Exercice 853
Déterminer lesquels des ensemblesE1,E2,E3etE4sont des sous-espaces vectoriels deR3. Calculer leurs dimensions.
E1={(x,y,z)∈R3;x+y−z=x+y+z=0}. E2={(x,y,z)∈R3;x2−z2=0}.
E3={(x,y,z)∈R3;exey=0}. E4={(x,y,z)∈R3;z(x2+y2) =0}.
IndicationH CorrectionH [000886]
Exercice 854
SoitR∗+muni de la loi interne⊕définie para⊕b=ab,∀a,b∈R∗+ et de la loi externe⊗telle queλ⊗a=aλ,∀a∈R∗+,∀λ∈R.
Montrer queE= (R∗+,⊕,⊗)est unR-espace vectoriel. [000887]
Exercice 855
Parmi les ensembles suivants reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vectoriels.
E1=n
(x,y,z)∈R3;x+y+a=0,etx+3az=0o
E2={f∈F(R,R);f(1) =0}, E3={f∈F(R,R);f(0) =1} E4=
P∈Rn[X];P0=3 , E5=n
(x,y)∈R2;x+αy+1>0o .
IndicationH CorrectionH [000888]
Exercice 856
Parmi les ensembles suivants, reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vectoriels : E1={(x,y,z)∈R3/x+y=0}; E10={(x,y,z)∈R3/xy=0}.
E2={(x,y,z,t)∈R4/x=0,y=z}; E20={(x,y,z)∈R3/x=1}. E3={(x,y)∈R2/x2+xy≥0}; E30={(x,y)∈R2/x2+xy+y2≥0}. E4={f∈RR/f(1) =0}; E40={f∈RR/f(0) =1};
E4”={f∈RR/fest croissante}.
[000889]
Exercice 857
Déterminer siR2, muni des lois internes et externes suivantes, est ou n’est pas unR-espace vectoriel : 1. (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d);λ(a,b) = (a,λb),λ∈R.
2. (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d);λ(a,b) = (λ2a,λ2b),λ∈R. 3. (a,b) + (c,d) = (c,d);λ(a,b) = (λa,λb),λ∈R.
[000890]
Exercice 858
Dire si les objets suivants sont des espaces vectoriels :
1. L’ensemble des fonctions réelles sur[0,1], continues, positives ou nulles, pour l’addition et le produit par un réel.
2. L’ensemble des fonctions réelles surR vérifiant limx→+∞f(x) =0 pour les mêmes opérations.
3. L’ensemble des solutions(x1,x2,x3)du système :
2x1−x2+x3 = 0 x1−4x2+7x3 = 0 x1+3x2−6x3 = 0.
4. L’ensemble des fonctions continues sur[0,1]vérifiant f(1/2) =0.
5. L’ensembleR∗+pour les opérationsx⊕y=xyetλ·x=xλ,(λ∈R).
6. L’ensemble des fonctions impaires surR.
7. L’ensemble des fonctions sur[a,b]continues, vérifiantf(a) =7f(b) +Rabt3f(t)dt.
8. L’ensemble des fonctions surRqui sont nulle en 1 ou nulle en 4.
9. L’ensemble des fonctions surRqui peuvent s’écrire comme somme d’une fonction nulle en 1 et d’une fonction nulle en 4.
Identifier cet ensemble.
10. L’ensemble des polynômes de degré exactementn.
11. L’ensemble des fonctions de classeC2vérifiantf00+ω2f=0.
12. L’ensemble des fonctions surRtelles que f(3) =7.
13. L’ensemble des primitives de la fonctionxexsurR.
14. L’ensemble des nombres complexes d’argumentπ/4+kπ,(k∈Z).
15. L’ensemble des points(x,y)deR2, vérifiant sin(x+y) =0.
16. L’ensemble des vecteurs(x,y,z)deR3orthogonaux au vecteur(−1,3,−2).
17. L’ensemble des fonctions continues sur[0,1]vérifiantR01sinx f(x)dx=0.
18. L’ensemble des polynômes ne comportant pas de terme de degré 7.
19. L’ensemble des fonctions paires surR.
[000891]
Exercice 859
Montrer que l’ensembleE={f∈RR/(∃(a,ϕ)∈R2)(∀x∈R)f(x) =acos(x−ϕ)}est unR-espace vectoriel. [000892]
Exercice 860
SoitEun espace vectoriel (surRouC).
