avecpn∈Zetqn∈N∗, une suite de rationnels convergeant vers un irrationnelx. Montrer que les suites(|pn|)et(qn) tendent vers+∞quandntend vers+∞.
CorrectionH [005243]
48 120.02 Maximum, minimum, borne supérieure
Exercice 1397
Le maximum de deux nombresx,y(c’est-à-dire le plus grand des deux) est noté max(x,y). De même on notera min(x,y)le plus petit des deux nombresx,y. Démontrer que :
max(x,y) =x+y+|x−y|
2 et min(x,y) =x+y− |x−y|
2 .
Trouver une formule pour max(x,y,z).
IndicationH CorrectionH Vidéo [000464]
Exercice 1398
Déterminer la borne supérieure et inférieure (si elles existent) de :A={un|n∈N}en posantun=2nsinest pair etun=2−nsinon.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000465]
Exercice 1399
Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément des ensembles suivants :
[0,1]∩Q, ]0,1[∩Q, N,
(−1)n+ 1
n2 |n∈N∗
.
CorrectionH Vidéo [000466]
Exercice 1400 Soit
I=
x∈R| −2<x+ 1 2x≤2
. 1. Montrer queIest la réunion de deux intervalles.
2. Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément deI.
[000467]
Exercice 1401
Les ensembles suivants ont-ils une borne supérieure, un plus grand élément, une borne inférieure, un plus petit élément, dansD, dans Q, dansR, (si la question se pose) ?
1. [0,3[, 2. {0} ∪]1,2], 3. D∩[0,1/3],
4. {x| ∃n∈N,x=1/n}, 5. {x∈Q|x2<2}.
[000468]
Exercice 1402
On considère l’ensemble des nombres de la forme 1+1n, oùndécrit l’ensemble des entiers strictement positifs. Cet ensemble est-il majoré ? Minoré ? A-t-il un plus petit élément ? Un plus grand élément ? Justifier vos réponses. [000469]
Exercice 1403
Étant donné un ensembleA⊂R, écrire avec des quantificateurs les propriétés suivantes : 1. 10 est un majorant deA,
2. mest un minorant deA, 3. Pn’est pas un majorant deA, 4. Aest majoré,
5. An’est pas minoré, 6. Aest borné, 7. An’est pas borné.
[000470]
Exercice 1404
SoitEl’ensemble des réels de la formenn+1/n−1/n avecn∈N∗. L’ensembleEadmet-il une borne inférieure, une borne supérieure, un plus
grand élément, un plus petit élément ? [000471]
Exercice 1405
SoitE={1ncosn|n∈N∗}; calculer infEet supE. [000472]
Exercice 1406
SoientAetBdeux parties non vides deRtelles que pour toutxdeAet toutydeBon aitx≤y. Démontrer que supAet infBexistent et
que supA≤infB. [000473]
Exercice 1407
Soit ai j
(i,j)∈I×June famille non vide et bornée de réels ; comparer : inf
i (sup
j
ai j) avec sup
j
(inf
i ai j).
[000474]
Exercice 1408
SoitAune partie majorée deRd’au moins deux éléments etxun élément deA.
1. Montrer que six<supA, alors sup(A\ {x}) =supA.
2. Montrer que si sup(A\ {x})<supA, alorsx=supA.
[000475]
Exercice 1409
SoientAetBdeux parties bornées deR. On noteA+B={a+b|(a,b)∈A×B}. 1. Montrer que supA+supBest un majorant deA+B.
2. Montrer que sup(A+B) =supA+supB.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000476]
Exercice 1410
SoitAetBdeux parties bornées deR.Vraioufaux? 1. A⊂B⇒supA6supB,
2. A⊂B⇒infA6infB,
3. sup(A∪B) =max(supA,supB), 4. sup(A+B)<supA+supB, 5. sup(−A) =−infA, 6. supA+infB6sup(A+B).
IndicationH CorrectionH Vidéo [000477]
Exercice 1411
Donner la borne supérieure et la borne inférieure (si elles existent) de l’ensemble : D=
(n−1n
n+1n|n∈N∗ )
.
