Exercice 244
Combien 15! admet-il de diviseurs ?
IndicationH CorrectionH Vidéo [000249]
Exercice 245
Trouver le reste de la division par 13 du nombre 1001000.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000250]
Exercice 246
Sachant que l’on a 96842=256×375+842, déterminer, sans faire la division, le reste de la division du nombre 96842 par chacun des nombres 256 et 375.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000251]
Exercice 247
Soientm≥1 etn≥2 des entiers ; montrer que : 1. n−1|nm−1 ;
2. (n−1)2|nm−1 si et seulement sin−1|m.
[000252]
Exercice 248
Soitaun entier relatif quelconque, démontrer que le nombrea(a2−1)et, plus généralement,a(a2n−1)est divisible par 6. [000253]
Exercice 249
Démontrer que le nombre 7n+1 est divisible par 8 sinest impair ; dans le casnpair, donner le reste de sa division par 8.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000254]
Exercice 250
Quel est le plus petit entier naturel qui, divisé par 8,15,18 et 24, donne respectivement pour reste 7,14,17 et 23 ? [000255]
Exercice 251
Montrer que sixetysont des entiers naturels tels quex2divisey2, alorsxdivisey. Application : démontrer, par l’absurde, que√ 2 n’est
pas rationnel. [000256]
Exercice 252 Montrer que∀n∈N:
n(n+1)(n+2)(n+3)est divisible par 24, n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)est divisible par 120.
CorrectionH Vidéo [000257]
Exercice 253
Trouver tous les entiers relatifsntels quen2+n+7 soit divisible par 13. [000258]
Exercice 254
On considère le nombrem=2np, dans lequelndésigne un entier naturel quelconque et pun nombre premier. Dresser la liste des diviseurs dem, y compris 1 etmlui-même, et calculer, en fonction demetp, la sommeSde tous ces diviseurs. [000259]
Exercice 255
Le diviseur d’une division est égal à 45 ; le reste est le carré du quotient. Calculer le dividende entier naturel. [000260]
Exercice 256
Trouver le plus petit entier naturelntelle que le développement décimal de 1/nadmette une plus petite période de longueur 5,
c’est-à-dire 1/n=0,abcde abcde ab. . .aveca,b, . . . ,e∈ {0,1,2, . . . ,9}. [000261]
Exercice 257
Les nombresa,b,c,détant des éléments non nuls deZ, dire si les propriétés suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant la réponse.
1. Siadivisebetc, alorsc2−2best multiple dea.
2. S’il existeuetventiers tels queau+bv=dalors pgcd(a,b) =|d|. 3. Siaest premier avecb, alorsaest premier avecb3.
4. Siadiviseb+cetb−c, alorsadivisebetadivisec.
5. Si 19 diviseab, alors 19 diviseaou 19 diviseb.
6. Siaest multiple debet sicest multiple ded, alorsa+cest multiple deb+d.
7. Si 4 ne divise pasbc, alorsboucest impair.
8. Siadivisebetbne divise pasc, alorsane divise pasc.
9. Si 5 diviseb2, alors 25 diviseb2. 10. Si 12 diviseb2, alors 4 diviseb.
11. Si 12 diviseb2, alors 36 diviseb2.
12. Si 91 diviseab, alors 91 diviseaou 91 diviseb.
[000262]
Exercice 258
On définit les trois ensembles suivants :
E1 = {7n,n∈N}
E2 = {n∈Ntel que nest multiple de 4} E3 = {28n,n∈N}
1. Pour 1≤i,j≤3, déterminer si on a l’inclusionEi⊂Ej.
2. EcrireE1∩E2sous la formeE={n∈N,P(n)}. Montrer queE1∩E2=E3.
[000263]
Exercice 259
Montrer que siretssont deux nombres entiers naturels somme de deux carrés d’entiers alors il en est de même pour le produitrs.
[000264]
Exercice 260
Soitnun entier relatif. Montrer que soit 8 divisen2, soit 8 divisen2−1, soit 8 divisen2−4. [000265]
Exercice 261
Étant donnés deux nombres relatifsnetpmontrer que soitnpest pair, soitn2−p2est divisible par 8. [000266]
Exercice 262
Montrer que sinest un entier naturel somme de deux carrés d’entiers alors le reste de la division euclidienne denpar 4 n’est jamais égal à 3.
CorrectionH Vidéo [000267]
Exercice 263
1. Soitnun entier naturel dont le reste de la division euclidienne par 5 vaut 2 ou 3, montrer quen2+1 est divisible par 5.