1. SoientFetGdeux sous-espaces deE. Montrer que
F∪Gest un sous-espace vectoriel deE⇐⇒F⊂GouG⊂F.
2. SoientHun troisième sous-espace vectoriel deE. Prouver que
G⊂F=⇒F∩(G+H) =G+ (F∩H).
IndicationH CorrectionH [000893]
Exercice 861
On munitR2de l’addition usuelle et de la loi externeλ(x,y) = (λx,y). Est-ce unR-espace vectoriel ? [000894]
Exercice 862 Montrer que
(x,y,z)∈R3/x+y+z=0 et 2x−y+3z=0 est un sous-espace vectoriel deR3. [000895]
Exercice 863 Montrer que
F={f∈C(R,R)|∃(A,φ)∈R2,∀x∈R,f(x) =Acos(x+φ)}
est un espace vectoriel. [000896]
Exercice 864
VRAIOUFAUX 1. L’ensemble{0}est un espace vectoriel réel.
2. L’ensemble{0,1}est un espace vectoriel réel.
3. Tout sous-espace vectoriel autre que{0}possède un sous-espace strict.
4. L’intersection de deux sous-espaces vectoriels (d’un même espace plus grand) est un espace vectoriel.
5. La réunion de deux sous-espaces vectoriels est un espace vectoriel.
6. La somme de deux sous-espaces vectoriels est un espace vectoriel.
7. Le produit cartésienE×Fde deux espaces vectoriels est un espace vectoriel.
[002425]
Exercice 865
On noteRnl’ensemble desn-uplets(x1, . . . ,xn)de nombres réels ;R[X]l’ensemble des polynômes à coefficients réels en la variable X ;R[X]ple sous-ensemble des polynômes de degré≤p;R(X)l’ensemble des fractions rationnelles à coefficients réels en la variable X ;R(X)ple sous-ensemble des fractions rationnelles de degré≤p;Ck(R)l’ensemble des fonctions réelles définies surRetkfois continûment dérivables (k≥0 entier) ;C∞(R)l’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables surR.
1. Dotés des opérations d’addition et de multiplication usuelles, lesquels de ces ensembles sont des espaces vectoriels ? 2. Montrer queR[X]p⊂R[X]⊂R(X)et queC∞(R)⊂Ck(R)⊂C0(R), et que ce sont des sous-espaces vectoriels.
3. Si l’on identifie les polynômes et les fractions rationnelles aux fonctions correspondantes, a-t-onR[X]⊂C∞(R)etR(X)⊂ C∞(R)?
[002427]
Exercice 866
SoitEun espace vectoriel de dimension finie,F,Gdeux sous-espaces deE. Montrer que dim(F+G) =dimF+dimG−dim(F∩G).
[002428]
Exercice 867
SoitE=R[X]n(polynômes de degré≤n), etP∈E.
1. Montrer que l’ensembleFPdes polynômes deEmultiples dePest un sous-espace vectoriel deE. Quelle en est la dimension en fonction du degré deP?
2. SoitQ∈Eun polynôme sans racine commune avecP, et tel que degP+degQ=n+1. Montrer queE=FP⊕FQ. 3. En déduire qu’il existe deux polynômesUetVtels queU P+V Q=1.
[002429]
Exercice 868
SoitEl’espace vectoriel des fonctions réelles indéfiniment dérivables à valeurs dansR. 1. Montrer que les quatre fonctions définies par
x1(t) =costcosht, x2(t) =sintcosht, x3(t) =costsinht, x4(t) =sintsinht appartiennent àEet sont linéairement indépendantes.
2. SoitFle sous-espace vectoriel deEengendré par ces quatres vecteurs, etul’endomorphisme deEdéfini paru(f) =f0. Montrer queFest stable paruet déterminer la matriceMdeudans la bae(x1,x2,x3,x4)deF.
3. CalculerMn.
[002447]
Exercice 869
1. En utilisant les opérations d’addition+et de multiplication·de deux nombres, définir, pour chaque ensembleE de la liste ci-dessous :
– une addition⊕ :E×E→E;
– une multiplication par un nombre réel :R×E→E.
(a) E=Rn;
(b) E=l’ensemble des trajectoires d’une particule ponctuelle dans l’espaceR3; (c) E=l’ensemble des solutions(x,y,z)∈R3 de l’équation S1 :x−2y+3z=0;
(d) E=l’ensemble des solutions(x,y,z)∈R3 du système d’équations.
