Exercice 1045
SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deRn, on définit l’application f:F×G→Rnpar f(x1,x2) =x1+x2. 1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer le noyau et l’image def.
[000931]
Exercice 1046
Soitfune application linéaire deRndansRn. Montrer que les propriétés(1)à(3)sont équivalentes.
(1) Rn=Im(f)MKer(f)
(2) Im(f) =Im(f2)
(3) Ker(f) =Ker(f2)
[000932]
Exercice 1047
Soient :E,FetGtrois sous espaces vectoriels deRN, fune application linéaire deEdansFetgune application linéaire deFdansG.
On rappelle queg◦fest l’application deEdansGdéfinie parg◦f(v) =g(f(v)), pour tout vecteurvdeE.
1. Montrer queg◦fest une application linéaire.
2. Montrer quef Ker(g◦f)
=Kerg∩Im f.
[000933]
Exercice 1048
E1etE2étant deux sous-espaces vectoriels de dimensions finies d’un espace vectorielE, on définit l’application f:E1×E2→Epar f(x1,x2) =x1+x2.
1. Montrer quefest linéaire.
2. Déterminer le noyau et l’image def. 3. Appliquer le théorème du rang.
IndicationH CorrectionH [000934]
Exercice 1049
SoitEl’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal àn. Pourp≤non noteeple polynômex7→xp. Soit fl’application définie surEpar f(P) =QavecQ(x) =P(x+1) +P(x−1)−2P(x).
1. Montrer quefest une application linéaire deEdansE.
2. Calculerf(ep); quel est son degré ? En déduire kerf, Im fet le rang def.
3. SoitQun polynôme de Imf; montrer qu’il existe un polynôme uniquePtel que : f(P) =QetP(0) =P0(0) =0.
[000935]
Exercice 1050
SoitE,F,Gtrois espaces vectoriels, fetgdeux applications linéairesE→f F→g G; montrer que : ker(g◦f) =f−1(kerg∩Imf) =f−1(kerg).
[000936]
Exercice 1051
SoitEun espace vectoriel de dimension finie,FetNdeux sous-espaces vectoriels deE; donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une application linéairefdeEdansEvérifiant : f(E) =Fet kerf=N. [000937]
Exercice 1052
SoitE,F,Gtrois espaces vectoriels de dimensions respectivesn,p,q, fetgdeux applications linéairesE→f F→g Gtelles queg◦f=0.
Quelle relation existe-t-il entre le rang defet celui deg? [000938]
Exercice 1053
SoitE un espace vectoriel de dimension finie, f une application linéaire deE dansE; montrer que les propriétés (1) à (3) sont équivalentes :
(1) E=Imf⊕kerf,
(2) Imf=Im f2, (3) kerf=kerf2.
[000939]
Exercice 1054
SoitEun espace vectoriel, etuune application linéaire deEdansE. Dire si les propriétés suivantes sont vraies ou fausses : 1. Sie1,e2, . . . ,epest libre, il en est de même deu(e1),u(e2), . . . ,u(ep).
2. Siu(e1),u(e2), . . . ,u(ep)est libre, il en est de même dee1,e2, . . . ,ep. 3. Sie1,e2, . . . ,epest génératrice, il en est de même deu(e1),u(e2), . . . ,u(ep).
4. Siu(e1),u(e2), . . . ,u(ep)est génératrice, il en est de même dee1,e2, . . . ,ep.
5. Siu(e1),u(e2), . . . ,u(ep)est une base de Imu, alorse1,e2, . . . ,epest une base d’un sous-espace vectoriel supplémentaire de Keru.
[000940]
Exercice 1055
SoientE un espace vectoriel etϕ une application linéaire deE dansE. On suppose que Ker(ϕ)∩Im(ϕ) ={0}. Montrer que, si x6∈Ker(ϕ)alors, pour toutn∈N:ϕn(x)6=0.
CorrectionH [000941]
Exercice 1056
Pour des applications linéairesf:E→F,g:F→G, établir l’équivalence g◦f=0⇐⇒Imf⊂Kerg.
