|u+v|2+|u−v|2 2
2
−4|uv|2. 2. Soientα,β∈C. CNS pour que les racines dez2+αz+β=0 aient même module ?
CorrectionH [002949]
Exercice 458 Moyennes géométrique et arithmétique
1. Soientu,v∈C. Montrer que|u+v|2+|u−v|2=2|u|2+2|v|2.
2. Soientα,β∈C,m=α+β2 etµune racine carrée deα β. Montrer que|α|+|β|=|m+µ|+|m−µ|.
CorrectionH [002950]
Exercice 459 **T
Résoudre dansCles équations suivantes : 1. z2+z+1=0
2. 2z2+2z+1=0
3. z2−2zcosθ+1=0,θréel donné.
4. z2−(6+i)z+ (11+13i) =0 5. 2z2−(7+3i)z+ (2+4i) =0.
CorrectionH [005120]
Exercice 460 **T
Résoudre dansCl’équationz4−(5−14i)z2−2(5i+12) =0.
CorrectionH [005125]
21 104.03 Racine n-ieme
Exercice 461
1. Pour quelles valeurs dez∈Ca-t-on|1+iz|=|1−iz|. On considère dansCl’équation 1+iz1−izn
= 1+ia1−ia,oùa∈R.Montrer, sans les calculer, que les solutions de cette équation sont réelles. Trouver alors les solutions.
Calculer les racines cubiques de
√3+i
√3−i.
[000039]
Exercice 462
Pour tout nombre complexeZ, on poseP(Z) =Z4−1.
1. FactoriserP(Z)et en déduire les solutions dansCde l’équationP(Z) =0.
2. Déduire de 1. les solutions de l’équation d’inconnuez:
((2z+1)/(z−1))4=1
[000040]
Exercice 463
Résoudre dansCl’équation suivante : z4= (1−i)/ 1+i√ 3
. [000041]
Exercice 464
Résoudre dansCl’équationz3= 14(−1+i)et montrer qu’une seule de ses solutions a une puissance quatrième réelle.
CorrectionH [000042]
Exercice 465
Trouver les racines cubiques de 2−2iet de 11+2i.
CorrectionH Vidéo [000043]
Exercice 466 Calculer
1+i√ 3
√ 2 2(1+i)
2
algébriquement, puis trigonométriquement. En déduire cos12π, sin12π, tan12π, tan5π12. Résoudre dansCl’équationz24= 1.
CorrectionH [000044]
Exercice 467
Trouver les racines quatrièmes de 81 et de−81.
CorrectionH [000045]
Exercice 468
1. Montrer que, pour toutn∈N∗et tout nombrez∈C, on a : (z−1)
1+z+z2+...+zn−1
=zn−1, et en déduire que, siz6=1, on a :
1+z+z2+...+zn−1=zn−1 z−1. 2. Vérifier que pour toutx∈R, on a exp(ix)−1=2iexp ix2
sin x2 . 3. Soitn∈N∗. Calculer pour toutx∈Rla somme :
Zn=1+exp(ix) +exp(2ix) +...+exp((n−1)ix), et en déduire les valeurs de
Xn = 1+cos(x) +cos(2x) +...+cos((n−1)x) Yn = sin(x) +sin(2x) +...+sin((n−1)x).
CorrectionH [000046]
Exercice 469
Calculer la sommeSn=1+z+z2+···+zn.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000047]
Exercice 470
1. Résoudrez3=1 et montrer que les racines s’écrivent 1,j, j2. Calculer 1+j+j2et en déduire les racines de 1+z+z2=0.
2. Résoudrezn=1 et montrer que les racines s’écrivent 1,ε, . . . ,εn−1. En déduire les racines de 1+z+z2+···+zn−1=0.
Calculer, pourp∈N, 1+εp+ε2p+···+ε(n−1)p.
CorrectionH Vidéo [000048]
Exercice 471 Résoudre dansC:
1. z5=1.
2. z5=1−i.
3. z3=−2+2i.
4. z5=z.¯
[000049]
Exercice 472
1. Calculer les racinesn-ièmes de−iet de 1+i.
2. Résoudrez2−z+1−i=0.
3. En déduire les racines dez2n−zn+1−i=0.
[000050]
Exercice 473
Soitεune racinen-ième de l’unité ; calculer
S=1+2ε+3ε2+···+nεn−1.
[000051]
Exercice 474
Résoudre, dansC, l’équation(z+1)n= (z−1)n. [000052]
Exercice 475
Résoudre, dansC, l’équationzn=zoùn≥1. [000053]
Exercice 476
Résoudre les équations suivantes :
z6=1+i√ 3 1−i√
3 ; z4= 1−i 1+i√
3.
