Exercice 160
IndicationH CorrectionH Vidéo [000220]
Exercice 162
En utilisant la formule du binôme, démontrer que :
1. 2n+1 est divisible par 3 si et seulement sinest impair ; 2. 32n+1+24n+2est divisible par 7.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000222]
Exercice 164
Démontrer queCnp=Cnp−1+Cnp−−11pour 1≤p≤n−1. [000223]
Exercice 165
Montrer que, pourpetnentiers naturels non nuls tels que 1≤p≤n, on a : pCnp=nCnp−−11.
[000224]
Exercice 166 1. Montrer que :
p
∑
k=0
CnkCn−kp−k=2pCnp, oùpetnsont des entiers naturels avec 0≤p≤n.
2. Avec les mêmes notations, montrer que
p
∑
k=0
(−1)kCnkCnp−−kk=0.
[000225]
Exercice 167
1. Soientn,petqdes entiers naturels tels que 0≤p,q≤n.
2. Montrer que l’on aCnp=Cnqsi et seulement sip=qoup+q=n.
3. Résoudre l’équation
C3n2n+4−1=C2n+4n2−2n+3.
[000226]
Exercice 168
Soientm,n∈N∗etp∈N. En utilisant la formule du binôme, démontrer quem2p+1+n2p+1est divisible parm+n. [000227]
Exercice 169
En utilisant la formule du binôme montrer : (a)
n
∑
k=0
(−1)kCnk=0 (b)
n
∑
k=0
k2Cnk=n(n−1)2n−2+n2n−1.
CorrectionH [000228]
Exercice 170
Calculer le module et l’argument de(1+i)n. En déduire les valeurs de
S1 = 1−Cn2+Cn4−Cn6+···
S2 = C1n−Cn3+Cn5− ···
IndicationH CorrectionH [000229]
Exercice 171
Démontrer les formules suivantes :
1. Cnm=Cmn−m(on pourra utiliser le fait queP(E)−→P(E)A7→Acest une bijection.) 2. Cnm=Cnm−1+Cmn−−11,
3. Cnm=Cnm−2+2Cnm−−21+Cnm−−22.
CorrectionH [000230]
Exercice 172
SoientEun ensemble non vide etX,Y une partition deE.
1. Montrer que l’application suivante est une bijection :
P(E)−→P(X)×P(Y) 1. Montrer quefest une bijection.
2. On suppose désormais queE est fini et Card(E) =n. On poseP0(E)l’ensemble des parties deEde cardinal pair etP1(E) l’ensemble des parties deEde cardinal impair. Montrer que Card(P0(E)) =Card(P1(E)).
3. Calculer ces cardinaux et en déduire la valeur de
n
En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que ∑n
k=0
1. Montrer par récurrence surnque
n
CorrectionH [002901]
Exercice 178 Calcul de sommes
Soientn,p∈N∗. Simplifier∑pk=0(−1)kCnk.
CorrectionH [002902]
Exercice 179 Sommes de cardinaux
SoitEun ensemble fini de cardinaln. Calculer∑A⊂ECard(A),∑A,B⊂ECard(A∩B),∑A,B⊂ECard(A∪B).
CorrectionH [002903]
Exercice 180 Sommes d’entiers Soitn∈N. Calculer
∑
i+j=n
i jet
∑
i+j+k=n
i jk.
CorrectionH [002904]
Exercice 181 Combinaisons avec répétitions
Soientn,p∈N. On noteΓnple nombre den-uplets(x1, . . . ,xn)∈Nntels quex1+···+xn=p.
1. DéterminerΓ0n,Γ1n,Γ2n,Γn2.
2. Démontrer queΓn+1p+1=Γpn+1+Γnp+1(on classera les(n+1)-uplets tels quex1+···+xn+1=p+1 suivant quex1=0 ou non).
3. En déduire queΓnp=Cn+pp −1.
CorrectionH [002905]
Exercice 182 Sommes de coefficients du binôme
Soientn,p∈N. Montrer que∑nk=0Cpp+k=Cp+n+1p+1 . [002906]
Exercice 183 Cnpmaximal
Soitn∈Nfixé. Déterminer pour quelle valeur deple nombreCnpest maximal (on étudiera le rapportCnp/Cnp+1).
