SoientUetV deux ensembles non vides et fune application deUà valeurs dansV.Legraphede f est le sous-ensemble deU×V défini parGf ={(x,y)∈U×Vtels quey= f(x)}.
1. On suppose maintenant queUetVsont des espaces vectoriels. Rappeler la définition de la structure d’espace vectoriel deU×V.
2. Montrer qu’une partieHdeU×V est le graphe d’une application linéaire deUdansV si et seulement si les trois conditions qui suivent sont satisfaites :
i)La projection canoniqueH→Udéfinie par(x,y)7→xest surjective.
ii) Hest un sous-espace vectoriel deU×V.
iii) H∩({0U})×V) ={0U×V}.(0Uet 0U×V sont les éléments neutres respectifs deUetU×V.)
3. On identifieR4àR2×R2par l’isomorphisme(x,y,z,t)7→((x,y),(z,t)).Enoncer des conditions nécéssaires et suffisantes pour queEsoit le graphe d’une application linéaire deR2dans lui-même.
4. Montrer queEest le graphe d’une application linéaireϕdeR2dans lui-même. Déterminer sa matrice dans une base que l’on définira au préalabe.
[000966]
Exercice 1120 Projecteur et involution
SoitEun espace vectoriel ; on noteiEl’identité surE. Un endomorphismeudeEest unprojecteursiu◦u=u.
1. Montrer que siuest un projecteur alorsiE−uest un projecteur. Vérifier aussi que Imu={x∈E; u(x) =x}et queE=
4. Montrer que siuest un projecteur, 2u−iEest involutif et que tout endomorphisme involutif peut se mettre sous cette forme.
[000967]
1. SoitEun espace vectoriel de dimensionn. UnhyperplandeE est un sous-espace vectoriel de dimensionn−1. Montrer que l’intersection de deux hyperplans deEa une dimension supérieure ou égale àn−2. Montrer que, pour toutp≤n, l’intersection dephyperplans a une dimension supérieure ou égale àn−p.
2. Montrer que, pour toutn∈Net pour touty∈R, l’applicationeydeRn[X]à valeurs dansRdéfinie en posantey(P(X)) =P(y) ( i.e. l’applicationeyest l’évaluation eny) est linéaire. Calculer la dimension de son noyau.
3. Même question avec l’applicatione0ydeRn[X]à valeurs dansRdéfinie en posante0y(P(X)) =P0(y)(en désignant parP0le polynôme dérivé deP).
4. Démontrer, à l’aide de ces deux résultats, qu’il existe dansR6[X]un polynômePnon nul et ayant les propriétés suivantes : P(0) =P(1) =P(2) =0 etP0(4) =P0(5) =P0(6) =0.
[000969]
Exercice 1123
Soitf:R2→R2,(x,y)7→13(−x+2y,−2x+4y). Montrer quefest la bîîîîp par rapport à bîîîîp parallèlement à bîîîîp. [000970]
Exercice 1124
Eest unR−espace vectoriel,F etGdeux sous-espaces supplémentaires deE:E=FLG.On poses(u) =uF−uGoùu=uF+uG
est la décomposition (unique) obtenue grâce àE=FLG.sest la symétrie par-rapport àFde directionG.
1. Montrer ques∈L(E),queu∈F⇔s(u) =u,u∈G⇔s(u) =−u,donner Ker(s)et calculers2.
2. Réciproquement si f∈L(E)vérifie f2=idE.On posep= f+id2 E.Calculerf(u)en fonction dep(u)etu.Vérifier quepest un projecteur, calculer son noyau et son image. Montrer quef est la symétrie par rapport àF={u∈E|f(u) =u}de direction G={u∈E|f(u) =−u}.
[000971]
Exercice 1125
Soientpetqdeux projecteurs deE, espace vectoriel, tels quepq=qp(petqcommutent). Montrer quepqet(p+q−pq)sont deux projecteurs deE, et que :
Im(pq) =Imp∩Imq, Im(p+q−pq) =Imp+Imq.
[000972]
Exercice 1126
Soientpetqdeux projecteurs deE, espace vectoriel ; donner une condition nécessaire et suffisante pour quep+qsoit un projecteur deE; donner alorsIm(p+q)et Ker(p+q).
Indication: on montrera queIm(p+q) =ImpLImqet que Ker(p+q) =Ker(p)∩Ker(q). [000973]
Exercice 1127
SoitEl’espace vectoriel des applications deRdansR,Ple sous-espace des fonctions paires etIle sous-espace des fonctions impaires.
Monter queE=PLI.Donner l’expression du projecteur surPde directionI.