[000054]
Exercice 477
Résoudrez6+27=0. (z∈C) [000055]
Exercice 478
1. Soientz1,z2,z3trois nombres complexes distincts ayant le même cube.
Exprimerz2etz3en fonction dez1.
2. Donner, sous forme polaire, les solutions dansCde :
z6+ (7−i)z3−8−8i=0.
(Indication : poserZ=z3; calculer(9+i)2)
CorrectionH Vidéo [000056]
Exercice 479
Résoudre dansCl’équation 27(z−1)6+ (z+1)6=0. [000057]
Exercice 480
Déterminer les racines quatrièmes de−7−24i. [000058]
Exercice 481
Soitβ∈Ctel queβ7=1 etβ6=1. Montrer
β
1+β2+ β2
1+β4+ β3 1+β6 =−2
[000059]
Exercice 482 Racines de l’unité Résoudre :
1. (z+1)n= (z−1)n. 2. (z+1)n=zn=1.
3. z4−z3+z2−z+1=0.
4. 1+2z+2z2+···+2zn−1+zn=0.
5. 1+ix1−ixn
=1+itana1−itana. 6. x=xn−1.
7. z+1z−13
+ zz+1−13
=0.
CorrectionH [002939]
Exercice 483 Sommes sur les racines de l’unité Soitω=exp2iπn . Calculer :
1. ∑nk=0−1(1+ωk)n. 2. ∑nk=0−1∑n`=k−1Ck`ωk+`.
CorrectionH [002940]
Exercice 484 Somme des puissancesp-èmes des racines de l’unité Soientn,p∈N∗etUnle groupe des racinesn-èmes de 1.
1. Calculer∑x∈Unxp.
2. SoitPun polynôme à coefficients complexes de degré inférieur ou égal àn−1 etM=max{|P(x)|,x∈Un}. Montrer que tous les coefficients dePsont bornés parM.
CorrectionH [002941]
Exercice 485 ∑ωk2
Soientn∈N∗,ω=e2iπ/netZ=∑nk=0−1ωk2. On demande de calculer|Z|2. Pour cela. . . 1. Écrire|Z|2comme une somme double.
2. Regrouper les termes diagonalement en tenant compte de la périodicité de la fonctionk7→ωk. 3. Terminer le calcul.
CorrectionH [002942]
Exercice 486 e2iπ/7
Soitz=exp2iπ7 etu=z+z2+z4,v=z3+z5+z6. 1. Calculeru+vetu2.
2. En déduire sin2π7 +sin4π7 +sin8π7.
CorrectionH [002943]
Exercice 487 Calcul de produit Simplifierx=∏np=2p
3−1
p3+1en utilisant 1,j,j2.
CorrectionH [002944]
Exercice 488 ***
Soitα∈
−π2,π2
donné. Résoudre dansCl’équation 1+iz1−iz3
=1+itanα1−itanα.
CorrectionH [005122]
Exercice 489 **
Résoudre dansCl’équation(z2+1)n−(z−1)2n=0.
CorrectionH [005126]
Exercice 490 **T
Déterminer les racines quatrièmes deiet les racines sixièmes de −4
1+i√ 3.
CorrectionH [005131]
Exercice 491 **I
On considère l’équation(E) : (z−1)n−(z+1)n=0 oùnest un entier naturel supérieur ou égal à 2 donné.
1. Montrer que les solutions de(E)sont imaginaires pures.
2. Montrer que les solutions de(E)sont deux à deux opposées.
3. Résoudre(E).
CorrectionH [005135]
Exercice 492 ***I
Calculeran=∏nk=1sinkπn,bn=∏nk=1cos(a+kπn)etcn=∏nk=1tan(a+kπn)en éliminant tous les cas particuliers concernanta.
CorrectionH [005313]
22 104.04 Géométrie
Exercice 493
Déterminer l’ensemble des nombres complexesztels que : 1.
z−3 z−5 =1, 2.
z−3
z−5 =
√2 2 .
IndicationH CorrectionH Vidéo [000060]
Exercice 494
1. Résoudre dansCl’équation (1)(z−2)/(z−1) =i.On donnera la solution sous forme algébrique.
2. SoitM,A,etBles points d’affixes respectivesz,1,2. On suppose queM6=Aet queM6=B. Interpréter géométriquement le module et un argument de(z−2)/(z−1)et retrouver la solution de l’équation (1).
[000061]
Exercice 495
Le planPest rapporté à un repère orthonormé et identifié à l’ensembleCdes nombres complexes par M(x,y)7→x+iy=z,
oùzest appelé l’affixe deM.Soitf:PrgPqui à tout pointMd’affixezassocieM0d’affixez0=zz+i−i. 1. Sur quel sous ensemble deP, fest-elle définie ?