CorrectionH [002907]
Exercice 184 Parité deCnp
Soitp∈N∗, etn=2p.
1. Soitk∈ {1, . . . ,n−1}. Vérifier quekCnk=nCn−k−11. 2. En déduire que :∀k∈ {1, . . . ,n−1},Cnkest pair.
3. En déduire que :∀k∈ {0, . . . ,n−1},Cnk−1est impair.
[002908]
Exercice 185 Formule de Vandermonde
Soienta,b,c∈N. Démontrer que∑ck=0CakCbc−k=Ca+bc . . . 1. En calculant de deux manières(1+x)a(1+x)b.
2. En cherchant le nombre de parties de cardinalcdansE∪F, oùEetFsont des ensembles disjoints de cardinauxaetb.
3. Application : Soientn,p,q∈N. Montrer que∑qk=0CqkCnp+k=Cn+qp+q.
[002909]
Exercice 186 Formule d’inversion
Soit(xn)une suite de réels. On poseyn=∑nk=0Cknxk. Montrer que(−1)nxn=∑nk=0(−1)kCknyk. [002910]
Exercice 187 Suite de Fibonacci
Soitun=∑np=0Cnp−p. Montrer queu0=u1=1 et :∀n∈N,un+2=un+1+un(suite de Fibonacci). [002911]
Exercice 188 IT Identités combinatoires
La difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable.
1. Calculer n0
+...et trouver la valeur commune des deux sommes.
3. Calculer les sommes n0
(utiliser le polynôme(1+x)2n).
6. Calculer les sommes 0. n0
n+1(considérer dans chaque cas un certain polynôme astu-cieusement choisi).
Résoudre dansN∗l’équation n1 + n2
+ n3
=5n.
CorrectionH [005141]
Exercice 193 *I Inégalité de BERNOULLI
Montrer que, pouraréel positif etnentier naturel donnés,(1+a)n≥1+na.
1. (***) Trouver une démonstration combinatoire de l’identité∑Cn2k=∑C2k+1n ou encore démontrer directement qu’un ensemble ànéléments contient autant de parties de cardinal pair que de parties de cardinal impair.
2. (****) Trouver une démonstration combinatoire de l’identitékCkn=nCnk−−11. 3. (****) Trouver une démonstration combinatoire de l’identitéCn2n=∑nk=0(Cnk)2.
CorrectionH [005278]
Exercice 196 ***
Combinaisons avec répétitions. Montrer que le nombre de solutions en nombres entiersxi≥0 de l’équationx1+x2+...+xn=k(k entier naturel donné) estCkn+k−1. (Noteran,kle nombre de solutions et procéder par récurrence.)
CorrectionH [005280]
12 102.02 Cardinal
Exercice 197
Montrer queZest dénombrable en utilisant l’application : φ:N→Z
(
n7→2n−1 sin>0 ; n7→ −2n sinon.
[000235]
Exercice 198
PourA,Bdeux ensembles deEon noteA∆B= (A∪B)\(A∩B). PourEun ensemble fini, montrer : CardA∆B=CardA+CardB−2CardA∩B.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000236]
Exercice 199
SoitEun ensemble ànéléments, etA⊂Eun sous-ensemble àpéléments. Quel est le nombre de parties deEqui contiennent un et un seul élément deA?
IndicationH CorrectionH Vidéo [000237]
Exercice 200
Déterminer le nombre de mots distincts que l’on peut former avec 6 voyelles et 20 consonnes, chaque mot étant composé de 3 consonnes
et 2 voyelles, en excluant les mots qui renferment 3 consonnes consécutives. [000238]
Exercice 201
On considère les mains de 5 cartes que l’on peut extraire d’un jeu de 52 cartes.
1. Combien y a-t-il de mains différentes ?
2. Combien y a-t-il de mains comprenant exactement un as ? 3. Combien y a-t-il de mains comprenant au moins un valet ?
4. Combien y a-t-il de mains comprenant (à la fois) au moins un roi et au moins une dame ?
IndicationH CorrectionH Vidéo [000239]
Exercice 202
SoientA,A0,B,B0quatre ensembles tels que :
Card(A) =Card(A0) =aet Card(B) =Card(B0) =b.
