Exercice 1254 Quelle est la nouvelle matriceA1deh?
2. On choisit pour base deR2les vecteurs :
f10=1
Soithune application linéaire de rangr, deE, espace vectoriel de dimensionn, dansF, espace vectoriel de dimensionm.
1. Préciser comment obtenir une base(ei)ni=1deE, et une base(fj)mj=1deF, telles queh(ek) =fkpourk=1, . . . ,reth(ek) =0 pourk>r. Quelle est la matrice dehdans un tel couple de bases ?
2. Déterminer un tel couple de bases pour l’homomorphisme deR4dansR3défini dans les bases canoniques par : h(x1,x2,x3,x4) = (y1,y2,y3) avec 3. Même question pour l’applicationfdeR3dans lui-même définie par :
f(x,y,z) = (2x+y+z,−y+z,x+y).
1. Montrer que tout polynôme deP2peut s’écrire de façon unique sous la formep=b0p0+b1p1+b2p2. 2. Écrire sous cette forme les polynômes :p00,p01,p02,p0,X p0,p00.
3. Montrer que l’applicationϕ:P2→P2définie parϕ(p) =X p0−12p0+14p00est une application linéaire. Préciser le noyau et l’image de cette application. Écrire les matrices de cette application par rapport à la base canonique(ei)et par rapport à la base (pi). Écrire la matrice de passage de la base(ei)à la base(pi); quelle relation lie cette matrice aux deux précédentes ?
[001083]
Exercice 1257
Soitf:(x2+1)→(x2+1)l’applicationz7→eiθz.¯ On considère(x2+1)comme unR-espace vectoriel et on fixe la baseε={1,i}. 1. Montrer quefestR-linéaire.
2. CalculerA=Mat(f,ε,ε).
3. Existent-ilsxety∈(x2+1)−{0}tels que f(x) =xet f(y) =−y? Si c’est le cas déterminer un telxet un tely.
4. Décrire géométriquementf.
5. Soitg:(x2+1)→(x2+1)l’applicationz7→eiρz.¯ CalculerA=Mat(g◦f,ε,ε)et décrire géométriquementg◦f.
[001084]
Exercice 1258
Soitf∈L(R3)telle quef3=−f etf6=0.
1. Montrer que Ker(f)∩Ker(f2+I) ={0},Ker(f)6={0}et Ker(f2+I)6={0}.
2. Soitxun élément distinct de 0 de Ker(f2+I).Montrer qu’il n’existe pasα∈Rtel quef(x) =αx.En déduire que{x,f(x)} est libre.
3. Calculer dim(Ker(f))et dim(Ker(f2+I)).
4. Déterminer une baseεdeR3telle que : Mat(f,ε) =
0 0 0 0 0 −1
0 1 0
.
[001085]
Exercice 1259
SoientEun espace vectoriel de dimensionn, f une application linéaire deEdans lui-même etxun élément deE tel que la famille f(x), ...,fn(x)soit libre.
1. Montrer que la famillex,f(x), . . . ,fn−1(x)est une base deE. Déduiser-en quefest bijective.
2. On suppose maintenant quefn(x) =x. Déterminer la matrice defdans la basex,f(x), . . . ,fn−1(x).
[001086]
Exercice 1260
Déterminer la matrice de la projection deR2surR~iparallèlement àR(~i+~j)dans la base(~i+~j,~j)puis(~i,~j). [001087]
Exercice 1261
SoitR[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
1. Soitn∈N. Montrer queRn[X], ensemble des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal àn, est un sous-espace vectoriel deR[X]. Montrer que la famille 1,X, . . . ,Xnest une base deRn[X].
2. Soientf,gethles applications deR[X]dans lui-même définies par : f(P(X)) =X P(X), g(P(X)) =P0(X), h(P(X)) = (P(X))2.
Montrer que les applicationsfetgsont linéaires, mais quehne l’est pas.fetgsont-elles injectives ? Surjectives ? Déterminer la dimension de leurs noyaux respectifs. Déterminer l’image def.