Cet ensemble admet-il un maximum, un minimum ? [000478]
Exercice 1412
Soientn∈N∗eta1≤a2≤...≤an,nnombres réels. Calculer :
xinf∈R n
∑
k=1
|x−ai|.
[000479]
Exercice 1413
Soitf:R→R, f(x) =x3−3x. Tracer les graphes des fonctionsf,|f|,f+,f−où :f+=max(f,0),f−=min(f,0). [000480]
Exercice 1414
Sia=supA, montrer qu’il existe une suite d’éléments deAqui converge versa. Réciproque. [000481]
Exercice 1415
SoitA=Q∩]0,1[eta,b∈R+. On considère les applications suivantes deAdansR+: f: p
q7→q−p
q+p; g: p
q7→aq+bp p+q
Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure def(A)et deg(A). [000482]
Exercice 1416
SoitAl’ensemble des nombres réels qui peuvent s’écrirex=2pp22−+q3qpourpetqentiers vérifiant 0<p<q.
1. Montrer queAest minorée par−3 et majorée par 2.
2. Déterminer infAet supA(pour la borne supérieure on pourra prendreq=p+1).
[000483]
Exercice 1417
Soit(un)n∈Nune suite bornée. On poseAp=supn>punetBp=infn>pun. Montrer que(Ap)p∈Nest une suite décroissante bornée et que(Bp)p∈Nest une suite croissante bornée. SoitL=limp→∞Apetl=limp→∞Bp.
1. Dans le cas particulier oùun=n+2n+1cosnπ3 , calculerLetl.
2. Montrer que :
∀ε>0,∃p∈N,∀n≥p,un>l−ε
∀ε>0,∀p∈N,∃n≥p,un<l+ε 3. Interpréter ces propriétés. Énoncer des propriétés analogues pourL. Démontrez-les.
4. Que peut-on dire de(un)siL=l?
[000484]
Exercice 1418
Soientxetydeux réels strictement positifs. On pose a=x+y
2 g=√xy h= 2xy
x+y q= r1
2(x2+y2)
Montrer quea,g,h,qsont rangés dans un ordre indépendant dexety. [000485]
Exercice 1419
SoientAetBdeux parties non vides bornées deR.
1. Montrer queA∪Best bornée et que sup(A∪B) =max(sup(A),sup(B)).
2. Enoncer un résultat analogue pour inf(A∪B).
3. Qu’en est-il pourA∩B?
[000486]
Exercice 1420 **IT
SoientAetBdeux parties deR, non vides et bornées. Montrer que supA, supB, sup(A+B), infA, inf B, inf(A+B)existent et que l’on a sup(A+B) =supA+supBet inf(A+B) =infA+infB. (A+Bdésigne l’ensemble des sommes d’un élément deAet d’un élément deB).
CorrectionH [005210]
Exercice 1421 **
SoitA=1
n+ (−1)n,n∈N∗ . Déterminer supAet infA.
CorrectionH [005211]
Exercice 1422 **IT
SoitAune partie non vide et bornée deR. Montrer que sup{|x−y|,(x,y)∈A2}=supA−infA.
CorrectionH [005212]
Exercice 1423 ***IT
SoientAetBdeux parties non vides et majorées deR. Que dire de sup(A∩B), sup(A∪B), sup(A+B)et sup(AB)? (A+B(resp.AB) désigne l’ensemble des sommes (resp. des produits) d’un élément deAet d’un élément deB).
CorrectionH [005213]
49 120.99 Autre
Exercice 1424
Démontrer par récurrence surnque pour toutn≥2 l’implication
[x>−1,x6=0]⇒[(1+x)n>1+nx]
Deux entiers naturels distincts peuvent-ils vérifier la relationab=ba? [000489]
Exercice 1427 Résoudre l’équation√4
41+x+√4
41−x=4,xétant un réel positif. [000490]
Exercice 1428
Siaetbsont des réels positifs ou nuls, montrer que :
√a+√ Montrer que dans les deux cas on a :
kx+yk ≤ kxk+kyk.