1. Déterminer le nombre de bijections deA×BsurA0×B0.
2. Supposons maintenant que{A,B}, {A0,B0}forment deux partitions deE, un ensemble. Déterminer le nombre de bijections f:E−→Etelles quef(A) =A0etf(B) =B0.
[000240]
Exercice 203
SoientAetBdeux sous ensembles finis d’un ensembleE.
1. Montrer que : Card(A∪B) =Card(A) +Card(B)−Card(A∩B).
2. Montrer par récurrence que si(Fi)1≤i≤nest une famille de sous-ensembles finis de E alors : Card(
[n
i=1
Fi)≤
n
∑
i=1
Card(Fi) avec égalité si lesFisont deux à deux disjoints.
[000241]
Exercice 204
Soient 1≤k≤n. Déterminer le nombre dek-uplets(i1, . . . ,ik)tels que 1≤i1< . . . <ik≤n. [000242]
Exercice 205 Permutations
Combien y a-t-il de bijectionsfde{1, . . . ,12}dans lui-même possédant :
1. la propriété :nest pair⇒ f(n)est pair ?
2. la propriété :nest divisible par 3⇒ f(n)est divisible par 3 ? 3. ces deux propriétés à la fois ?
4. Reprendre les questions précédentes en remplaçantbijectionparapplication.
CorrectionH Vidéo [002912]
Exercice 206 Permutations de couples
On doit placer autour d’une table ronde un groupe de 2npersonnes,nhommes etnfemmes, qui constituentncouples. Combien existe-t-il de dispositions. . .
1. au total ?
2. en respectant l’alternance des sexes ? 3. sans séparer les couples ?
4. en remplissant les deux conditions précédentes ?
CorrectionH [002913]
Exercice 207 Nombre d’opérations
1. Combien existe-t-il d’opérations internes sur un ensemble ànéléments ? 2. Combien sont commutatives ?
3. Combien ont un élément neutre ?
4. Combien sont commutatives et ont un élément neutre ?
CorrectionH [002914]
Exercice 208 Formule du crible SoientA1, . . . ,Annensembles finis.
1. (a) Calculer Card(A1∪A2∪A3)et Card(A1∪A2∪A3∪A4).
(b) Suggérer une formule pour Card(A1∪ ··· ∪An).
2. Démonstration de la formule : On noteE=Sni=1Ai, et pourx∈Eon pose fi(x) =
(1 six∈Ai
0 sinon.
(a) Soientx1, . . . ,xn∈R. Développer complètementp= (1−x1)× ··· ×(1−xn).
(b) En considérant la somme∑x∈E(1−f1(x)). . .(1−fn(x)), démontrer la formule1b.
3. Applications :
(a) Déterminer le nombre d’applications f:{1, . . . ,p} → {1, . . . ,n}non surjectives.
(b) Déterminer le nombre de permutations d’un ensemble ànéléments ayant au moins un point fixe.
CorrectionH [002915]
Exercice 209 Inégalités pour la formule du crible SoientA1, . . . ,Annensembles finis, etE=Sni=1Ai.
1. Montrer que Card(E)≤∑ni=1Card(Ai). Cas d’égalité ?
2. Montrer que Card(E)≥∑ni=1Card(Ai)−∑1≤i<j≤nCard(Ai∩Aj). Cas d’égalité ?
CorrectionH [002916]
Exercice 210 Couples(A,B)tels queA∪B=E
SoitEun ensemble fini ànéléments, etE={(A,B)∈(P(E))2tqA∪B=E}. Chercher card(E).
CorrectionH [002917]
Exercice 211 Parties ne contenant pas d’éléments consécutifs
1. Quel est le nombre de parties àpéléments de{1, . . . ,n}ne contenant pas d’éléments consécutifs ? 2. Soittnle nombre de parties de{1, . . . ,n}de cardinal quelconque sans éléments consécutifs.
(a) Montrer quetn+2=tn+1+tn,t2n+1=tn2+tn2−1, ett2n=tn2−tn2−2. (b) Calculert50.
IndicationH CorrectionH [002918]
Exercice 212 Nombre de relations d’équivalence
SoitRnle nombre de relations d’équivalence sur un ensemble ànéléments.
1. Trouver une relation de récurrence entreRnet lesRk,k<n
(fixer un élément, et raisonner sur la classe d’équivalence de cet élément).