IndicationH CorrectionH [000974]
Exercice 1128
SoitE=R[X]l’espace vectoriel des polynômes, etf:E→Edéfinie par :
∀P∈E, f(P)(X) =P(−X)−P(X)
2 .
Montrer quef∈L(E), queE=Im fLKer(f)mais quef2=−f.Quel théorème cet exemple illustre t-il ? [000975]
Exercice 1129
SoitE=Rn[X]l’espace vectoriel des polynômes de degré≤n, et f:E→Edéfinie par : f(P) =P+ (1−X)P0.
Montrer quef∈L(E),donner une base de Imfet de Ker(f).
CorrectionH [000976]
Exercice 1130
SoitE=C(R+,R)etU:E→Edéfinie parf7→U(f)telle que :
∀x∈R+∗,U(f)(x) =1 x
Zx 0
f(t)dt.
etU(f)(0) =f(0).Montrer queU∈L(E),déterminer Ker(U)etIm(U). [000977]
Exercice 1131
On désigne parPql’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal àq, etOq l’espace vectoriel des polynômes d’ordre supérieur ou égal àq, c’est-à-dire divisibles parxq.Pétant un polynôme, on noteT(P)le polynôme défini par :
T(P)(x) =xP(0)− 1
20x5P(4)(0) + Zx
0 t2[P(t+1)−P(t)−P0(t)]dt.
1. Montrer queT est linéaire. DéterminerT(ei)où e0=1,e1=x,e2=x2, e3=x3,e4=x4, et vérifier queT(P4)⊂P4. Désormais, on considèreTcomme application linéaire deP4dansP4. Écrire sa matrice par rapport à la base(e0,e1,e2,e3,e4).
2. Déterminer soigneusement les espacesT(P4∩O3)etT(P4∩O2).
3. La restrictionT0deTàP4∩O2est-elle injective ? Sinon déterminer une base du noyau deT0. 4. Montrer que ImT= (O1∩P1)⊕(O3∩P4). Quel est le rang deT?
5. Montrer que KerT peut s’écrire sous la forme(O1∩P1)⊕V; expliciter un sous-espaceVpossible. Déterminer KerT∩ImT. 6. On cherche un vecteur non nulu=ae3+be4deO3∩P4, et un nombre réelλ, tels queT(u) =λu. Écrire les équations que
doivent vérifiera,b,λ. Montrer qu’il existe deux valeurs possibles deλ,λ1etλ2, telles 0<λ1<λ2; les calculer. Trouver deux vecteurs non nulsu3etu4deO3∩P4tels queT(u3) =λ1u3etT(u4) =λ2u4.
7. On poseu0=e1,u1=e2−4e3+3e4,u2=e0. Montrer que{u0,u1,u2,u3,u4}est une base deP4. Écrire la matrice deTdans cette base.
[000978]
Exercice 1132
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des endomorphismes deC∞(R)(φ∈C∞(R)est fixé) : f7→ f+φ, f7→φf, f7→ f◦φ, f7→φ◦f, f7→
Z
f, f7→ f0.
Lesquelles sont des endomorphismes deC0(R)?
Pour quelles valeurs deφles endomorphismesΦ:f7→f◦φetD:f7→f0commutent-ils (c’est-à-dire vérifientD(Φf) =Φ(D f),∀f) ? [002432]
Exercice 1133 Image d’une somme, d’une intersection
Soit f:E→F une application linéaire etE1,E2deux sous-espaces vectoriels deE,F1,F2deux sous-espaces vectoriels deF. Que pouvez-vous-dire def(E1+E2), f(E1∩E2), f−1(F1+F2),f−1(F1∩F2)? [003306]
Exercice 1134 Effet sur les familles libres et génératrices SoientE,Fdeux espaces vectoriels etf:E→Flinéaire.
1. Montrer quefest injective si et seulement siftransforme toute famille libre deEen une famille libre deF.
2. Montrer quefest surjective si et seulement s’il existe une famille génératrice deEtransformée parfen une famille génératrice deF.
[003307]
Exercice 1135 f(Ker(g◦f))
SoitEun espace vectoriel etf,g∈L(E). Montrer quef(Ker(g◦f)) =Kerg∩Imf. [003308]
Exercice 1136 Permutation de coordonnées dansKn
Soitσ∈Sn(groupe symétrique) etfσ:Kn→Kn,(x1, . . .xn)7→(xσ(1), . . . ,xσ(n)) On munitKnde la structure d’algèbre pour les opérations composante par composante.
