Exercice 1176
Effectuer le produit des matrices : 2 1
On considère la matrice suivante :
M=
On considère les trois matrices suivantes :
A=
On considère les deux matrices suivantes : A=
1. CalculerAB.
2. CalculerBA.
3. Que remarque-t-on ?
[001043]
Exercice 1180
Trouver les matrices qui commutent avecA=
(a) CalculerB2,B3en déduire une formule de récurrence que l’on démontrera pourBn, pour tout entiern.
(b) Développer(B+I3)npar la formule du binome et simplifier.
(c) En déduireAnPour tout entiern.
1. On considère la matriceA=
(b) Déterminer toutes les matricesFtelles queA×F=O(Oétant la matrice dont tous les coefficients sont nuls).
2. SoitA=
. Déterminer toutes les matricesBtelles queBA=I2. 3. SoientAetBdeux matrices carréesn×ntelles queAB=A+In.
Montrer queAest inversible et déterminer son inverse (en fonction deB).
[001047]
Exercice 1185
SoitAune matrice carrée d’ordren; on suppose queA2est une combinaison linéaire deAetIn:A2=αA+βIn. 1. Montrer queAnest également une combinaison linéaire deAetInpour toutn∈N∗.
2. Montrer que siβest non nul, alorsAest inversible et queA−1est encore combinaison linéaire deAetIn.
3. Application 1 : soitA=Jn−In,oùJnest la matrice Attila (envahie par les uns...), avecn≥1. Montrer queA2= (n−2)A+ (n−1)In; en déduire queAest inversible, et déterminer son inverse.
4. Application 2 : montrer que sin=2,A2est toujours une combinaison linéaire deAetI2,et retrouver la formule donnantA−1 en utilisant 2.
Rappeler la structure d’espace vectoriel deMn(R). Déterminer une base deMn(R). Donner sa dimension. [001051]
Exercice 1188
1. Montrer queEest un sous-espace vectoriel deM3(R)stable pour la multiplication des matrices. Calculer dim(E).
2. SoitM(a,b,c)un élément deE.Déterminer, suivant les valeurs des paramètresa,betc∈Rson rang. Calculer (lorsque cela est possible) l’inverseM(a,b,c)−1deM(a,b,c).
3. Donner une base deEformée de matrices inversibles et une autre formée de matrices de rang 1.
[001054]
Montrer que ce sont des sous espaces vectoriels deM3(R)dont on déterminera des bases.
SoientAetB∈Mn(K)deux matrices triangulaires supérieures.
1. Montrer (en calculant les coefficients) queABest triangulaire supérieure.
2. Soitϕun endomorphisme bijectif deKnetFun sous-espace vectoriel deKntel queϕ(F)⊂F.Montrer que queϕ−1(F)⊂F.
3. En déduire une nouvelle démonstration de 1. Montrer que siAest inversible,A−1est triangulaire supérieure.
[001058]
Exercice 1195
SoitN∈Mn((x2+1))une matrice nilpotente. Calculer det(I+N).SiA∈Mn((x2+1))commute avecN,montrer que det(A+N) =
det(A).(on pourra commencer par étudier le cas oùAest inversible.) [001059]
Exercice 1196
. Montrer queGest un groupe multiplicatif. [001060]
Exercice 1197
Discuter suivant les valeurs deλ∈Rle rang de la matrice
Exercice 1203
Déterminer l’ensemble des matricesM∈Mn(R)telles que :
∀H∈Mn(R),MH=HM.
Montrer queMest inversible. [001069]
Exercice 1206
1. Montrer queEest un espace vectoriel stable par multiplication (Est-ce une algèbre ?). En déduire que :
∀A∈E,∀n∈N,∃(an,bn)∈R2;An=anI+bnJ et calculer les coefficientsanetbn.
2. SoitSn=
SoitA∈Mn(R)une matrice triangulaire à éléments diagonaux nuls, montrer que : An=0.
[001075]
Exercice 1212
la somme étant finie et s’arrêtant par exemple au premier indiceitel queAi=0.Montrer que siAetBsont nilpotentes et commutent, alors exp(A+B) =exp(A)exp(B).En déduire que exp(A)est toujours inversible et calculer son inverse. [001077]
Exercice 1214
Soient(xn)n∈Net(yn)n∈Ndeux suites réelles, vérifiant la relation de récurrence linéaire suivante : n xn+1 = −9xn −18yn
yn+1 = 6xn +12yn
avecx0=−137 ety0=18. On se propose dans ce problème de trouver les termes généraux de ces deux suites.
1. Montrer qu’il existe une matriceA∈M2(R)telle que la relation de récurrence linéaire ci-dessus soit équivalente à la relation Un+1=AUn, oùUn=
4. Montrer que l’ensemble des vecteursX∈R2tels queAX=3X est un sous-espace vectoriel deR2. Quelle est sa dimension ? En donner une base, qu’on noteraB2.
5. Montrer que la réunionB1∪B2forme une baseBdeR2. SoitPla matrice formée des composantes des vecteurs deBrelativement à la base canonique deR2. Montrer quePest inversible, et que le produitP−1APest une matrice diagonaleDqu’on calculera.