2. CalculerRnpourn≤6.
CorrectionH [002919]
Exercice 213 Equivalence entre fonctions
SoientE,F, deux ensembles non vides. On définit deux relations surX=FEpar : f∼g ⇐⇒ ∃φ:F→Fbijective tqg=φ◦f, f≡g ⇐⇒ ∀x,y∈E, f(x) =f(y) ⇐⇒ g(x) =g(y)
. 1. Montrer que ce sont des relations d’équivalence.
2. Montrer quef∼g⇒f≡g.
3. On supposef≡g. Montrer quef∼gdans les cas suivants : (a) Fest fini etfest surjective.
(b) Fest fini etfest quelconque.
(c) Eest fini.
4. Chercher un contrexemple pourE=F=N.
[002920]
Exercice 214 Très bon ordre
SoitEun ensemble ordonné dans lequel toute partie non vide possède un plus grand et un plus petit élément.
Montrer queEest totalement ordonné et fini. [002921]
Exercice 215 Élément maximal
SoitEun ensemble ordonné. Un élémenta∈Eest ditmaximals’il n’existe pas deb∈Etqb>a.
1. SiEest totalement ordonné, montrer que :maximal ⇐⇒ maximum.
2. E={1,2,3,4,5,6}ordonné par la divisibilité. Chercher les éléments maximaux.
3. SiEest fini, montrer qu’il existe un élément maximal.
4. SiEest fini et n’a qu’un seul élément maximal, montrer que cet élément est maximum.
[002922]
Exercice 216 Nombres de Catalan
Soientx1, . . . ,xnnréels. Pour calculer la sommex1+···+xn, on place des parenthèses de façon à n’avoir que des additions de deux nombres à effectuer. Soittnle nombre de manières de placer les parenthèses (on poset1=1).
1. Déterminert2,t3,t4.
2. Trouver une relation de récurrence entretnett1, . . . ,tn−1.
CorrectionH [002923]
Exercice 217 ***
Combien y a-t-il de partitions d’un ensemble àpqéléments enpclasses ayant chacuneqéléments ? (SiEest un ensemble àpqéléments et siA1,...,Apsontpparties deE,A1,...,Apforment une partition deEsi et seulement si tout élément deEest dans une et une seule des partiesAi. Il revient au même de dire que la réunion desAiestEet que lesAisont deux à deux disjoints.)
CorrectionH [005279]
Exercice 218 *
Combien y a-t-il de nombres de 5 chiffres où 0 figure une fois et une seule ?
CorrectionH [005281]
Exercice 219 **I
On part du point de coordonnées(0,0)pour rejoindre le point de coordonnées(p,q)(petqentiers naturels donnés) en se déplaçant à chaque étape d’une unité vers la droite ou vers le haut. Combien y a-t-il de chemins possibles ?
IndicationH CorrectionH Vidéo [005284]
Exercice 220 ***I
De combien de façons peut-on payer 100 euros avec des pièces de 10, 20 et 50 centimes ?
CorrectionH [005285]
Exercice 221 ****
1. SoitEun ensemble fini et non vide. Soientnun entier naturel non nul etA1,...,An,nparties deE. Montrer la « formule du crible » :
card(A1∪...∪An) =
n
∑
i=1
card(Ai)−
∑
1≤i1<i2≤n
card(Ai1∩Ai2) +...+ (−1)k−1
∑
1≤i1<i2<...<ik≤n
card(Ai1∩Ai2∩...∩Aik) +...+ (−1)n−1card(A1∩...∩An).
2. Combien y a-t-il de permutationsσ de{1, ...,n}vérifiant∀i∈ {1, ...,n},σ(i)6=i? (Ces permutations sont appelées dérange-ments (permutations sans point fixe)). Indication : noterAil’ensemble des permutations qui fixentiet utiliser 1).
On peut alors résoudre un célèbre problème de probabilité, le problème des chapeaux.npersonnes laissent leur chapeau à un vestiaire. En repartant, chaque personne reprend un chapeau au hasard. Montrer que la probabilité qu’aucune de ces personnes n’ait repris son propre chapeau est environ1equandnest grand.
CorrectionH [005286]
Exercice 222 **
Combien y a-t-il de surjections de{1, ...,n+1}sur{1, ...,n}?