3. On désigne parfnetgnles restrictions de f et degàRn[X]. Montrer que l’image degnest incluse dansRn[X]et celle de fn
est incluse dansRn+1[X]. Déterminer la matrice degndans la base 1,X, ...,XndeRn[X]. Déterminer la matrice defnde la base 1,X, ...,Xndans la base 1,X, ...,Xn+1. Calculer les dimensions respectives des images defnet degn.
[001088]
Exercice 1262
SoientA=
−1 2
1 0
etfl’application deM2(R)dans lui-mêmeM7→AM.Montrer quefest linéaire. Déterminer sa matrice dans la
base canonique deM2(R). [001089]
Exercice 1263
Soitϕune application linéaire deR2dans lui-même telle queϕ6=0 etϕ2=0.
1. Construire des exemples de telles applications.
2. Soitx∈R2tel queϕ(x)6=0. Montrer que{x,ϕ(x)}est une base deR2. Déterminer la matrice deϕdans cette base.
[001090]
Exercice 1264
SoitEun espace vectoriel etϕ∈L(E).
1. On suppose que Ker(ϕ) =Ker(ϕ2).Soitp≥1 etx∈Ker(ϕp).Montrer quex∈Ker(ϕp−1).En déduire que Ker(ϕp) =Ker(ϕ) pour toutp≥1.
2. Montrer de même que si Ker(ϕ2) =Ker(ϕ3)alors Ker(ϕp) =Ker(ϕ2)pour toutp≥2.
3. On suppose désormais queϕest une application linéaire deR3dans lui-même telle queϕ26=0. Soitx∈R3tel queϕ2(x)6=0.
Montrer que{x,ϕ(x),ϕ2(x)}est une base deR3. Déterminer la matrice deϕdans cette base.
[001091]
Exercice 1265
SoientEun espace vectoriel de dimension 3 etϕune application linéaire deEdansEtelle queϕ2=0 etϕ6=0. Posonsr=rg(ϕ).
1. Montrer que Im(ϕ)⊂Ker(ϕ). Déduiser-en quer≤3−r. Calculerr.
2. Soite1∈Etel queϕ(e1)6=0. Posonse2=ϕ(e1). Montrer qu’il existee3∈Ker(ϕ)tel que la famille{e2,e3}soit libre. Montrer que{e1,e2,e3}est une base deE.
3. Déterminer la matrice deϕdans la base{e1,e2,e3}.
[001092]
Exercice 1266
SoientEun espace vectoriel etϕune application linéaire deEdans lui-même telle queϕ2=ϕ. 1. Montrer queE=Ker(ϕ)⊕Im(ϕ).
2. Supposons queEest de dimension finien. Posonsq=dim(Ker(ϕ)). Montrer qu’il existe une baseB={e1, . . . ,en}deEtelle que :ϕ(e1) =. . .=ϕ(eq) =0 et, pour toutr>q,ϕ(er) =er. Déterminer la matrice deϕdans la baseB.
[001093]
Exercice 1267
Soitfl’application deRn[X]dansR[X], définie en posant, pour toutP(X)∈Rn[X]:f(P(X)) =P(X+1) +P(X−1)−2P(X).
1. Montrer quefest linéaire et que son image est incluse dansRn[X].
2. Dans le cas oùn=3, donner la matrice defdans la base 1,X,X2,X3. Déterminer ensuite, pour une valeur denquelconque, la matrice de fdans la base 1,X, . . . ,Xn.
3. Déterminer le noyau et l’image def. Calculer leurs dimensions respectives.
4. SoitQun élément de l’image de f. Montrer (en utilisant en particulier les résultats de la deuxième question) qu’il existe un uniqueP∈Rn[X]tel que : f(P) =QetP(0) =P0(0) =0.
[001094]
Exercice 1268
Soit(e1,e2,e3) une base de l’espaceE à trois dimensions sur un corpsK. IE désigne l’application identique deE. On considère l’application linéairefdeEdansEtelle que :
f(e1) =2e2+3e3, f(e2) =2e1−5e2−8e3, f(e3) =−e1+4e2+6e3. 1. Étudier le sous-espace ker(f−IE): dimension, base.
2. Étudier le sous-espace ker(f2+IE): dimension, base.