2. Calculer|z0|pourzaffixe d’un pointMsitué dans le demi plan ouvert H:={M(x,y)∈P|y>0.}? 3. En déduire l’image parfdeH.
[000062]
Exercice 496
Le planPest rapporté à un repère orthonormé et on identifiePà l’ensemble des nombres complexesCpar M(x,y)7→x+iy=z,
oùzest appelé l’affixe deM.Soitg:PrgPqui à tout pointMd’fixez6=−1 associeg(M)d’affixez0=11+z−z. 1. Calculerz0+z¯0pour|z|=1.
2. En déduire l’image du cercle de rayon 1 de centre 0 privé du point de coordonnées(−1,0)par l’applicationg.
[000063]
Exercice 497
SoitCla courbe d’équationx2−xy+y2=0 dans le planPrapporté à un repère orthonormé.
1. La courbeCa-t-elle des points d’intersection avec le rectangle ouvertRdont les sommets sont : A = (−3,2)
B = (4,2) C = (4,−1) D = (−3,−1).
2. Même question pour le rectangle ferméR0de sommets :
A0 = (−1,4) B0 = (2,4) C0 = (2,1) D0 = (−1,1).
[000064]
Exercice 498
Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexesztels que zz−−35
=1. Généraliser pour zz−−ab
=1.
CorrectionH [000065]
Exercice 499
Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexesztels quezz−−35
=k(k>0,k6=1). Généraliser pourzz−−ab
=k.
CorrectionH [000066]
Exercice 500
1. SoitA,B,Ctrois points du plan complexe dont les affixes sont respectivementa, b, c. On suppose quea+jb+j2c=0 ; montrer queABCest un triangle équilatéral (jetj2sont les racines cubiques complexes de 1 — plus précisément j=−1+i
√3 2 ).
Réciproque ?
2. ABCétant un triangle équilatéral direct du plan complexe, on construit les triangles équilatéraux directsBODetOCE, ce qui détermine les pointsDetE(Oest l’origine du plan complexe). Quelle est la nature du quadrilatèreADOE? Comparer les trianglesOBC,DBAetEAC.
CorrectionH [000067]
Exercice 501
SoitHune hyperbole équilatère de centreO, etMun point deH. Montrer que le cercle de centreMqui passe par le symétrique deM par rapport àOrecoupeHen trois points qui sont les sommets d’un triangle équilatéral.
Indications :en choisissant un repère adéquat,Ha une équation du typexy=1, autrement dit en identifiant le plan deHau plan complexe,z2−z¯2=4i. En notantal’affixe deM, le cercle a pour équation|z−a|2=4aa. On pose¯ Z=z−aet on élimine ¯Zentre les équations du cercle et de l’hyperbole. En divisant parZ+2apour éliminer la solution déjà connue du symétrique deM, on obtient une
équation du typeZ3−A=0. [000068]
Exercice 502
Montrer que pouru,v∈C, on a|u+v|2+|u−v|2=2(|u|2+|v|2).Donner une interprétation géométrique.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000069]
Exercice 503
Soientz,z0∈Ctels que Arg(z)−Arg(z0) =π2. 1. Montrer quezz0+zz0=0.
2. Montrer que|z+z0|2=|z−z0|2=|z|2+|z0|2.
[000070]
Exercice 504
1. Déterminer l’ensemble des pointsMdu plan complexe, d’affixeztels que :z(z−1) =z2(z−1).
2. Déterminer l’ensemble des pointsMdu plan complexe, d’affixeztels que les images de 1,z, 1+z2soient alignées.
[000071]
Exercice 505
Soits= (1−z)(1−iz).
1. Déterminer l’ensemble des images des nombres complexesztel quessoit réel.
2. Déterminer l’ensemble des images des nombres complexesztel quessoit imaginaire pur.
[000072]
Exercice 506
1. SoitAun point du plan d’affixeα=a+ib. Déterminer l’ensemble des pointsMdu plan dont l’affixezvérifie|z|2=αz¯+αz.¯ 2. Quelles conditions doivent vérifier les pointsM1etM2d’affixesz1etz2pour que zz1
2 soit réel ?
3. Déterminer les nombres complexesztels que les points du plan complexe d’affixesz,iz,iforment un triangle équilatéral.
4. Soitz=a+ib, mettre l’expressionzz+1−1sous formeA+iB, . Déterminer l’ensemble des points du plan complexe d’affixeztelle que l’argument dezz+1−1soit π2.
[000073]
Exercice 507
Déterminer les nombres complexesztels que le triangle ayant pour sommets les points d’affixesz,z2,z3soit rectangle au point d’affixe
z. [000074]
Exercice 508
Déterminer les nombres complexesz∈C∗tels que les points d’affixesz,1z et(1−z)soient sur un même cercle de centre O. [000075]
Exercice 509
Résoudre dansCle système :
|z−1| ≤1,|z+1| ≤1.