CorrectionH [005287]
Exercice 223 ***
Soit(P)un polygone convexe ànsommets. Combien ce polygone a-t-il de diagonales ? En combien de points distincts des sommets se coupent-elles au maximum ?
CorrectionH [005288]
Exercice 224 ***
1. On donnendroites du plan. On suppose qu’il n’en existe pas deux qui soient parallèles, ni trois qui soient concourantes.
Déterminer le nombreP(n)de régions délimitées par ces droites.
2. On donnenplans de l’espace. On suppose qu’il n’en existe pas deux qui soient parallèles, ni trois qui soient concourants en une droite, ni quatre qui soient concourants en un point. Déterminer le nombreQ(n)de régions délimitées par ces plans.
CorrectionH [005289]
Exercice 225 ***
SoitPnkle nombre de partitions d’un ensemble ànéléments enkclasses.
Montrer quePnk=Pnk−−11+kPnk−1pour 2≤k≤n−1.
Dresser un tableau pour 1≤k,n≤5.
Calculer en fonction dePnkle nombre de surjections d’un ensemble ànéléments sur un ensemble àpéléments.
CorrectionH [005290]
13 102.99 Autre
Exercice 226
1. (principe des bergers) SoientE,Fdeux ensembles avecFensemble fini, etfune surjection deEsurFvérifiant :
∀y∈F,Card(f−1(y)) =p Montrer que E est alors un ensemble fini et Card(E) =pCard(F).
2. (principe des tiroirs) Soientα1,α2, . . . ,αp,pélements distincts d’un ensembleE, répartis entre une famille densous-ensembles deE. Sin<pmontrer qu’il existe au moins un ensemble de la famille contenant au moins deux éléments parmi lesαi.(on pourra raisonner par l’absurde)
[000243]
Exercice 227
Montrer par récurrence surnque siA1, . . . ,An⊂Ealors Card(A1∪. . .∪An) =
n
∑
k=1
(−1)k+1 ∑
1≤i1<...<ik≤nCard(Ai1∩. . .∩Aik). [000244]
Exercice 228
Soitpn(k)le nombre de permutations de{1, ...,n}ayantkpoints fixes, montrer alors que :
n
∑
k=0
k pn(k) =n!.
Interpréter. [000245]
Exercice 229
SoitEun ensemble de cardinalnm∈N∗, où(n,m)∈(N∗)2, etPn,ml’ensemble des partitions deEennparties àméléments chacune.
Montrer que :
Nn,m=card(Pn,m) = (nm)!
n!(m!)n.
(Indication: on peut procéder par récurrence.) [000246]
Exercice 230
L’histoire :npersonnes apportent chacune un cadeau à une fête, et chacun tire au sort un cadeau dans le tas formé par tous les présents apportés. Quelle est la probabilité qu’au moins une personne reparte avec son cadeau ? Que devient cette probabilité quand le nombre de personnes devient très grand, i.e. :n→∞? (On remarquera que l’intuition met en évidence deux effets contradictoires : plus de personnes c’est plus de proba qu’une personne ait son cadeau car... il y a plus de personnes, mais c’est aussi plus de cadeaux, donc une proportion plus élevée de cadeaux “acceptables”).
SoitSn=σ({1, . . . ,n}). On dit queσ∈Sn est un dérangement si∀i∈ {1, . . . ,n}σ(i)6=i. On noteAi={σ∈Sn/σ(i) =i}etDn
l’ensemble des dérangements.
1. Calculer Card(Ai).
2. ExprimerSn−Dnen fonction desAi.
3. En déduire Card(Dn)(on pourra utiliser l’exercice227).
4. Déterminer la limite deCardDn
CardSn
. (on rappelle que lim
n→+∞(1+x+. . .+xn!n) =ex).
[000247]
Exercice 231
SoitEun ensemble de cardinaln,Re une relation d’équivalence surE, aveckclasses d’équivalences etrcouples(x,y)∈E2tels que
xRey.Montrer quen2≤kr. [000248]
Exercice 232 Dénombrement deN2 Soit
f:N2→N, (p,q)7→1
2(p+q)(p+q+1) +p.