2. Montrer que pour tout entier natureln, l’entiern5−nest divisible par 5.
[000268]
Exercice 264
Soitn∈N∗. Montrer que parmi les trois entiersn.(n+1),n.(n+2)et(n+1).(n+2), il y en a exactement deux qui sont divisibles par
3. [000269]
Exercice 265
1. Pour tout couple de nombres réels(x,y)montrer, par récurrence, que pour toutn∈N∗on a la relation (∗)xn−yn= (x−y).
n−1
∑
k=0
xkyn−1−k.
Indication : on pourra écrire de deux manières différentes la quantitéy(xn−yn) + (x−y)xn.
2. Soit(a,b,p)des entiers éléments deN. En utilisant la formule(∗),montrer que s’il existe un entierl∈Ntel queb=a+pl, alors pour toutn∈N∗,il existe un entierm∈Ntel quebn=an+pm.
3. Soienta,b,pdes entiers éléments deN, en utilisant la question2, montrer que sia−best divisible parp,
p−1
∑
k=0
akbp−k−1
est aussi divisible parp.En déduire, à l’aide de la question2et de la formule(∗),que sia−best divisible parpni.e. il existe un entierl∈Ntel quea−b=l.pn,alorsap−bpest divisible parpn+1.
CorrectionH [000270]
Exercice 266
Calculer 20002000modulo 7 et 2500modulo 3. [000271]
Exercice 267
Soita,b∈Z2dont les restes modulo 11 sont 7 et 2 respectivement. Donner le reste modulo 11 dea2−b2. [000272]
Exercice 268
1. Montrer que 7 divise 22225555+55552222;
2. montrer que que 11 divise
510510
510
+105105
105
; 3. trouver un critère de divisibilité par 8 puis par 6.
[000273]
Exercice 269
Montrer que pour toutn>0 : 1. 7 divise 32n+1+2n+2 2. 11 divise 26n+3+32n+1 3. 6 divise 5n3+n 4. 8 divise 5n+2.3n−1+1 .
[000274]
Exercice 270
1. Déterminer la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 3500.
2. On se donne 51 nombres compris entre 1 et 100. Montrer que parmi ces nombres il y en a nécessairement au moins deux tels que l’un divise l’autre. Montrer que l’on peut toujours trouver un ensemble de 50 nombres compris entre entre 1 et 100 ne vérifiant pas la propriété de divisibilité ci-dessus.
[000275]
Exercice 271
Trouver les entiers positifsntels quen−1 divisen2+1. [000276]
Exercice 272
Montrer que pour chaquen∈N, 4 ne divise pasn2+1. [000277]
Exercice 273
Montrer que pour chaque entier positifn, 49 divise 23n+3−7n−8. [000278]
Exercice 274
Trouver tous les entiers positifsatels quea10+1 est divisible par 10. [000279]
Exercice 275
Quel est le chiffre des unités de 1997199710? [000280]
Exercice 276 Montrer que :
1. Si un entier est de la forme 6k+5, alors il est nécessairement de la forme 3k−1, alors que la réciproque est fausse.
2. Le carré d’un entier de la forme 5k+1 est aussi de cette forme.
3. Le carré d’un entier est de la forme 3kou 3k+1, mais jamais de la forme 3k+2.
4. Le carré d’un entier est de la forme 4kou 4k+1, mais jamais de la forme 4k+2 ni de la forme 4k+3.
5. Le cube de tout entier est de la forme 9k, 9k+1 ou 9k+8.
6. Si un entier est à la fois un carré et un cube, alors c’est une puissance sixième, et il est de la forme 7kou 7k+1.
[000281]
Exercice 277
Déterminer les entiersn∈Ntels que : 1. n|n+8.
2. n−1|n+11.
3. n−3|n3−3.
[000282]
Exercice 278
Soitk∈Z. Déterminer les entiersn∈N∗tels que(n|2k+1 etn|9k+4). [000283]
Exercice 279
Montrer que∀(a,b)∈N×N∗il existe un uniquer(a)∈ {0, . . . ,b−1}tel qu’il existeq∈Naveca=bq+r(a).
1. En utilisant ceci pourb=13, déterminer les entiersn∈Ntels que 13|n2+n+7.
2. Sia∈Netb=7, déterminer les valeurs possibles der(a2)(on rappelle quer(a2)doit appartenir à{0, . . . ,b−1}).
Montrer alors que∀(x,y)∈N2(7|x2+y2)ssi(7|xet 7|y).
3. Montrer qu’un entier positif de la forme 8k+7 ne peut pas être la somme de trois carrés d’entiers.
[000284]
Exercice 280
1. Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carré de tout nombre impair est 1.