Soit f un endomorphisme d’un e.v.E, vérifiant l’identité f2+f−2iE =0. Etablir Im(f−iE)⊂Ker(f+2iE); Im(f+2iE)⊂
Ker(f−iE); E=Ker(f−iE)⊕Ker(f+2iE). [000942]
Exercice 1057
SoientEun espace vectoriel de dimensionnet f une application linéaire deEdans lui-même. Montrer que les deux assertions qui suivent sont équivalentes :
1. Ker(f) =im(f).
2. f2=0 et n=2 rg(f).
CorrectionH [000943]
Exercice 1058
SoientEun espace vectoriel etFun sous-espace vectoriel deEde dimension finie. Soit fune application linéaire deEdans lui-même.
1. Montrer que, siF⊂ f(F)alorsf(F) =F.
2. Montrer que, sifest injective etf(F)⊂Falors f(F) =F.
[000944]
Exercice 1059
Soient f:E→Fetg:F→Gdeux applications linéaires. Montrer que ker(f)⊂ker(g◦f)et Im(g◦f)⊂Im(f). [000945]
Exercice 1060
SoitEun espace vectoriel de dimension finie etϕune application linéaire deEdans lui-même. PosonsKn=Ker(ϕn)etIn=Im(ϕn).
Montrer qu’il existen0∈Ntel que pour toutn≥n0 on aitKn=Kn0. Déduiser en que pour toutn≥n0 on a égalementIn=In0. [000946]
Exercice 1061
Soient fetgdeux endomorphismes deEtels que f◦g=g◦f. Montrer que ker(f)et Im(f)sont stables parg.
IndicationH CorrectionH [000947]
Exercice 1062
Soitf∈L(E)telle quef3=f2+f. Montrer queE=ker(f)⊕Im(f)(on remarquera que f◦(f2−f−id) =0). [000948]
Exercice 1063
Soitf∈L(E). Montrer que ker(f)∩Im(f) =f(ker(f◦f)).
IndicationH CorrectionH [000949]
Exercice 1064
SoitUun sous-espace vectoriel deEespace vectoriel, et
A={f∈L(E)|U⊂Ker(f)}.
Montrer queAest un sous-espace vectoriel deL(E). [000950]
Exercice 1065
Donner des exemples d’applications linéaires deR2dansR2vérifiant : 1. Ker(f) =Im(f).
2. Ker(f)inclus strictement dans Im(f).
3. Im(f)inclus strictement dans Ker(f).
CorrectionH [000951]
Exercice 1066
Soit(u,v)∈(L(E))2, tels queu2=uetvu=0.Montrer que
Im(u+v) =Im(u) +Im(v).
[000952]
Exercice 1067
Soit(~e1, ~e2, ~e3)une base deR3, etλun nombre réel. Démontrer que la donnée de
φ(~e1) = ~e1+~e2
φ(~e2) = ~e1−~e2 φ(~e3) = ~e1+λ~e3
définit une application linéaire deR3dansR3. Ecrire l’image du vecteur~v=a1~e1+a2~e2+a3~e3. Comment choisirλ pour queφsoit
injective ? surjective ? [000953]
Exercice 1068
SoitEun espace vectoriel de dimension 3,{e1,e2,e3}une base deE, etλun paramètre réel.
Démontrer que la donnée de
ϕ(e1) = e1+e2
ϕ(e2) = e1−e2 ϕ(e3) = e1+λe3
définit une application linéaireϕdeEdansE. Écrire le transformé du vecteur x=α1e1+α2e2+α3e3. Comment choisirλ pour queϕsoit injective ? surjective ?
CorrectionH [000954]
Exercice 1069
Eétant un espace vectoriel de dimensionnsurR, fune application linéaire deE dansE, construire dans les trois cas suivants deux applications linéaires bijectivesuetvdeEdansEtelles que f=u−v.
– fest bijective.
– Kerf+Im f=E.
– fest quelconque.