[000076]
Exercice 510
Soit(A0,A1,A2,A3,A4)un pentagone régulier. On noteOson centre et on choisit un repère orthonormé(O,−→u,−→v)avec−→u =−−→
OA0, qui nous permet d’identifier le plan avec l’ensemble des nombres complexesC.
A0
A3
A4 A1 A2
O 1
i
1. Donner les affixesω0, . . . ,ω4des pointsA0, . . . ,A4. Montrer queωk=ω1kpourk∈ {0,1,2,3,4}. Montrer que 1+ω1+ω12+ ω13+ω14=0.
2. En déduire que cos(2π5)est l’une des solutions de l’équation 4z2+2z−1=0. En déduire la valeur de cos(2π5 ).
3. On considère le pointBd’affixe−1. Calculer la longueurBA2en fonction de sin10π puis de√
5 (on remarquera que sin10π = cos2π5 ).
4. On considère le pointId’affixe 2i, le cercleCde centreIde rayon12et enfin le pointJd’intersection deC avec la demi-droite [BI). Calculer la longueurBIpuis la longueurBJ.
5. Application :Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.
CorrectionH Vidéo [000077]
Exercice 511 Équations affines
1. Montrer que toute droite du plan admet pour équation complexe :az+az=baveca∈C∗,b∈R. 2. Soienta,b,c∈C,a,bnon tous deux nuls. Discuter la nature deE={z∈Ctqaz+bz=c}.
CorrectionH [002925]
Exercice 512 Transformation homographique Soitf:C\ {i} →C\ {1},z7→z+iz−i
1. Montrer quefest bijective.
2. Déterminerf(R), f(U\ {i}),f(iR\ {i}).
CorrectionH [002926]
Exercice 513 Triangle équilatéral
Soienta,b,c∈Cdistincts. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : 1. {a,b,c}est un triangle équilatéral.
2. jou j2est racine deaz2+bz+c=0.
3. a2+b2+c2=ab+ac+bc.
4. a−1b+b−1c+c−1a=0.
[002928]
Exercice 514 Sommets d’un carré
Soienta,b,c,d∈Ctels que (
a+ib =c+id a+c =b+d.
Que pouvez-vous dire des points d’affixesa,b,c,d?
En déduire qu’il existez∈Ctel que(z−a)4= (z−b)4= (z−c)4= (z−d)4.
CorrectionH [002929]
Exercice 515 Configuration de points Déterminer les nombresz∈Ctels que. . .
1. z,z2,z4sont alignés.
2. 1,z,z2forment un triangle rectangle.
3. z,1z,−isont alignés.
CorrectionH [002930]
Exercice 516 a+b+c=1 Trouvera,b,c∈Utels que
(a+b+c=1 abc=1.
CorrectionH [002931]
Exercice 517 u+v+w=0
Soientu,v,wtrois complexes unitaires tels queu+v+w=0. Montrer queu= jv=j2wouu= jw=j2v. [002932]
Exercice 518 z+1/z=2
Trouver les complexesz∈C∗tels quez+1z=2.
CorrectionH [002933]
Exercice 519 Symétrique par rapport à une droite
Les pointsA,B,Mayant pour affixesa,b,z, calculer l’affixe du symétrique deMpar rapport à la droite(AB).
CorrectionH [002934]
Exercice 520 Orthocentre
Soienta,b,c,d∈Cdeux à deux distincts. Montrer que si deux des rapports db−−ac,dc−−ab,da−−bc sont imaginaires purs, alors le troisième l’est aussi.
CorrectionH [002935]
Exercice 521 Similitudes dans un triangle
On donne un triangleABC, un réel positifket un angleθ. On noteSMla similitude directe de centreM, de rapportket d’angleθ. Soit C1déduit deCparSA,B1déduit deBparSC,A1déduit deAparSB. Montrer que les deux trianglesABCetA1B1C1ont même centre
de gravité. [002936]
Exercice 522 Centre du cercle circonscrit
Soienta,b,c∈C, affixes de pointsA,B,Cnon alignés. Calculer l’affixe du centre du cercle circonscrit àABCen fonction dea,b,c.
CorrectionH [002937]
Exercice 523 Sphère deR3
Soientu,v∈Ctels queu+v6=0. On posex=1+uvu+v,y=i1u+v−uv,z=uu+v−v. 1. CNS suruetvpour quex,y,zsoient réels ?
2. On suppose cette condition réalisée. Montrer que le pointM(x,y,z)dans l’espace appartient à la sphère de centreOet de rayon 1.