2. Montrer de même que tout nombre pair vérifiex2=0(mod 8)oux2=4 (mod 8).
3. Soienta,b,ctrois entiers impairs. Déterminer le reste modulo 8 dea2+b2+c2et celui de 2(ab+bc+ca).
4. En déduire que ces deux nombres ne sont pas des carrés puis queab+bc+canon plus.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000285]
Exercice 281 Sommes de nombres impairs
Soitn∈N,n≥2. Montrer que siNest la somme dennombres impairs consécutifs, alorsNn’est pas premier. [003090]
Exercice 282 Petit théorème de Fermat
Soitp∈Npremier. Montrer que pour 1≤k≤p−1,pdiviseCkp.
En déduire que∀n∈Z,np≡n(modp). [003091]
Exercice 283 (p−1)(p−2)...(p−n)/n!
Soitp∈N∗premier etn∈N∗,n<p. Montrer que(p−1)(p−n!2)...(p−n)−(−1)nest un entier divisible parp. [003092]
Exercice 284 n7≡n(mod 42)
Montrer que :∀n∈Z,n7≡n(mod 42). [003093]
Exercice 285 Puissances de 10 modulo 7 1. Vérifier 106≡1(mod 7).
2. Montrer que∑10k=11010k≡5(mod 7).
[003094]
Exercice 286 Puissances de 7 Quel est le dernier chiffre de 7777
777
?
CorrectionH [003095]
Exercice 287 3x=2y+1
1. Soientx,y∈N,y≥3. Montrer par récurrence suryque : 3x≡1(mod 2y) ⇐⇒ 2y−2|x.
2. Trouver tous les couples d’entiersx,y∈Ntels que 3x=2y+1.
CorrectionH [003096]
Exercice 288 Suites récurrentes linéaires
Montrer que pour toutn∈N, 32n+1+2n+2est divisible par 7. [003097]
Exercice 289 Suites récurrentes linéaires
Déterminer le reste de la division euclidienne de 210n−7+35n−2par 11.
CorrectionH [003098]
Exercice 290 a≡b(modn)⇒an≡bn(modn2)
Soienta,b∈Zetn∈N∗. Montrer que :a≡b(modn)⇒an≡bn(modn2). [003099]
Exercice 291 a2+b2+c2+16≡0(mod 8)
Montrer que :∀a,b,c∈Z,a2+b2+c2+16≡0mod 8. [003100]
Exercice 292 Cubes consécutifs
Montrer que la somme de trois cubes consécutifs est toujours divisible par 9. [003101]
Exercice 293 n2+3n+5 mod 121
Montrer que :∀n∈Z,n2+3n+5 n’est pas divisible par 121.
CorrectionH [003102]
Exercice 294 n∈Z,n(n+1)(7n+1)est divisible par 6
Montrer que pour tout entiern∈Z,n(n+1)(7n+1)est divisible par 6. [003103]
Exercice 295 232+1 est divisible par 641
Montrer sans calculatrice que 232+1 est divisible par 641. [003104]
Exercice 296 3x.7ymod 10
Trouver tous les couples(x,y)∈N2tels que 3x7yse termine par 1 en base 10.
CorrectionH [003105]
Exercice 297 a3=. . .123456789 Soita∈Npremier à 10.
1. Montrer quea4≡1(mod 10).
2. Montrer que pour tout entierk∈N,a4×10k≡1(mod 10k+1).
3. En déduire qu’il existe un nombrex∈Ntel quex3se termine par 123456789 en base 10.
CorrectionH [003106]
Exercice 298 mn(m60−n60)est divisible par 56786730
Montrer que pour tous entiersmetn, le nombremn(m60−n60)est divisible par 56786730.
CorrectionH [003107]
Exercice 299 q|2p−1
Soientp,qpremiers impairs tels queq|2p−1. Montrer queq≡1(mod 2p).
CorrectionH [003108]
Exercice 300 Divisibilité par 7
Infirmer ou justifier le critère de divisibilité par 7 suivant retrouvé dans un vieux grimoire :Sépare en unités et dizaines puis cherche la différence entre le double des unités et les dizaines. Agis ainsi tant que tu as des dizaines et obtiens zéro ou sept. Ainsi 364 devient 28
puis 14 puis enfin 7. [003109]
Exercice 301 *****
kest un entier impair. Montrer par récurrence que, pourn≥1, la somme 1k+2k+...+nkest un entier divisible parn(n+1)2 . [005115]
Exercice 302 ****
Pourn≥1, on poseHn=∑nk=11k. Montrer que, pourn≥2,Hnn’est jamais un entier (indication : montrer par récurrence queHnest le quotient d’un entier impair par un entier pair en distingant les cas oùnest pair etnest impair).
CorrectionH [005116]
Exercice 303 ****
Montrer que pourn∈N,E(13(n+2−E(25n))) =E(8n+2425 ).
CorrectionH [005157]