1. Montrer pourq>0 :f(p+1,q−1) =f(p,q) +1 etf(0,p+1) =f(p,0) +1.
2. Montrer que :f(0,p+q)≤f(p,q)< f(0,p+q+1).
3. Montrer queg:n7→ f(0,n)est strictement croissante.
4. Montrer quefest injective (on supposeraf(p,q) =f(p0,q0)et on montrera dans un premier temps quep+q=p0+q0).
5. Montrer quefest surjective.
[003051]
Exercice 233 Parties dénombrables
Soit(nk)une suite d’entiers naturels. On dit que la suite est : - presque nulle s’il existep∈Ntq∀k≥p,nk=0
- stationnaire s’il existep∈Ntq∀k≥p,nk=np.
Montrer que les ensembles des suites presque nulles et des suites stationnaires sont dénombrables. [003052]
Exercice 234 Propriétés du pgcd et du ppcm
Soienta,b∈N. On posem=ppcm(a,b)etd=pgcd(a,b).
1. Soitxun multiple commun àaetb. En écrivant la division euclidienne dexparm, montrer quem|x.
2. Soitxun diviseur commun àaetb. Montrer que ppcm(x,d)est aussi un diviseur commun àaetb. En déduirex|d.
3. Comment qualifiermetdpour la relation d’ordre de divisibilité ?
[003053]
Exercice 235 Bases de numération
Soitb∈N\{0,1}etp∈N. Montrer que pour tout entiern∈ {0, . . . ,bp−1}, il existe un uniquep-uplet(n0, . . . ,np−1)d’entiers naturels tel que :
∀k<p,nk∈ {0, . . . ,b−1}, et n=
p−1
∑
k=0
nkbk.
[003054]
Exercice 236 Bases de numération
Soitn∈N∗. Montrer qu’il existep∈Netn0,n1, . . . ,np∈ {1,2}uniques tels quen=∑k=0p nk2k. [003055]
Exercice 237 Bases de numération
Soientn,p∈N∗avecn<p!. Montrer qu’il existe un uniquep-uplet(n1, . . . ,np)d’entiers naturels tel que
∀k≤p,nk≤k, et n=
p
∑
k=1
nkk!.
[003056]
Exercice 238 Récurrence d’ordre 2 On notean=25n+23n+4.
1. Trouvera,b∈Ztels que :∀n∈N,an+2=a.an+1+b.an. 2. En déduire que :∀n∈N,anest divisible par 17.
CorrectionH [003057]
Exercice 239 Ordre surNN
SoitE=NN. Pourf,g∈Eavec f6=g, on notenf,g=min{ktq f(k)6=g(k)}. On ordonneEpar :
∀f,g∈E, fg⇐⇒ (f=g)ou f(nf,g)<g(nf,g) . 1. Montrer que c’est une relation d’ordre total.
2. Montrer que toute partie deEnon vide admet une borne inférieure et toute partie deE non vide et majorée admet une borne supérieure.
[003058]
Exercice 240 f◦f(n) =n+k
On veut montrer qu’il n’existe pas d’applicationf:N→Nvérifiant :∀n∈N, f(f(n)) =n+1987.
(Olympiades 1987)
Soitfune telle application. On pose :
E={0, . . . ,1986}, F=N\E, G= f(N)∩E, H=E\G.
Démontrer successivement :
1. fest injective, 2. f(F)⊂F, 3. f−1(F) =F∪G, 4. f−1(G) =H,
puis obtenir une contradiction. [003059]
Exercice 241 f(f(n))< f(n+1)
Soitf:N→Ntelle que :∀n∈N, f(f(n))<f(n+1). On veut montrer que f=idN. (Olympiades 1977)
1. Montrer que∀n∈N,∀x≥n, f(x)≥n.
2. Soitn∈Neta≥ntel que f(a) =min{f(x)tqx≥n}. Montrer quea=n.
3. En déduire quefest strictement croissante, puis conclure.
CorrectionH [003060]
Exercice 242 ***I
Quelle est la probabilité pn pour que dans un groupe denpersonnes choisies au hasard, deux personnes au moins aient le même anniversaire (on considèrera que l’année a toujours 365 jours, tous équiprobables). Montrer que pourn≥23, on apn≥12.
CorrectionH [005282]
Exercice 243 ***
Montrer que le premier de l’an tombe plus souvent un dimanche qu’un samedi.
CorrectionH [005283]