3. A-t-on ainsi tous les points de cette sphère ?
CorrectionH [002938]
Exercice 524 **IT Une construction du pentagone régulier à la règle et au compas
1. On posez=e2iπ/5puisa=z+z4etb=z2+z3. Déterminer une équation du second degré dont les solutions sontaetbet en déduire les valeurs exactes de cos 2π5
, sin 2π5
, cos 4π5
, sin 4π5 , cos π5
et sin π5 .
2. Le cercle de centreΩd’affixe−12passant par le pointMd’affixeirecoupe(Ox)en deux pointsIetJ. Montrer queOI+OJ= OI.OJ=−1 et en déduire une construction à la règle et au compas, du pentagone régulier inscrit dans le cercle de centreOet de rayon 1 dont un des sommets est le point d’affixe 1.
3. La diagonale[AC]d’un pentagone régulier(ABCDE)est recoupée par deux autres diagonales en deux pointsFetG. Calculer les rapportsAFACetFGAF.
CorrectionH [005121]
Exercice 525 ****
1. Soit(ABC)un triangle dont les longueurs des côtésBC,CAetABsont notées respectivementa,betc. SoitIle centre du cercle inscrit au triangle(ABC). Montrer queI=bar{A(a),B(b),C(c)}.
2. Déterminerzcomplexe tel queOsoit le centre du cercle inscrit au triangle(PQR)dont les sommets ont pour affixes respectives z,z2etz3.
CorrectionH [005123]
Exercice 526 ***I
SoientA,BetCtrois points du plan, deux à deux distincts, d’affixes respectivesa,betc. Montrer que : ABCéquilatéral⇔jouj2est racine de l’équationaz2+bz+c=0
⇔a2+b2+c2=ab+ac+bc⇔ 1 b−c+ 1
c−a+ 1 a−b=0.
CorrectionH [005124]
Exercice 527 **T
Pourz∈C\ {1}, on poseZ=1+z1−z. Déterminer et construire l’ensemble des pointsMd’affixesztels que
1. |Z|=1.
2. |Z|=2.
3. Z∈R. 4. Z∈iR.
CorrectionH [005133]
Exercice 528 *T
Nature et éléments caractéristiques de la transformation d’expression complexe : 1. z0=z+3−i
2. z0=2z+3 3. z0=iz+1 4. z0= (1−i)z+2+i
CorrectionH [005134]
23 104.05 Trigonométrie
Exercice 529
On rappelle la formule (θ∈R) :
eiθ=cosθ+isinθ. 1. Etablir les formules d’Euler (θ∈R) :
cosθ= eiθ+e−iθ
2 et sinθ=eiθ−e−iθ
2i .
2. En utilisant les formules d’Euler, linéariser (ou transformer de produit en somme) (a,b∈R) : 2 cosacosb ; 2 sinasinb ; cos2a ; sin2a.
3. A l’aide de la formule :eixeiy=ei(x+y)(x,y∈R), retrouver celles pour sin(x+y), cos(x+y)et tan(x+y)en fonction de sinus, cosinus et tangente dexou dey; en déduire les formules de calcul pour sin(2x), cos(2x)et tan(2x)(x,y∈R).
4. Calculer cosxet sinxen fonction de tanx
2(x6=π+2kπ,k∈Z).
5. Etablir la formule de Moivre (θ∈R) :
(cosθ+isinθ)n=cos(nθ) +isin(nθ).
6. En utilisant la formule de Moivre, calculer cos(3x)et sin(3x)en fonction de sinxet cosx.
[000078]
Exercice 530
1. Calculer cos 5θ, cos 8θ, sin 6θ, sin 9θ, en fonction des lignes trigonométriques de l’angleθ. 2. Calculer sin3θ, sin4θ, cos5θ, cos6θ, à l’aide des lignes trigonométriques des multiples entiers deθ.
[000079]
Exercice 531
En utilisant les nombres complexes, calculer cos 5θet sin 5θen fonction de cosθet sinθ.
IndicationH CorrectionH Vidéo [000080]
Exercice 532
1. Soitθ∈R. A l’aide de la formule de Moivre exprimer en fonction de cosθet de sinθ: (a) cos(2θ)et sin(2θ).
(b) cos(3θ)et sin(3θ). En déduire une équation du troisième degré admettant pour solution cos(π3)et la résoudre.
2. Linéariser les polynomes trigonométriques suivants : 1+cos2x, cos3x+2 sin2x.
[000081]
Exercice 533
Exprimer(cos 5x)(sin 3x)en fonction de sinxet cosx. [000082]
Exercice 534
Soitxun nombre réel. On noteC=1+cosx+cos 2x+. . .+cosnx=∑nk=0coskx, etS=sinx+sin 2x+. . .+sinnx=∑nk=0sinkx.