Exercice 1433
IndicationH CorrectionH Vidéo [000497]
Exercice 1435
SoitAune partie deRvérifiant :
A6=/0,
SoientAetBdeux parties denses deR,ABetA+Bsont-elles denses ? Étude de la réciproque. [000502]
Exercice 1440
Exercice 1441 Morphismes deR Soitf:R→Run morphisme de corps.
1. Montrer que :∀x∈Q, f(x) =x.
2. Montrer quefest une application croissante.
3. En déduire quef=idR.
[003061]
Exercice 1442 Parties denses
SoitA⊂Rvérifiant : (
∀x∈R,∃a,b∈Atqa<x<b
∀a,b∈A, a+b2 ∈A.
Montrer queAest dense dansR. [003062]
Exercice 1443 Parties denses
SoirAun sous-anneau deR. Montrer queAest dense dansRsi et seulement siA∩]0,1[6=∅. [003063]
Exercice 1444 Sous-groupes deR
SoitHun sous-groupe additif deR,H6={0}. On poseH+∗=H∩R+∗, etα=inf(H+∗).
1. Siα∈H+∗, montrer queH=αZ.
2. Siα∈/H+∗, montrer queα=0 et en déduire queHest dense dansR.
[003064]
Exercice 1445 Partie entière
1. Soienta∈Zetb∈N∗. Montrer que :a
b
+a+1
b
+···+h
a+b−1 b
i
=a.
2. Soienta∈Retb∈N∗. Montrer que :a
b
+a+1 b
+···+ha+b
−1 b
i
= [a].
CorrectionH [003065]
Exercice 1446 **I Moyennes arithmétique, géométrique et harmonique
Soientxetydeux réels tels que 0<x≤y. On posem=x+y2 (moyenne arithmétique),g=√xy(moyenne géométrique) et1h=12(1x+1y) (moyenne harmonique). Montrer quex≤h≤g≤m≤y.
CorrectionH [005146]
Exercice 1447 ***
Soienta,betctrois réels positifs. Montrer que l’un au moins des trois réelsa(1−b),b(1−c),c(1−a)est inférieur ou égal à14.
CorrectionH [005151]
Exercice 1448 **I
1. Montrer que :∀x∈R,E(x+1) =E(x) +1.
2. Montrer que :∀(x,y)∈R2,E(x) +E(y)≤E(x+y).
3. Montrer que :∀(x,y)∈R2,E(x) +E(y) +E(x+y)≤E(2x) +E(2y).
CorrectionH [005152]
Exercice 1449 **I
Tout entier naturel non nulns’écrit de manière unique sous la forme
n=a0+10a1+...+10pap,
oùpest un entier naturel et lesaisont des entiers éléments de{0, ...,9},apétant non nul. Déterminerpen fonction den.
CorrectionH [005153]
Exercice 1450 **I
Soientnun entier naturel etxun réel positif.
1. Combien y a-t-il d’entiers naturels entre 1 etn? entre 1 etx? 2. Combien y a-t-il d’entiers naturels entre 0 etn? entre 0 etx?
3. Combien y a-t-il d’entiers naturels pairs entre 0 etx? Combien y a-t-il d’entiers naturels impairs entre 0 etx? 4. Combien y a-t-il de multiples de 3 entre 0 etx?
5. Combien l’équationx+2y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle de couples solutions ? 6. De combien de façons peut-on payer 10 euros avec des pièces de 10 et 20 centimes d’euros ?
7. (***) Combien l’équation 2x+3y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle de couples solutions ?
CorrectionH [005155]
Exercice 1451 ****
Montrer que :∀n∈N∗,∀x∈R,∑nk=0−1E(x+kn) =E(nx)(poser la division euclidienne deE(nx)parn).
CorrectionH [005156]
Exercice 1452 **
Montrer que∀n∈N∗,∀x∈R,E(E(nx)n ) =E(x).
CorrectionH [005159]
Exercice 1453 ***
Soitn∈N∗et(x1,x2, ...,xn)∈[−1,1]ntels quex1+x2+...+xn=0.