1. Montrer quefσ est un automorphisme d’algèbre.
2. Soitϕun automorphisme d’algèbre deKn.
(a) Montrer que la base canonique deKnest invariante parϕ(étudierϕ(e2i)etϕ(ei×ej)).
(b) En déduire qu’il existeσ∈Sntel queϕ=fσ.
3. Montrer que{0},K(1, . . . ,1),{(x1, . . . ,xn)tqx1+···+xn=0}etKnsont les seuls sev stables par tous les endomorphismes fσ.
[003314]
Exercice 1137 Isomorphisme◦projecteur SoientEen ev de dimension finie et f∈L(E).
1. Montrer qu’il existe un projecteurp∈L(E)et un isomorphismeg∈GL(E)tels que f=g◦p.
2. Montrer qu’il existe un projecteurp∈L(E)et un isomorphismeg∈GL(E)tels que f=p◦g.
[003338]
Exercice 1138 Centre deL(E)
SoitEunK-ev de dimension finie. Le centre deL(E)est :Z={f∈L(E)tq∀g∈L(E), f◦g=g◦f}.
1. Soitf∈L(E)et~x∈E. Si(~x,f(~x))est libre, montrer qu’il existeg∈L(E)telle queg(~x) =~xetg◦f(~x) =−f(~x).
2. En déduire queZest l’ensemble des homothéties.
3. DéterminerZ0={f∈L(E)tq∀g∈GL(E), f◦g=g◦f}.
[003339]
Exercice 1139 Éléments réguliers dansL(E) Soitf∈L(E,F).
1. Montrer que : (fest injectif) ⇐⇒ (∀g∈L(E), f◦g=0⇒g=0).
2. Montrer que : (fest surjectif) ⇐⇒ (∀g∈L(F),g◦f=0⇒g=0).
[003340]
Exercice 1140 f2=−id
SoitEunR-ev etf∈L(E)tel que f◦f=−idE. Pourz=x+iy∈(x2+1)et~u∈E, on pose :z~u=x~u+y f(~u).
1. Montrer qu’on définit ainsi une structure de(x2+1)-ev surE.
2. En déduire que dimR(E)est paire.
[003341]
Exercice 1141 f◦f=0 et f◦g+g◦f=id 1. SoitEunK-ev etf,g∈L(E)tels que :
( f2=0
f◦g+g◦f=idE. Montrer que Kerf=Imf.
2. Réciproquement, soitf∈L(E)tel que Kerf=Imf, etFun supplémentaire de Kerf. Montrer que (a) f2=0.
(b) ∀~x∈E, il existe~y,~z∈Funiques tels que~x=~y+f(~z).
(c) Il existeg∈L(E)tel que f◦g+g◦f=idE.
CorrectionH [003342]
Exercice 1142 Endomorphisme nilpotent
Un endomorphismef∈L(E)est ditnilpotents’il existep∈Ntel que fp=0. Dans ce cas,l’indicedef est le plus petit entierptel que fp=0. On considèref∈L(E)nilpotent d’indicep.
1. Soit~u∈E\Kerfp−1. Montrer que la famille ~u,f(~u), . . . ,fp−1(~u) est libre.
2. En déduire que siEest de dimension finien, alors fn=0.
3. Soitg∈GL(E)tel quef◦g=g◦f. Montrer quef+g∈GL(E). . . (a) en dimension finie.
(b) pourEquelconque.
4. DansL(K2), soient f,gde matrices : 0 01 0
et −0 11 0
. Vérifier que fest nilpotent,g∈GL(K2), maisf+g∈/GL(K2).
CorrectionH [003343]
Exercice 1143 Matexo
SoitE unK espace vectoriel de dimension finie et f∈L(E)tel que∀x∈E,∃px∈N∗, fpx(x) =~0. Montrer que f est nilpotent.
Donner un contre-exemple en dimension infinie. [003344]
Exercice 1144 Mines P’ 1995
SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie et f∈L(E)nilpotente d’indicen.
Soitφ:L(E)→L(E),g7→f◦g−g◦f.
1. Montrer queφp(g) =∑pk=0(−1)kCkpfp−k◦g◦fk. En déduire queφest nilpotente.
2. Soita∈L(E). Montrer qu’il existeb∈L(E)tel quea◦b◦a=a. En déduire l’indice de nilpotence deφ.
[003345]
Exercice 1145 Endomorphisme cyclique
SoitEun ev de dimensionnetf∈L(E). On suppose qu’il existe un vecteur~u∈Etel que la famille fk(~u)
k∈NengendreE.