CalculerCetS. [000083]
Exercice 535
Résoudre dansRles équations :
sinx=1
2,cosx=−1
2,tanx=−1, et placer sur le cercle trigonométrique les images des solutions ; résoudre dansRl’équation
cos(5x) =cos 2π
3 −x
.
[000084]
Exercice 536
Calculer sin(25π/3),cos(19π/4),tan(37π/6). [000085]
Exercice 537
Résoudre l’équation : 2 sin2x−3 sinx−2=0, puis l’inéquation : 2 sin2x−3 sinx−2>0. [000086]
Exercice 538
Etudier le signe de la fonction donnée par f(x) =cos 3x+cos 5x. [000087]
Exercice 539
Simplifier, suivant la valeur dex∈[−π,π], l’expression√
1+cosx+|sinx/2|. [000088]
Exercice 540
Résoudre dansRles équations suivantes : (donner les valeurs des solutions appartenant à]−π,π]et les placer sur le cercle trigonomé-trique).
1. sin(5x) =sin 2π3 +x , 2. sin 2x−π3
=cos 3x , 3. cos(3x) =sin(x).
CorrectionH [000089]
Exercice 541
A quelle condition sur le réelml’équation√
3 cos(x) +sin(x) =ma-t-elle une solution réelle ? Résoudre cette équation pourm=√ 2.
CorrectionH [000090]
Exercice 542
Résoudre dansRles inéquations suivantes :
cos(5x) +cos(3x)≤cos(x) 2 cos2(x)−9 cos(x) +4>0.
CorrectionH [000091]
Exercice 543
Résoudre dansRles équations suivantes : 1. cos2(x)−sin2(x) =sin(3x).
2. cos4(x)−sin4(x) =1.
CorrectionH [000092]
Exercice 544 Somme de coefficients binomiaux A l’aide de formules du binôme, simplifier :
1. ∑[n/3]k=0 C3kn . 2. ∑[n/2]k=0 C2kn (−3)k. 3. ∑nk=0Cnkcos(kθ).
4. ∑nk=0Cnksin (k+1)θ .
5. cosa+Cn1cos(a+b) +Cn2cos(a+2b) +···+Cnncos(a+nb).
CorrectionH [002951]
Exercice 545 Sommes trigonométriques Simplifier :
1. ∑nk=0kcos(kθ).
2. ∑nk=1sin3(kθ).
CorrectionH [002952]
Exercice 546 Équation trigonométrique Soita∈R. Résoudre : (
cos(a) +cos(a+x) +cos(a+y) =0 sin(a) +sin(a+x) +sin(a+y) =0.
CorrectionH [002953]
Exercice 547 ∑cos2p(x+kπ/2p) Soitθ∈R.
1. Simplifier cos4θ+cos4 θ+π4
+cos4 θ+2π4
+cos4 θ+3π4 . 2. Simplifier cos6θ+cos6 θ+π6
+···+cos6 θ+5π6
. 3. Simplifier cos2pθ+cos2p
θ+2pπ
+···+cos2p
θ+(2p2p−1)π .
CorrectionH [002954]
Exercice 548 ∑cos(kx)/cosxk=0 Résoudre :∑nk=0−1 cos(kx)coskx =0.
CorrectionH [002955]
Exercice 549 ∑Cnkxn−kcos(kα) =0
Résoudre enx:xn+Cn1xn−1cosα+···+Cnncos(nα) =0.
CorrectionH [002956]
Exercice 550 ∑2−k/cosθ. . .cos(2kθ) Simplifier
n
∑
k=1
1
2kcosθcos 2θcos 4θ. . .cos 2k−1θ.
CorrectionH [002957]
Exercice 551 Calcul de tan(nx)
Soitn∈N, etx∈R. Exprimer tan(nx)en fonction de tanx.
CorrectionH [002958]
Exercice 552 z= (1+ia)/(1−ia)
Soitz∈U. Peut-on trouvera∈Rtel quez= 1+ia1−ia?
CorrectionH [002959]
Exercice 553 *IT
Résoudre dansRpuis dans[0,2π]les équations suivantes : 1. sinx=0,
2. sinx=1, 3. sinx=−1, 4. cosx=1, 5. cosx=−1, 6. cosx=0, 7. tanx=0, 8. tanx=1.
CorrectionH [005063]
Exercice 554 *IT
Résoudre dansRpuis dans[0,2π]les équations suivantes : 1. sinx=12,
2. sinx=−√12, 3. tanx=−1, 4. tanx=√1
3, 5. cosx=
√3 2 , 6. cosx=−√12.