[000955]
Exercice 1070
1. Dire si les applicationsfi,16i66,sont linéaires
f1:(x,y)∈R27→(2x+y,ax−y)∈R2, f2:(x,y,z)∈R37→(xy,ax,y)∈R3, f3:P∈R[X]7→aP0+P∈R[X], f4:P∈R3[X]7→P0∈R2[X], f5:P∈R3[X]7→(P(−1),P(0),P(1))∈R3, f6:P∈R[X]7→P−(X−2)P0∈R[X].
2. Pour les applications linéaires trouvées ci-dessus, déterminer ker(fi)et Im(fi), en déduire sifiest injective, surjective, bijective.
CorrectionH [000956]
Exercice 1071
Soitf∈L(E)non nul ; montrer quef est injective si et seulement si pour tout couple(E1,E2)de sous-espaces supplémentaires deE, la sommef(E1) +f(E2)est directe (i.e.f(E1)etf(E2)sont supplémentaires). [000957]
Exercice 1072
Soitf∈L(E)oùEest unK−espace vectoriel. On suppose :
∀x∈E,∃λ∈K,f(x) =λx.
Montrer :
∃µ∈K,f=µid.
[000958]
Exercice 1073
SoientE= (x2+1)n[X]etAetBdeux polynômes à coefficients complexes de degré(n+1). On considère l’application f qui à tout polynômePdeE, associe le reste de la division euclidienne deAPparB.
1. Montrer quefest un endomorphisme deE. 2. Montrer l’équivalence
fest bijective⇐⇒AetBsont premiers entre eux.
CorrectionH [000959]
Exercice 1074
Soitf∈L(E)telle quef3=f2+f+id. Montrer quefest un automorphisme. [000960]
Exercice 1075
SoitEun(x2+1)–espace vectoriel etf∈L(E)tel quef2−3f+2Id=0L(E). 1. Montrer quefest un automorphisme.
2. Montrer queE=ker(f−Id)⊕ker(f−2Id).
3. Déduire de 2. que siEest de dimension finien, il existe une baseβ= (εi)1≤i≤n, telle que∀i,f(εi) =λiεiavecλi=1 ouλi=2.
[000961]
Exercice 1076
Montrer que sip<qil n’existe pas d’application linéaire surjective deRp dansRq. Montrer que siq<pil n’existe pas non plus
d’application linéaire injective deRpdansRq. [000962]
Exercice 1077
SoientEetFdeux espaces vectoriels de dimension finie etϕune application linéaire deEdansF. Montrer queϕest un isomorphisme si et seulement si l’image parϕde toute base deEest une base deF.
CorrectionH [000963]
Exercice 1078
1. SoientEetFdeux espaces vectoriels etϕune application linéaire bijective deEdansF.Montrer que la bijection réciproque ϕ−1est linéaire. Une telle application est dite un isomorphisme d’espaces vectoriels.
2. SoientEetF deux espaces vectoriels de dimension finie. Montrer qu’il existe un isomorphisme d’espaces vectoriels deE à valeurs dansFsi et seulement si dim(E) =dim(F).
[000964]
Exercice 1079
SoitEun espace vectoriel de dimension finieϕetψdeux applications linéaires deEdans lui-même telles queϕ◦ψ=idE.Montrer
queψ◦ϕ=idE. [000965]
Exercice 1080
SoitEun espace vectoriel de dimension finien, etu,vdeux endomorphismes deE.
1. Montrer queu◦v=0 si et seulement si l’image devest contenue dans le noyau deu.
2. Soit(e1, . . . ,en)une base deE. On suppose dans cette question queuetvs’expriment dans cette base par u(e1) =e1, u(ei) =0 si i6=1,
v(e2) =e2, v(ei) =0 si i6=2.
Trouver les matrices deu,vetu◦vdans cette base.
3. Siuest un endomorphisme quelconque non nul deE, quelle condition doit vérifier le noyau deupour qu’il existe un endomor-phisme non nulvtel queu◦v=0 ? Dans ce cas,uest-il bijectif ?