1. Montrer que ~u,f(~u), . . . ,fn−1(~u)
est une base deE. (Considérerpmaximal tel queF= ~u, . . . ,fp−1(~u)
est libre, et prouver que fk(~u)est combinaison linéaire deFpour tout entierk)
2. Montrer qu’un endomorphismeg∈L(E)commute avecfsi et seulement si c’est un polynôme en f.
[003346]
Exercice 1146 u2=0 en dimension 3
SoitEun ev de dimension 3 etu∈L(E)tel queu2=0. Montrer qu’il existe f∈E∗et~a∈Etels que :∀~x∈E,u(~x) =f(~x)~a.
[003347]
Exercice 1147 (u,x,f(x))liée
SoitE un ev de dimension supérieure ou égale à 3 et~u∈E\ {~0}. Trouver tous les endomorphismes f ∈L(E) tels que :∀~x∈ E,la famille(~u,~x,f(~x))est liée.
CorrectionH [003348]
Exercice 1148 Automorphismes deL(E)
SoitEun ev de dimensionnetΦ:L(E)→L(E)un automorphisme d’algèbre. On note(~e1, . . . ,~en)une base fixée deE,(ϕi j)la base deL(E)associée ϕi j(~ek) =δjk~ei
etψi j=Φ(ϕi j).
1. Simplifierψi j◦ψk`.
2. En déduire qu’il existe~u1∈E\ {~0}tel queψ11(~u1) =~u1.
3. On note~ui=ψi1(~u1). Montrer queψi j(~uk) =δjk~uiet en déduire que(~ui)est une base deE.
4. Soitf∈GL(E)définie par : f(~ei) =~ui. Montrer que :∀g∈L(E),Φ(g) =f◦g◦f−1.
CorrectionH [003354]
Exercice 1149 f2=0⇒f=g◦havech◦g=0
Soitf∈L(E)telle quef2=0. Montrer qu’il existeg,h∈L(E)tels que f=g◦heth◦g=0.
CorrectionH [003355]
Exercice 1150 Barycentre de projections
Soientp,qdeux projections de même baseHet de directionsF,G. Soitλ∈K. Montrer queλp+ (1−λ)qest encore une projection
de baseH. [003485]
Exercice 1151 Valeurs propres d’une projection
SoitE un espace vectoriel etp∈L(E)une projection. Montrer que pour toutλ ∈K\ {−1}, idE+λpest un isomorphisme deE. [003486]
Exercice 1152 Projections ayant même base ou même direction SoitEun espace vectoriel etp,q∈L(E)deux projections.
1. Montrer quepetqont même base si et seulement si :p◦q=qetq◦p=p.
2. Donner une condition analogue pour quepetqaient même direction.
[003487]
Exercice 1153 Somme de deux projecteurs
Soientp,qdeux projections. Montrer les équivalences :
p+qest une projection ⇔p◦q+q◦p=0⇔
(Base(p)⊂Dir(q) Base(q)⊂Dir(p).
Chercher alors la base et la direction dep+q. [003488]
Exercice 1154 f◦g=fetg◦f=g
SoitEunK-ev. Trouver tous les couples(f,g)d’endomorphismes deEtels que :
(f◦g= f g◦f=g.
CorrectionH [003489]
Exercice 1155 f◦g=id
SoitEun espace vectoriel etf,g∈L(E)tels que f◦g=idE. Montrer queg◦fest une projection et déterminer ses éléments.
CorrectionH [003490]
Exercice 1156 Projectionp+q−q◦p
Soientp,qdeux projections telles quep◦q=0. Montrer quep+q−q◦pest une projection, et déterminer ses éléments.
CorrectionH [003491]
Exercice 1157 Endomorphisme de rang 1
Soitf∈L(E)de rang 1. Montrer qu’il existe un uniqueλ∈Ktel que f2=λf.
Montrer que :λ=1 ⇐⇒id−fest non injective ⇐⇒ id−fest non surjective (même en dimension infinie).
CorrectionH [003492]
Exercice 1158 Relation d’ordre sur les projecteurs
On munit l’ensemble des projections d’un evEde la relation :pq⇐⇒ p◦q=q◦p=p.
1. Montrer que c’est une relation d’ordre.
2. Soientp,qdeux projections permutables. Montrer que sup(p,q) =p+q−p◦qet inf(p,q) =p◦q.
[003493]
Exercice 1159 Expressions analytiques
SoitE=K3,F={~X= (x,y,z)tqx+2y+z=0}etG=vect ~U= (1,1,1) . 1. Vérifier queF⊕G=E.