Montrer que|x1+2x2+...+nxn| ≤E(n42).
CorrectionH [005160]
Exercice 1454 ** Identité de CATALAN
Montrer que pour tout entier naturel non nuln,∑2nk=0−1(−1)
k
k+1 =∑2nk=n+11k.
CorrectionH [005215]
Exercice 1455 **I Inégalités de CAUCHY-SCHWARZet de MINKOWSKI
Soienta1,...,an,b1,...,bndes nombres réels.
1. En considérant la fonctionf : x7→∑nk=1(ak+xbk)2, montrer que|∑nk=1akbk| ≤q
∑nk=1a2k q
∑nk=1b2k(inégalité de CAUCHY -SCHWARZ).
2. En déduire l’inégalité de MINKOWSKI: q
∑nk=1(ak+bk)2≤q
∑nk=1a2k+ q
∑nk=1b2k.
(l’inégalité de CAUCHY-SCHWARZaffirme que le produit scalaire de deux vecteurs est inférieur ou égal au produit de leurs normes et l’inégalité de MINKOWSKIest l’inégalité triangulaire).
CorrectionH [005216]
Exercice 1456 **
Résoudre dansRl’équationp x+2√
x−1+p x−2√
x−1=1.
CorrectionH [005217]
Exercice 1457 **** Sous groupes de(R,+)
1. Montrer que les sous groupes du groupe(R,+)sont soit de la formeaZ,aréel donné, soit denses dansR.
Indication : pourGsous-groupe donné de(R,+), non réduit à{0}, considérera=Inf(G∩]0;+∞[)puis envisager les deux cas a=0 eta>0.
(Definition :Gest dense dansRsi et seulement si :(∀x∈R,∀ε>0,∃y∈G/|y−x|<ε).
2. Application 1. Montrer que{a+b√
2,(a,b)∈Z2}est dense dansR. 3. Application 2 (groupe des périodes d’une fonction).
(a) Soit f une fonction définie surRà valeurs dansR. Montrer que l’ensemble des périodes de f est un sous groupe de (R,+)(ce sous-groupe est réduit à{0}sifn’est pas périodique).
(b) Montrer qu’une fonction continue surRqui admet 1 et√
2 pour périodes, est constante surR.
CorrectionH [005218]
Exercice 1458 **
Montrer que{r3,r∈Q}est dense dansR.
CorrectionH [005219]
Exercice 1459 Soitxun réel.
1. Donner l’encadrement qui définit la partie entièreE(x).
2. Soit(un)n∈N∗la suite définie parun=E(x) +E(2x) +. . .+E(nx)
n2 .
Donner un encadrement simple den2×un, qui utilise∑nk=1k.
3. En déduire que(un)converge et calculer sa limite.
4. En déduire queQest dense dansR.
IndicationH CorrectionH Vidéo [005982]
50 121.01 Convergence
Exercice 1460
1. Dessiner les suites suivantes : (a) un=n2−25
2n2+1 (prendre 2 cm comme unité surOy) (b) un= (−1)n
(c) un=1
ncosn vn=1
n|cosn| (nen radians) (d) un=cosn
(e) u1=1 ;u2=2 ;u3=3 ;u4=−1 ;un=2 pourn≥5.
(f) un=(−1)n
n2+1 (prendre 10 cm comme unité surOy) (g) un=cosnπ
6 (h) un=sin 1
√n (prendre 1 cm comme unité surOy) (i) un=n2+1
(j) un= 1 n+ (−1)n√
n (pourn≥2)
2. Classer les dessins par paquets en précisant vos critères.
3. Pour chaque suite, pouvez-vous trouverletntels que|un−l|< 101 ou 1001 ? Mettre en relation avec le classement précédent.
4. Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ?
(a) Une suite à termes positifs qui tend vers 0 est décroissante à partir d’un certain rang.
(b) Si une suite a une limite strictement positive, tous ses termes sont strictement positifs à partir d’un certain rang. Réci-proque ?