[002441]
Exercice 1081
1. Soitfune application linéaire surjective deR4dansR2. Quelle est la dimension du noyau def? 2. Soitgune application injective deR26dansR100. Quelle est la dimension de l’image deg? 3. Existe-t-il une application linéaire bijective entreR50etR72?
[002743]
1. Déterminer une base du noyau deA.
2. Déterminer une base de l’image deA.
[002744]
1. Déterminer une base du noyau deB.
2. Déterminer une base de l’image deB.
[002745] 1. Déterminer une base du noyau deC.
2. Déterminer une base de l’image deC.
[002746]
Exercice 1085
Pour chaque couple de matrices(Ai,bi), 1≤i≤5, ci-dessous
1. donner la nature de l’ensemble des solutions du systèmeAiX=bi;
2. donner une représentation paramétrique de l’ensemble des solutions deAiX=bi; 3. donner une base de l’image et une base du noyau deAi.
Calculer une base de l’image et une base du noyau de l’application linéaire f : R3 −→ R5
CorrectionH [003316]
Exercice 1091 Applications du thm du rang SoientE,FdeuxK-ev etf∈L(E,F).
1. Montrer que siHest un sev deE, alors dimf(H) =dimH−dim(H∩Kerf).
2. Montrer que siKest un sev deF, alors dimf−1(K) =dim(K∩Imf) +dim(Kerf).
[003327]
Exercice 1092 Application du thm du rang
SoientE,Fdeux ev de dimensions finies etu,v∈L(E,F).
Montrer que dim(Ker(u+v))≤dim(Keru∩Kerv) +dim(Imu∩Imv).
(considérerw=u|Ker(u+v))
[003328]
Exercice 1093 Rang de f◦g
SoitEun ev de dimension finie etf,g∈L(E). Établir : 1. dim Ker(f◦g)≤dim Kerf+dim Kerg.
2. dim(Imf∩Kerg) =rg(f)−rg(g◦f).
3. rg(f) +rg(g)−dimE≤rg(f◦g)≤min(rg(f),rg(g)).
[003329]
Exercice 1094 CNS pour que Kerfet Imfsoient supplémentaires
SoitEun ev de dimension finie etf∈L(E). Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. Kerf2=Kerf.
2. Imf2=Imf. 3. Kerf⊕Imf=E.
4. Kerf∩Imf={~0}. 5. Kerf+Imf=E.
[003330]
Exercice 1095 f og=0
SoitE un ev de dimension finie et f,g∈L(E)tels que f◦g=0. Trouver une inégalité liant les rangs de f et deg. Peut-on avoir
égalité ? [003331]
Exercice 1096 Rang de f+g
SoientE,Fdeux ev,Ede dimension finie, etf,g∈L(E,F).
1. Démontrer que rg(f+g)≤rg(f) +rg(g).
2. Montrer qu’il y a égalité si et seulement si Imf∩Img={~0F}et Kerf+Kerg=E.
CorrectionH [003332]
Exercice 1097 Kerf+Kerg=Imf+Img=E
SoientEun ev de dimension finie et f,g∈L(E)tels que Kerf+Kerg=Imf+Img=E.
Montrer que les sommes sont directes.
[003333]
Exercice 1098 f3=0 Soitf∈L(E)tel que f3=0.
1. Montrer que rgf+rgf2≤dimE.
2. Montrer que 2rgf2≤rgf(appliquer le théorème du rang à f|Imf).
[003334]
Exercice 1099 f◦g=0 et f+g∈GL(E) SoitEde dimension finie etf,g∈L(E)tels que :
(f◦g=0 f+g∈GL(E).
Montrer que rgf+rgg=dimE.
CorrectionH [003335]
Exercice 1100 ftq Imf et Kerfsont imposés
SoitEunK-ev de dimension finie etH,Kdeux sev fixés deE.