CorrectionH [005064]
Exercice 555 **IT
Résoudre dansRpuis dansIles équations suivantes : 1. sin(2x) =12,I= [0,2π],
2. sin x2
=−√12,I= [0,4π], 3. tan(5x) =1,I= [0,π], 4. cos(2x) =cos2x,I= [0,2π], 5. 2 cos2x−3 cosx+1=0,I= [0,2π], 6. cos(nx) =0(n∈N∗),
7. |cos(nx)|=1, 8. sin(nx) =0, 9. |sin(nx)|=1,
10. sinx=tanx,I= [0,2π], 11. sin(2x) +sinx=0,I= [0,2π], 12. 12 cos2x−8 sin2x=2,I= [−π,π].
CorrectionH [005065]
Exercice 556 **IT
Résoudre dansIles inéquations suivantes : 1. cosx≤ 12,I= [−π,π],
2. sinx≥ −√12,I=R, 3. cosx>cosx2,I= [0,2π], 4. cos2x≥cos(2x),I= [−π,π],
5. cos2x≤ 12,I= [0,2π], 6. cosx3≤sinx3,I= [0,2π].
CorrectionH [005066]
Exercice 557 *I Calculer cosπ8 et sinπ8.
CorrectionH [005067]
Exercice 558 *I Calculer cos12π et sin12π.
CorrectionH [005068]
Exercice 559 ***
Montrer que∑cos(a1±a2±...±an) =2ncosa1cosa2...cosan(la somme comporte 2ntermes).
CorrectionH [005069]
Exercice 560 ***I 1. Calculer∏nk=1cos
a 2k
pouraélément donné de]0,π[(penser à sin(2x) =2 sinxcosx).
2. Déterminer limn→+∞∑nk=1ln cos(2ak)
.
CorrectionH [005070]
Exercice 561 **
Résoudre dansRl’équation 24 cos2x+1+16.24 sin2x−3=20.
CorrectionH [005071]
Exercice 562 ***
Soitaun réel distinct de√1
3et−√13. 1. Calculer tan(3θ)en fonction de tanθ.
2. Résoudre dansRl’équation :
3x−x3
1−3x2= 3a−a3 1−3a2.
On trouvera deux méthodes, l’une algébrique et l’autre utilisant la formule de trigonométrie établie en 1).
CorrectionH [005072]
Exercice 563 ****
On veut calculerS=tan 9◦−tan 27◦−tan 63◦+tan 81◦. 1. Calculer tan(5x)en fonction de tanx.
2. En déduire un polynôme de degré 4 dont les racines sont tan 9◦,−tan 27◦,−tan 63◦et tan 81◦puis la valeur deS.
CorrectionH [005073]
Exercice 564 ***
Combien l’équation
tanx+tan(2x) +tan(3x) +tan(4x) =0, possède-t-elle de solutions dans[0,π]?
CorrectionH [005074]
Exercice 565 **I
On veut calculer cos2π5 et sin2π5. Pour cela, on posea=2 cos2π5,b=2 cos4π5 etz=e2iπ/5. 1. Vérifier quea=z+z4etb=z2+z3.
2. Vérifier que 1+z+z2+z3+z4=0.
3. En déduire un polynôme de degré 2 dont les racines sontaetbpuis les valeurs exactes de cos2π5 et sin2π5 .
CorrectionH [005075]
Exercice 566 **I
Calculer une primitive de chacune des fonctions suivantes : 1. x7→cos2x,
2. x7→cos4x, 3. x7→sin4x, 4. x7→cos2xsin2x, 5. x7→sin6x, 6. x7→cosxsin6x, 7. x7→cos5xsin2x, 8. x7→cos3x.
CorrectionH [005076]
Exercice 567 **
CalculerI=Rπ/6π/3cos4xsin6x dxetJ=Rπ/6π/3cos4xsin7x dx.
CorrectionH [005077]
Exercice 568 **
Démontrer les identités suivantes, en précisant à chaque fois leur domaine de validité : 1. 1−sincosxx =tanx2,
2. sin x−2π3
+sinx+sin x+2π3
=0, 3. tan π4+x
+tan π4−x
= cos(2x)2 , 4. tanx1 −tanx= tan(2x)2 .
CorrectionH [005078]
Exercice 569 ***
Soitkun réel distinct de−1 et de 1.
1. Etudier les variations defk : x7→ √1−2kcosx+ksinx 2. 2. CalculerR0πfk(x)dx.
CorrectionH [005079]
Exercice 570 ***I
Calculer les sommes suivantes :
1. ∑nk=0cos(kx)et∑nk=0sin(kx), (x∈Retn∈Ndonnés).
2. ∑nk=0cos2(kx)et∑nk=0sin2(kx), (x∈Retn∈Ndonnés).
3. ∑nk=0 n
k
cos(kx)et∑nk=0 n
k
sin(kx), (x∈Retn∈Ndonnés).
CorrectionH [005080]
Exercice 571 ***
Résoudre le système
cosa+cosb+cosc=0
sina+sinb+sinc=0 oùa,betcsont trois réels.