2. Soitsla symétrie de baseFde directionGet~X= (x,y,z). Déterminers(~X).
CorrectionH [003494]
Exercice 1160 Trace nulle
SoitEunR-ev de dimension finie etAune partie finie deGL(E)stable par composition. On poseu=∑f∈Af. Montrer que tr(u) = 0⇒u=0.
CorrectionH [003495]
Exercice 1161 ***I
SoientKun sous-corps deCetEunK-espace vectoriel de dimension finie notéen. Soituun endomorphisme deE. On dit queuest nilpotent si et seulement si∃k∈N∗/uk=0 et on appelle alors indice de nilpotence deule plus petit de ces entiersk(par exemple, le seul endomorphismeu, nilpotent d’indice 1 est 0).
1. Soituun endomorphisme nilpotent d’indicep. Montrer qu’il existe un vecteurxdeEtel que la famille (x,u(x), ...,up−1(x))soit libre.
2. Soituun endomorphisme nilpotent. Montrer queun=0.
3. On suppose dans cette question queuest nilpotent d’indicen. Déterminer rgu.
CorrectionH [005193]
Exercice 1162 *** I
SoientEun espace de dimension finiennon nulle etfun endomorphisme nilpotent deE. Montrer quefn=0.
CorrectionH [005584]
Exercice 1163 ***I
SoitEun espace vectoriel non nul. Soitfun endomorphisme deEtel que pour tout vecteurxdeEla famille(x,f(x))soit liée. Montrer que fest une homothétie.
CorrectionH [005587]
Exercice 1164 ***I
SoitEun espace de dimension finie. Trouver les endomorphismes (resp. automorphismes) deEqui commutent avec tous les endomor-phismes (resp. automorendomor-phismes) deE.
CorrectionH [005588]
Exercice 1165 **I
Soientpetqdeux projecteurs d’unC-espace vectorielE.
Montrer que(p+qprojecteur)⇔(p◦q=q◦p=0)⇔(Im(p)⊂Ker(q)et Im(q)⊂Ker(p)).
Dans le cas oùp+qest un projecteur, déterminer Ker(p+q)et Im(p+q).
CorrectionH [005589]
Exercice 1166 **I
SoitEun espace de dimension finie. Montrer que la trace d’un projecteur est son rang.
CorrectionH [005590]
Exercice 1167 ****
Soientp1,...,pnnprojecteurs d’unC-espace de dimension finie. Montrer que(p1+...+pnprojecteur)⇔ ∀i6= j,pi◦pj=0.
CorrectionH [005591]
Exercice 1168 ***
SoitEunC-espace de dimension finien. Soientp1,...,pnnprojecteurs non nuls deEtels que∀i6=j,pi◦pj=0.
1. Montrer que tous lespisont de rang 1.
2. Soientq1,...,qnnprojecteurs vérifiant les mêmes égalités. Montrer qu’il existe un automorphisme f deEtel que∀i∈[[1,n]], qi= f◦pi◦f−1.
CorrectionH [005592]
Exercice 1169 ***
SoitEun espace vectoriel. SoitGun sous-groupe fini deG L(E)de cardinaln. SoitFun sous-espace deEstable par tous les éléments deGetpun projecteur d’imageF. Montrer que1n∑g∈Gg◦p◦g−1est un projecteur d’imageF.
CorrectionH [005593]
Exercice 1170 ***
SoientEunC-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme deE. Montrer qu’il existe un projecteurpet un automor-phismegdeEtel que f=g◦p.
CorrectionH [005598]
Exercice 1171 **I
SoientEunC-espace vectoriel non nul de dimension finienetf un endomorphisme deEtel que∀x∈E,∃p∈N∗tel que fp(x) =0.
Montrer quefest nilpotent.
CorrectionH [005599]
Exercice 1172 ***
SoitEunC-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Soientf etgdeux projecteurs distincts et non nuls deEtels qu’il existe deux complexesaetbtels que :
f g−g f=a f+bg.
1. Montrer que sia6=0 eta6=1 on a : Im(f)⊂Im(g). En déduire queg f =fpuis quea+b=0 puis quea=−1.
2. Montrer que sia6=0 eta6=−1, on a Ker(g)⊂Ker(f). Que peut-on en déduire ?
3. Montrer que si fetgsont deux projecteurs qui ne commutent pas et vérifient de plusf g−g f=a f+bgalors
Exercice 1175 X MP∗2001
SoitGun sous-groupe fini deGL(Rn)etF=Tg∈GKer(g−id). Montrer que Card(G)×dimF=∑g∈Gtr(g).
CorrectionH [003357]