1. A quelle condition existe-t-il un endomorphismef∈L(E)tel que Imf=Het Kerf=K?
2. On noteE={f∈L(E)tq Imf=Het Kerf=K}. Montrer queEest un groupe pour◦si et seulement siH⊕K=E.
CorrectionH [003336]
Exercice 1101 Thms de factorisation SoientE,F,GtroisK-ev avec dim(G)finie.
1. Soientu∈L(F,E)etv∈L(G,E). Montrer qu’il existeh∈L(G,F)tel quev=u◦hsi et seulement si Imv⊂Imu.
2. Soientu∈L(E,F)etv∈L(E,G). Montrer qu’il existeh∈L(G,F)tel queu=h◦vsi et seulement si Kerv⊂Keru.
[003337]
Exercice 1102 Noyaux itérés
SoitEun ev de dimension finie etf∈L(E). On poseNk=Ker(fk)etIk=Im(fk).
1. Montrer que la suite(Nk)est croissante (pour l’inclusion) et que la suite(Ik)est décroissante.
2. Soitptel queNp=Np+1. Justifier l’existence depet montrer queNp+1=Np+2=···=Np+k=. . . 3. Montrer que les suites(Nk)et(Ik)sont stationnaires à partir du même rangp.
4. Montrer queNp⊕Ip=E.
5. Montrer que la suite(dim(Nk+1)−dim(Nk))est décroissante.
[003349]
Exercice 1103 Dimension desgtq f◦g=0 et/oug◦f=0
Soitf∈L(E). On poseK=Kerf,I=Imf,K ={g∈L(E)tq f◦g=0}etI={g∈L(E)tqg◦f=0}. 1. Montrer queK etI sont des sev deL(E).
2. Soitg∈L(E). Montrer que :g∈K ⇐⇒Img⊂K, et :g∈I ⇐⇒Kerg⊃I.
3. (a) Montrer que l’ applicationΦ:K →L(E,K),g7→g|Kest un isomorphisme d’ev. En déduire dimK. (b) Chercher de même dimI en introduisant un supplémentaireI0deI.
(c) Chercher aussi dim(K ∩I).
CorrectionH [003350]
Exercice 1104 Rang de f7→u◦f◦v
Soientu,v∈L(E). Déterminer le rang de l’endomorphisme deL(E):f7→u◦f◦v.
CorrectionH [003351]
Exercice 1105 Idéaux deL(E)
Un idéal à gauche deL(E)est un sevIdeL(E)tel que :∀ f∈I,∀g∈L(E), f◦g∈I. SoitI un idéal à gauche.
1. Montrer que si f∈I et Img⊂Imf, alorsg∈I.
2. Soientf1,f2∈I. Montrer qu’il existeg1,g2∈L(E)tels que Im(f1◦g1+f2◦g2) =Imf1+Imf2.
3. Soitf∈Itel que rg(f) soit maximal. Montrer queI={g∈L(E)tq Img⊂Imf}={f◦gtqg∈L(E)}.
[003353]
Exercice 1106 **I
SoitEunK-espace vectoriel etfun élément deL(E).
1. Montrer que[Kerf=Kerf2⇔Kerf∩Imf={0}]et[Imf=Imf2⇔E=Kerf+Imf](où f2= f◦f).
2. Par définition, un endomorphismepdeEest un projecteur si et seulement sip2=p.
Montrer que
[pprojecteur⇔Id−pprojecteur]
puis que
[pprojecteur⇒Imp=Ker(Id−p)et Kerp=Im(Id−p)etE=Kerp⊕Imp].
3. Soientpetqdeux projecteurs, montrer que :[Kerp=Kerq⇔p=p◦qetq=q◦p].
4. petqétant deux projecteurs vérifiant p◦q+q◦p=0, montrer quep◦q=q◦p=0. Donner une condition nécessaire et suffisante pour quep+qsoit un projecteur lorsquepetqle sont. Dans ce cas, déterminer Im(p+q)et Ker(p+q)en fonction de Kerp, Kerq, Impet Imq.
CorrectionH [005171]
Exercice 1107 ****
SoitEunK-espace vectoriel et soit(u,v)∈(L(E))2. 1. Montrer que[Kerv⊂Keru⇔ ∃w∈L(E)/u=w◦v].
