 Images directes et réciproques
Soitf:E→Fune application,A,A0⊂EetB,B0⊂F. 1. Simplifierf(f−1(f(A)))etf−1(f(f−1(B))).
2. Montrer quef(A∩f−1(B)) =f(A)∩B.
3. Comparerf(A∆A0)etf(A)∆f(A0).
4. Comparerf−1(B∆B0)etf−1(B)∆f−1(B0).
5. A quelle condition surfa-t-on :∀A⊂E, f(E\A) =F\f(A)?
[002889]
Exercice 124 (X∩A,X∩B)
SoitEun ensemble, etA,Bdeux parties fixées deE. Soitφ:P(E)→P(A)×P(B),X7→(X∩A,X∩B).
1. Qu’est-ce queφ(∅)?φ(E\(A∪B))?
2. A quelle condition surAetB,φest-elle injective ? 3. Est-ce que le couple(∅,B)possède un antécédent parφ? 4. A quelle condition surAetB,φest-elle surjective ?
[002890]
Exercice 125 Partie stable par une application Soitf:E→E. Pourn∈N∗, on notefn=f◦f◦ ··· ◦f
| {z }
nfois
, et f0=idE. SoitA⊂E,An=fn(A), etB=Sn∈NAn.
1. Montrer quef(B)⊂B.
2. Montrer queBest la plus petite partie deEstable parfet contenantA.
[002891]
Exercice 126 Factorisation d’une application
1. Soitf:F→Eetg:G→Edeux applications. Montrer qu’il existe une applicationh:G→Ftelle queg=f◦hsi et seulement si :g(G)⊂ f(F).
A quelle conditionhest-elle unique ?
2. Soitf:E→Fetg:E→Gdeux applications. Montrer qu’il existe une applicationh:F→Gtelle queg=h◦fsi et seulement si :∀x,y∈E, f(x) =f(y)⇒g(x) =g(y)
. A quelle conditionhest-elle unique ?
[002892]
Exercice 127 Propriétés des applicationsA7→ f(A)etB7→f−1(B) Soitf:E→F. On considère les applications
Φ:P(E)→P(F),A7→f(A) et Ψ:P(F)→P(E),B7→ f−1(B).
Montrer que :
1) fest injective ⇐⇒ Φest injective ⇐⇒Ψest surjective.
2) fest surjective ⇐⇒ Φest surjective ⇐⇒Ψest injective.
[002893]
Exercice 128 ϕ7→f◦ϕetϕ7→ϕ◦f
Soitf:E→Fune application, etGun troisième ensemble ayant au moins deux éléments. On construit deux nouvelles applications : f∗:EG→FG,ϕ7→ f◦ϕ et f∗GF→GE,ϕ7→ϕ◦f
Montrer que :
1. fest injective ⇐⇒ f∗est injective ⇐⇒ f∗est surjective.
2. fest surjective ⇐⇒ f∗est surjective ⇐⇒ f∗est injective.
[002894]
Exercice 129
[h◦g◦f,g◦f◦hinjectives etf◦h◦gsurjective] SoientE−→f F−→g G−→h Etrois applications telles queh◦g◦fetg◦f◦hsont injectives
etf◦h◦gest surjective. Montrer quef,g,hsont bijectives. [002895]
Exercice 130 Parties saturées pour la relation d’équivalence associée à f Soitf:E→Fune application, etS={X⊂Etq f−1(f(X)) =X}.
1. PourA⊂E, montrer quef−1(f(A))∈S.
2. Montrer queS est stable par intersection et réunion.
3. SoientX∈S etA⊂Etels queX∩A=∅. Montrer queX∩f−1(f(A)) =∅. 4. SoientXetY∈S. Montrer queXetY\Xappartienent àS.
5. Montrer que l’applicationS→P(f(E)),A7→ f(A)est une bijection.
[002896]
Exercice 131 Conjugaison
SoitEun ensemble etf:E→Ebijective.
La conjugaison parf est l’applicationΦf:EE→EE,φ7→ f◦φ◦f−1 1. Montrer queΦf est une bijection deEE.
2. SimplifierΦf◦Φg. 3. SimplifierΦf(φ)◦Φf(ψ).
4. SoientI,S, les sous-ensembles deEE constitués des injections et des surjections. Montrer queI etS sont invariants par Φf.
5. Lorsqueφest bijective, qu’est-ce que
Φf(φ)−1
?
[002897]
Exercice 132 Ensembles équipotents SoientE,Fdeux ensembles. On dit que :
Eest moins puissant queF s’il existe une injection f: E→F Eest plus puissant queF s’il existe une surjection f: E→F EetFsont équipotents s’il existe une bijection f: E→F. 1. Démontrer que : (Eest moins puissant queF) ⇐⇒ (Fest plus puissant queE).
2. Montrer queN,N∗,{n∈Ntqnest divisible par 3}, etZsont deux à deux équipotents.
3. Démontrer queEest moins puissant queP(E).
4. Soitf:E→P(E)quelconque etA={x∈Etqx∈/ f(x)}. Prouver queA∈/f(E).
5. Est-ce queEetP(E)peuvent être équipotents ?
6. SoitGun troisième ensemble. SiEest moins puissant queF, démontrer queEGest moins puissant queFG.
[002898]
Exercice 133 Affirmations
Soitf:E→F. Que pensez-vous des affirmations suivantes ? 1. ∀x∈E ∀y∈F f(x) =y.
2. ∀x∈E ∃y∈Ftel que f(x) =y.
3. ∃x∈Etel que ∀y∈F f(x) =y.
4. ∃x∈Etel que ∃y∈Ftel que f(x) =y.
5. ∀y∈F ∀x∈E f(x) =y.
6. ∀y∈F ∃x∈Etel que f(x) =y.
7. ∃y∈Ftel que ∀x∈E f(x) =y.
8. ∃y∈Ftel que ∃x∈Etel que f(x) =y.
[002899]
8 101.02 Injection, surjection
Exercice 134
Donner des exemples d’applications deRdansR(puis deR2 dansR) injective et non surjective, puis surjective et non injective.
[000187]
Exercice 135
Soitf:R→Rdéfinie parf(x) =x3−x.
fest-elle injective ? surjective ? Déterminer f−1([−1,1])etf(R+). [000188]
Exercice 136
Les fonctions suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?
f:Z→Z,n7→2n ; f:Z→Z,n7→ −n f:R→R,x7→x2 ; f:R→R+,x7→x2
f:C→C,z7→z2.
[000189]
Exercice 137
Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ? 1. f:N→N,n7→n+1
2. g:Z→Z,n7→n+1
3. h:R2→R2,(x,y)7→(x+y,x−y) 4. k:R\ {1} →R,x7→x+1x−1