3. Montrer que la réunion des bases précédentes constitue une base deE. Quelle est la matrice de fdans cette nouvelle base ? et celle de f2?
[001095]
Exercice 1269
SoitEun espace àndimensions et fun endomorphisme deE.
1. Montrer que la conditionf2=0 est équivalente à Imf⊂kerf. Quelle condition vérifie alors le rang def? On suppose dans le reste de l’exercice que f2=0.
2. SoitE1un supplémentaire de kerfdansEet soit(e1,e2, . . . ,er)une base deE1. Montrer que la famille des vecteurs(e1,e2, . . . ,er,f(e1),f(e2), . . . ,f(er)) est libre. Montrer comment on peut la compléter, si nécessaire, par des vecteurs de kerfde façon à obtenir une base deE. Quelle
est la matrice defdans cette base ?
3. Sous quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on Imf=kerf?
4. Exemple : Soit fl’endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique estM(f) =
f2=0. Déterminer une nouvelle base dans laquelle la matrice def a la forme indiquée dans la question2).
[001096]
Exercice 1270
Soit trois vecteurse1,e2,e3formant une base deR3. On noteT la transformation linéaire définie parT(e1) =T(e3) =e3, T(e2) =
−e1+e2+e3.
1. Déterminer le noyau de cette application. Écrire la matriceAdeTdans la base(e1,e2,e3).
2. On pose f1=e1−e3, f2=e1−e2, f3=−e1+e2+e3. Calculere1,e2,e3 en fonction de f1,f2,f3. Les vecteurs f1,f2,f3
forment-ils une base deR3?
3. CalculerT(f1),T(f2),T(f3)en fonction de f1,f2,f3. Écrire la matriceBdeT dans la base(f1,f2,f3)et trouver la nature de
∈M3,4(R). Déterminer pour quelles valeurs deα et deβ l’application linéaire qui lui est associée est surjective.
CorrectionH [001098]
. Calculer rg(A)et rg(B). Déterminer une base des noyaux et une base des images respectifs defAet defB.
[001099]
Exercice 1273
SoitEun espace vectoriel de dimensionnetϕune application linéaire deEdansE. Montrer qu’il existe un polynômeP∈R[X]tel queP(f) =0. (On pourra utiliser le fait queL(E)est isomorphe àMn(R).)
Exercice 1275
dans la base canonique. Déterminer la matrice defdans la base(1,0,−1),(0,1,1),(1,0,1).
[001103]
Exercice 1277
Soitfl’endomorphisme deR2de matrice
2 23
3. Déterminer l’ensemble des suites réelles qui vérifient∀n∈N
1. Montrer queE=ker tr (pour l’inclusion non triviale, on trouvera une base de ker tr formée de matrices de la formeAB−BA).
2. Soitf∈Mn(Q)∗telle que∀(A,B)∈Mn(Q)2 f(AB) =f(BA). Montrer qu’il existeα∈Rtel que f=αtr.
et calculer kerΦet ImΦ. [001106]
Exercice 1280
2. SoitB, la matrice obtenue en remplaçant, pourj≥2, chaque colonnecjdeApar la colonne cj−a1j
a11c1,
Calculer lesbi jen fonction desai j. Montrer que si les coefficients deAsatisfont les inégalités ci-dessus, alors pouri≥2, on a
|bii|>
n
∑
j=2,j6=i
|bi j|.
3. Démontrer le résultat de Hadamard pournquelconque.
CorrectionH [002565]
Exercice 1281
SoientAetBdes matrices non nulles deMn(R). On suppose queA.B=0.
1. Démontrer que ImB⊂kerA.
1. InterpréterAcomme la matrice d’un endomorphisme deKn−1[X].
2. En déduireA3.
CorrectionH [003407]
Exercice 1285 ***I
Soit f un endomorphisme de R3, nilpotent d’indice 2. Montrer qu’il existe une base de R3 dans laquelle la matrice de f s’écrit
Montrer queM7→fMest un morphisme de groupes. Quel est son noyau ?
[003364]
44 108.05 Inverse, méthode de Gauss
Exercice 1287 Conservation de l’inverse sur un sous-corps SoitM∈Mn(Q). Comparer les énoncés :