2. En déduire que[vinjectif⇔ ∃w∈L(E)/w◦v=IdE].
CorrectionH [005181]
Exercice 1108 ***
SoitE=R[X]leR-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
– Soit f : E → E
P 7→ P0
. fest-elle linéaire, injective, surjective ? Fournir un supplémentaire de Kerf.
– Mêmes questions avec g : E → E P 7→ R0xP(t)dt
.
CorrectionH [005182]
Exercice 1109 **T
Soient(ei)1≤i≤4la base canonique deR4etfl’endomorphisme deR4défini par :f(e1) =2e1+e3, f(e2) =−e2+e4,f(e3) =e1+2e3
etf(e4) =e2−e4. Déterminer Kerfet Imf.
CorrectionH [005187]
Exercice 1110 **I
SoientKun sous-corps deCetEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimensions finies surKetuetvdeux applications linéaires deE dansF. Montrer que : |rgu−rgv| ≤rg(u+v)≤rgu+rgv.
CorrectionH [005190]
Exercice 1111 ****
SoientKun sous-corps deCetEunK-espace vectoriel de dimension finien.
1. Montrer que, pour tout endomorphismefdeR2, on a :
(Kerf=Imf)⇔(f2=0 etn=2rgf)⇔(f2=0 et∃g∈L(E)/f◦g+g◦f=IdE).
2. On suppose Kerf=Imf. Montrer qu’il existe une base(u1, ...,up,v1, ...,vp)deEtelle que :
∀i∈ {1, ...,p}, f(ui) =0 et f(vi) =ui.
CorrectionH [005191]
Exercice 1112 ***I Le théorème des noyaux itérés
SoientKun sous-corps deC,EunK-espace vectoriel de dimension finienetf un endomorphisme deE non injectif. Pourkentier naturel donné, on poseNk=KerfketIk=Imfk(avec la convention f0=IdE).
1. Montrer que :∀k∈N,(Nk⊂Nk+1etIk+1⊂Ik).
2. (a) Montrer que :(∀k∈N,(Nk=Nk+1⇒Nk+1=Nk+2).
(b) Montrer que :∃p∈N/∀k∈N,(k<p⇒Nk6=Nk+1etk≥p⇒Nk=Nk+1).
(c) Montrer quep≤n.
3. Montrer que sik<p,Ik=Ik+1et sik≥p,Ik=Ik+1.
4. Montrer queE=Ip⊕Npet que finduit un automorphisme deIp.
5. Soitdk=dimIk. Montrer que la suite(dk−dk+1)k∈Nest décroissante (en d’autres termes la suite des images itéréesIkdécroît de moins en moins vite).
CorrectionH [005192]
Exercice 1113 ***I
SoientKun sous-corps deC,EunK-espace vectoriel de dimension quelconque surKet f un endomorphisme deE vérifiant f2− 5f+6IdE=0. Montrer queE=Ker(f−2Id)⊕Ker(f−3Id).
CorrectionH [005194]
Exercice 1114 ***
SoientEun espace de dimension finie etFetGdeux sous-espaces deE. Condition nécessaire et suffisante surFetGpour qu’il existe un endomorphisme fdeEtel queF=KerfetG=Imf.
CorrectionH [005582]
Exercice 1115 ***
SoientEun espace vectoriel non nul de dimension finie etf un endomorphisme deE. Montrer que :
1. (fnon injective)⇔(f=0 oufdiviseur de zéro à gauche).
2. (fnon surjective)⇔(f=0 oufdiviseur de zéro à droite).
CorrectionH [005583]
Exercice 1116 **I Noyaux itérés
SoientE un espace vectoriel et f un endomorphisme deE. Pourk∈N, on poseNk=Ker(fk)etIk=Im(fk)puisN= [
k∈N
Nket I= \
k∈N
Ik. (Nest le nilespace defetIle cœur def)
1. (a) Montrer que les suites(Nk)k∈Net(Ik)k∈Nsont respectivement croissante et décroissante pour l’inclusion.