[000504]
Exercice 1461
Soit(un)n∈Nune suite deR. Que pensez-vous des propositions suivantes :
•Si(un)nconverge vers un réel`alors(u2n)net(u2n+1)nconvergent vers`.
•Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, il en est de même de(un)n.
•Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, de même limite`, il en est de même de(un)n.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000505]
Exercice 1462
Vrai ou faux : il existe une suite(un)telle que(un+1−un)tend vers 0 et qui diverge. [000512]
Exercice 1463
Montrer qu’une partieDest dense dansRssi tout réel est limite d’une suite de points deD. [000516]
Exercice 1467
SoitAune partie bornée deRetxun réel.
1. Montrer quex=sup(A)ssi (xmajoreAet il existe une suite(xn)n∈Nde A qui converge versx).
2. Énoncer un résultat analogue pour inf(A).
[000517]
Exercice 1468
Étudier la convergence des suites :
√n2+n+1−√
Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est constante à partir d’un certain rang.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000519]
Exercice 1470 SoitHn=1+1
2+···+1 n.
1. En utilisant une intégrale, montrer que pour toutn>0 : 1
n+1≤ln(n+1)−ln(n)≤1 n. 2. En déduire que ln(n+1)≤Hn≤ln(n) +1.
3. Déterminer la limite deHn.
4. Montrer queun=Hn−ln(n)est décroissante et positive.
5. Conclusion ?
IndicationH CorrectionH Vidéo [000520]
Exercice 1471
Montrer qu’une suite monotone dont une suite extraite converge est convergente. [000521]
Exercice 1472
Montrer que(un)converge ssi(u2n),(u2n+1),(u3n)convergent (leurs limites n’étant pas nécessairement égales). [000522]
Exercice 1473
Etudier la convergence de la suiteun= (−1)nn+1
n . [000523]
Exercice 1474
Soitqun entier au moins égal à 2. Pour toutn∈N, on poseun=cos2nπ q . 1. Montrer queun+q=unpour toutn∈N.
2. Calculerunqetunq+1. En déduire que la suite(un)n’a pas de limite.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000524]
Exercice 1475
Soit(un)n∈Nune suite réelle prenant toute les valeurs rationnelles. Montrer que(un)n∈Nn’admet pas de limite. [000525]
Exercice 1476
Soit(un)n∈Nune suite réelle telle que lim
n→∞u2n=λ. Que dire de(un)n∈N? [000526]
Exercice 1477
1. Donner un exemple de suite bornée divergente, puis de suite divergente telle que
∀k∈N,lim
n→∞xn+k−xn=0.
2. Donner un exemple de suite divergente qui a une seule valeur d’adhérence (i.e. telle qu’il existe une seule extractionφtelle que xφ(n) converge).
3. Donner un exemple de suite(xn)n∈Ndivergente telle que∀k≥2,(xnk)n∈Nconverge.
[000527]
Exercice 1478
Que peut-on dire des nombres réelsaetbsi
∀n∈N∗,a−1
n≤b≤a+1 n?
[000528]
Exercice 1479
Étudier la suite(un)définie par :
un=
(0 si n est premier 67+1/n sinon.
Si cette suite converge, montrer que sa limite est inférieure à 72. Étudier la convergence de cette suite. [000529]
Exercice 1480
On donne la suite(un)définie par :
u1=√
2 et un=p
2−un−1.
En étudiant les suites(u2n)et(u2n+1), montrer que la suite(un)est convergente. [000530]
Exercice 1481
1. Soit(un),(vn),(wn)trois suites telles que pournassez grand on aitvn≤un≤wn. On suppose que(vn)et(wn)sont convergentes, et on notev=limvnetw=limwn. Montrer que pour toutε positif, on av−ε≤un≤w+ε pournassez grand (théorème d’encadrement). Que peut-on en déduire siv=w?
2. Soit(un)une suite convergente de limitel. Montrer que la suite
vn= u1+u2+···+un
n
est convergente et a pour limitel. Pour cela, encadrerunàεprès pournassez grand, et en déduire un encadrement devn.