6. Montrer queAn=PDnP−1. CalculerDn, et en déduireAn, pour toutn∈N. 7. Donner les termes générauxxnetyn.
CorrectionH [001080]
Exercice 1217
Pour toute matrice carréeAde dimensionn, on appelle trace deA, et l’on note trA, la somme des éléments diagonaux deA : trA=
n
∑
i=1
ai,i
1. Montrer que siA,Bsont deux matrices carrées d’ordren, alors tr(AB) =tr(BA).
2. Montrer que siuest un endomorphisme d’un espace vectorielEde dimensionn,Msa matrice par rapport à une basee,M0sa matrice par rapport à une basee0, alors trM=trM0. On note trula valeur commune de ces quantités.
3. Montrer que sivest un autre endomorphisme deE, tr(u◦v−v◦u) =0.
[002442]
Exercice 1218
On rappelle qu’une matrice carréeAd’ordrenest ditesymétriquesiai,j=aj,i,∀i,j, etantisymétriquesiai,j=−aj,i. 1. Combien y a-t-il de matrices antisymétriques diagonales ?
2. Montrer queAtAest symétrique pour toute matrice carréeA.
3. Montrer que siA,Bsont symétriques, leur produitC=ABest symétrique si et seulement siAB=BA. Que dire si elles sont antisymétriques ? Si l’une est symétrique et l’autre antisymétrique ?
4. SoitPun polynôme. Montrer que siAest symétrique,P(A)l’est aussi. Que dire siAest antisymétrique ?
[002443]
Exercice 1219
SoitA,Bdeux matrices semblables (i.e. il existePinversible telle queA=PBP−1). Montrer que si l’une est inversible, l’autre aussi ; que si l’une est idempotente, l’autre aussi ; que si l’une est nilpotente, l’autre aussi ; que siB=λI, alorsA=B. [002444]
Exercice 1220
SoitAune matrice carrée d’ordrenvérifiant pour touti∈ {1, . . . ,n}
|ai,i|>|ai,1|+|ai,2|+. . .+|ai,i−1|+|ai,i+1|+. . .+|ai,n|.
Montrer queAest inversible. [002445]
Exercice 1221
1. Montrer que le produit de deux matrices stochastique est aussi une matrice stochastique.
2. SoitB=A2,Ai=supjai,j,ai=infjai,j. Montrer queai≤bi,j≤Ai,∀j.
[002446]
Exercice 1222
On considère les matrices suivantes : A=
Calculerlorsque cela est bien définiles produits de matrices suivants :AB,BA,AC,CA,AD,AE,BC,BD,BE,CD,DE. [002747]
Exercice 1223
CalculerAnpour toutn∈Z, avec successivement A=
[002749]
Exercice 1225
Les matrices suivantes sont-elles inversibles ? Si oui, calculer leurs inverses.
L’exponentielled’une matrice carréeMest, par définition, la limite de la série eM=1+M+M2 On admet que cette limite existe en vertu d’un théorème d’analyse.
1. Montrer que siAB=BAalorseA+B=eAeB. On est autorisé, pour traiter cette question, à passer à la limite sans précautions.
2. CalculereMpour les quatre matrices suivantes :
On considère la matriceA=
. Montrer queAB=AC. La matriceApeut-elle être inversible ? 2. Déterminer toutes les matricesFde taille(3,3)telles queAF=0, (où 0 est la matrice dont tous les coefficients sont nuls).
[002772]
Exercice 1229
Pour quelles valeurs deala matrice
A=
est-elle inversible ? Calculer dans ce cas son inverse. [002773]
Exercice 1230
Soientaetbdeux réels, etAla matrice
A=
Exercice 1231
Calculer l’inverse de la matrice suivante :
A=
Montrer queDest une sous-algèbre deMn(K). Quelle est sa dimension ?
[003358] 1. Montrer queDest stable par multiplication.
2. Déterminer les matricesA∈Dinversibles telles queA−1∈D.
CorrectionH [003359]
Exercice 1234 Matrices centrosymétriques
SoitA= (ai j)∈Mn(K). On dit queAestcentro-symétriquesi pour tousi,j:an+1−i,n+1−j=ai j. Montrer que siAetBsont centro-symétriques, il en est de même deAB. Montrer aussi que siAest centro-symétrique et inversible alorsA−1est aussi centro-symétrique.
[003360]
Exercice 1235 ÉquationAX=B SoitA=
1. Montrer que l’équation enX:AX=B,X,B∈M3,n(K), a des solutions si et seulement si les colonnes deBsont des progressions arithmétiques (traiter d’abord le casn=1).
2. RésoudreAX=
Exercice 1236 ÉquationAX=B SoientA=
Exercice 1237 Calcul deAnpar la formule du binôme SoitA=
Exercice 1238 Calcul deAnpar polynôme annulateur SoitA=
2. Soitn∈NetPnle polynôme de degré inférieur ou égal à 2 tel que
Exercice 1239 Calcul deAk CalculerAkpourk∈N: Déterminer(A(x))npourxréel etnentier relatif.
CorrectionH [005258]
,x∈]−1,1[}est un groupe pour la multiplication des matrices.
CorrectionH [005263]