(b) Montrer queNetIsont stables parf.
(c) Montrer que∀k∈N,(Nk=Nk+1)⇒(Nk+1=Nk+2).
2. On suppose de plus que dimE=nentier naturel non nul.
(a) SoitA={k∈N/Nk=Nk+1}etB={k∈N/Ik=Ik+1}. Montrer qu’il existe un entierp6ntel queA=B={k∈ N/k>p}.
(b) Montrer queE=Np⊕Ip.
(c) Montrer quef/Nest nilpotent et que f/I∈GL(I).
3. Trouver des exemples où (a) Aest vide etBest non vide, (b) Aest non vide etBest vide, (c) (****)AetBsont vides.
4. Pourk∈N, on posedk=dim(Ik). Montrer que la suite(dk−dk+1)k∈Nest décroissante.
CorrectionH [005586]
Exercice 1117 ***
SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels et fune application linéaire deEversF. 1. Montrer que[(∀g∈L(F,E), f◦g◦f=0⇒g=0)⇒fbijective].
2. On pose dimE=p, dimF=net rgf=r. Calculer la dimension de{g∈L(F,E)/f◦g◦f=0}.
CorrectionH [005601]
Exercice 1118 **I
SoitE=Kn[X].uest l’endomorphisme deEdéfini par :∀P∈E,u(P) =P(X+1)−P.
1. Déterminer Keruet Imu.
2. Déterminer explicitement une base dans laquelle la matrice deuest
SoientUetV deux ensembles non vides et fune application deUà valeurs dansV.Legraphede f est le sous-ensemble deU×V défini parGf ={(x,y)∈U×Vtels quey= f(x)}.
1. On suppose maintenant queUetVsont des espaces vectoriels. Rappeler la définition de la structure d’espace vectoriel deU×V.
2. Montrer qu’une partieHdeU×V est le graphe d’une application linéaire deUdansV si et seulement si les trois conditions qui suivent sont satisfaites :
i)La projection canoniqueH→Udéfinie par(x,y)7→xest surjective.
ii) Hest un sous-espace vectoriel deU×V.
iii) H∩({0U})×V) ={0U×V}.(0Uet 0U×V sont les éléments neutres respectifs deUetU×V.)
3. On identifieR4àR2×R2par l’isomorphisme(x,y,z,t)7→((x,y),(z,t)).Enoncer des conditions nécéssaires et suffisantes pour queEsoit le graphe d’une application linéaire deR2dans lui-même.
4. Montrer queEest le graphe d’une application linéaireϕdeR2dans lui-même. Déterminer sa matrice dans une base que l’on définira au préalabe.
[000966]
Exercice 1120 Projecteur et involution
SoitEun espace vectoriel ; on noteiEl’identité surE. Un endomorphismeudeEest unprojecteursiu◦u=u.
1. Montrer que siuest un projecteur alorsiE−uest un projecteur. Vérifier aussi que Imu={x∈E; u(x) =x}et queE=
4. Montrer que siuest un projecteur, 2u−iEest involutif et que tout endomorphisme involutif peut se mettre sous cette forme.
[000967]
1. SoitEun espace vectoriel de dimensionn. UnhyperplandeE est un sous-espace vectoriel de dimensionn−1. Montrer que l’intersection de deux hyperplans deEa une dimension supérieure ou égale àn−2. Montrer que, pour toutp≤n, l’intersection dephyperplans a une dimension supérieure ou égale àn−p.
2. Montrer que, pour toutn∈Net pour touty∈R, l’applicationeydeRn[X]à valeurs dansRdéfinie en posantey(P(X)) =P(y) ( i.e. l’applicationeyest l’évaluation eny) est linéaire. Calculer la dimension de son noyau.
3. Même question avec l’applicatione0ydeRn[X]à valeurs dansRdéfinie en posante0y(P(X)) =P0(y)(en désignant parP0le polynôme dérivé deP).