CorrectionH [005081]
Exercice 572 **
Montrer que cos4π8+cos4 3π8 +cos4 5π8 +cos4 7π8 =32.
CorrectionH [005082]
Exercice 573 ***
1. Résoudre dansRl’équation cos(3x) =sin(2x).
2. En déduire les valeurs de sinxet cosxpourxélément deπ
10,π5,3π10 .
CorrectionH [005083]
Exercice 574 ***
Montrer que∀n∈N∗,∑nk=1|cosk| ≥n4(remarquer que six∈[0; 1],x2≤x).
CorrectionH [005162]
24 104.99 Autre
Exercice 575
Montrer que tout nombre complexeznon réel de module 1 peut se mettre sous la forme1+ir1−ir, oùr∈R. [000093]
Exercice 576
Soitu,vdes nombres complexes non réels tels que|u|=|v|=1 etuv6=−1. Montrer que1+uvu+v est réel. [000094]
Exercice 577
Calculer les sommes suivantes :
n
∑
k=0
cos(kx) ;
n
∑
k=0
Cnkcos(kx).
[000095]
Exercice 578
SoitZ[i] ={a+ib;a,b∈Z}.
1. Montrer que siαetβsont dansZ[i]alorsα+βetα βle sont aussi.
2. Trouver les élements inversibles deZ[i], c’est-à-dire les élémentsα∈Z[i]tels qu’il existeβ∈Z[i]avecα β=1.
3. Vérifier que quel que soitω∈Cil existeα∈Z[i]tel que|ω−α|<1.
4. Montrer qu’il existe surZ[i]une division euclidienne, c’est-à-dire que, quels que soientαetβdansZ[i]il existeqetrdansZ[i]
vérifiant :
α=βq+r avec |r|<|β|. (Indication : on pourra considérer le complexeα
β)
CorrectionH Vidéo [000096]
Exercice 579
Montrer que∀z∈C|Re(z)|+|Im(z)|
√2 ≤ |z| ≤ |Re(z)|+|Im(z)|. Étudier les cas d’égalité.
[000097]
Exercice 580
Soit(a,b,c,d)∈R4tel quead−bc=1 etc6=0. Montrer que siz6=−d
c alors Im(az+b
cz+d) = Im(z)
|(cz+d)|2. [000098]
Exercice 581
Que dire de trois complexesa,b,cnon nuls tels que|a+b+c|=|a|+|b|+|c|. [000099]
Exercice 582
1. Étudier la suite(zn)n∈Ndéfinie par :z0=4,zn+1=f(zn)où fest l’application deCsur lui-même définie par :
∀z∈C,f(z) =i+1 4(1−i√
3)z.
Indication: on commencera par rechercher les coordonnées cartésiennes de l’unique pointαtel que f(α) =α, puis on s’inté-ressera à la suite(xn)n∈Ndéfinie par :
∀n∈N,xn=zn−α.
2. On pose∀n∈N,ln=|zn+1−zn|. Calculer
nlim→∞ n
∑
k=0
lk
et interpréter géométriquement.
[000100]
Exercice 583 Examen octobre 1999
On définit une fonction fdeC− {i}dansC− {1}en posant
f(z) =z+i z−i. 1. On supposezréel. Quel est le module de f(z)?
2. Trouver les nombres complexesztels que f(z) =z.
[000101]
Exercice 584 Examen novembre 2001
Soitfla fonction deCdansCdéfinie parf(z) =1+z1−z.
1. Calculer les points fixes de la fonctionf, c’est à dire les nombres complexesztels que f(z) =z.
2. Déterminer les nombres complexeszpour lesquelsf(z)est réel.
[000102]
Exercice 585
1. Montrer que six+y+z=a,yz+zx+xy=b,xyz=c, alorsx,yetzsont solutions de l’équationZ3−aZ2+bZ−c=0. Trouver x,yetzsi on supposea=b=0 etc=−8.
2. Résoudre le système
x+y+z = 4 x2+y2+z2 = 4 x3+y3+z3 = 1
CorrectionH [000103]
Exercice 586 ***
Montrer que les solutions de l’équation 1+z+z2+...+zn−1−nzn=0 sont de module inférieur ou égal à 1.
CorrectionH [005132]
Exercice 587 ***T ESIM 1993
Pourz∈C, on pose chz=12(ez+e−z), shz=12(ez−e−z)et thz=shchzz. 1. Quels sont les nombres complexeszpour lesquels thzexiste ? 2. Résoudre dansCl’équation thz=0.
3. Résoudre dansCle système
|Imz|<π2
|thz|<1 .
4. Montrer que la fonction th réalise une bijection de∆={z∈C/|Imz|<π4}surU={z∈C/|z|<1}.
CorrectionH [005136]