S2 :
2x+4y−6z=0 y+z=0 ; (e) E=l’ensemble des solutions de l’équation différentielley00+2y0+3y=0 ; (f) E=l’ensemble des fonctionsy(x)telles que
y00(x)sinx+x3y0(x) +y(x)logx=0,∀x>0;
(g) E=l’ensemble des fonctionsΨ(t,x), à valeurs complexes, solutions de l’équation de Schrödinger : i¯h∂
∂tΨ(t,x) =− h¯ 2m
∂2
∂x2Ψ(x,t) +x2Ψ(t,x) où ¯hetmsont des constantes ;
(h) E= l’ensemble des suites(xn)n∈Nde nombres réels ; (i) E=l’ensemble des polynômesP(x)à coefficients réels ;
(j) E=l’ensemble des polynômesP(x)à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3 ; (k) E=l’ensemble des polynômesP(x)à coefficients réels divisibles par(x−1);
(l) E=l’ensemble des fonctions continues sur l’intervalle[0,1]à valeurs réelles ;
(m) E=l’ensemble des fonctions continues sur l’intervalle[0,1]à valeurs réelles et d’intégrale nulle ; (n) E=l’ensemble des fonctions dérivables sur l’intervalle]0,1[à valeurs réelles ;
(o) E=l’ensemble des fonctions réelles qui s’annulent en 0∈R.
(p) E=l’ensemble des fonctions réelles qui tendent vers 0 lorsquextend vers+∞;
2. Pour les opérations d’addition⊕construites, montrer queEpossède un élément neutre (terme à définir), et que chaque élément deEpossède un inverse.
[002778]
Exercice 870
Qu’est -ce qui empêche de définir les mêmes opérations que dans l’exercice précédent sur les ensembles suivants ? (a) E=l’ensemble des solutions(x,y,z)∈R3 de l’équation S3 :x−2y+3z=3 ;
(b) E=l’ensemble des fonctionsy(x)telles quey00(x)sinx+x3y2(x) +y(x)logx=0,∀x>0 ; (c) E=N;
(d) E=Z; (e) E=R+; (f) E=Qn;
(g) E= l’ensemble des suites(xn)n∈Nde nombres positifs ;
(h) E=l’ensemble des fonctions réelles qui prennent la valeur 1 en 0 ;
(i) E=l’ensemble des fonctions réelles qui tendent vers+∞lorsquextend vers+∞;
[002779]
Exercice 871 Somme de sous-espaces
SoientF,G,Htrois sous-espaces d’un espace vectorielE. ComparerF∩(G+ (F∩H))et(F∩G) + (F∩H).
CorrectionH [003298]
Exercice 872 F∩G=F0∩G0 SoientF,G,F0,G0des sev d’un evE.
Montrer que siF∩G=F0∩G0alors F+ (G∩F0)
∩ F+ (G∩G0)
=F.
CorrectionH [003299]
Exercice 873 En’est pas union de sous-espaces stricts
SoitEunK-ev non nul etF1, . . . ,Fndes sev stricts deE. On veut montrer queE6=F1∪ ··· ∪Fn: 1. Traiter le casn=2.
2. Cas général : on supposeFn6⊂F1∪ ··· ∪Fn−1et on choisit~x∈Fn\(F1∪ ··· ∪Fn−1)et~y∈/Fn. (a) Montrer que :∀λ∈K,λ~x+~y∈/Fn.
(b) Montrer que :∀i≤n−1, il existe au plus unλ∈Ktel queλ~x+~y∈Fi. (c) Conclure.
[003300]
Exercice 874 Intersection et somme de sev
SoitEun ev de dimension finie et(Fi)i∈Iune famille de sous-espaces deE.
On noteH=Ti∈IFietS=∑i∈IFi=vectS
i∈IFi
.
Montrer qu’il existe une partie finie,J, deItelle que :H=Ti∈JFietS=∑i∈JFi. [003323]
Exercice 875 *T
SoitEleR-espace vectoriel des applications de[0,1]dansR(muni de f+getλ.f usuels) (ne pas hésiter à redémontrer queEest un Respace vectoriel). SoitFl’ensemble des applications de[0,1]dansRvérifiant l’une des conditions suivantes :
1)f(0) +f(1) =0 2)f(0) =0 3)f(12) =14 4)∀x∈[0,1], f(x) +f(1−x) =0 5)∀x∈[0,1], f(x)≥0 6)2f(0) =f(1) +3
Dans quel casFest-il un sous-espace vectoriel deE?
CorrectionH [005164]
Exercice 876 **T
On munitRndes lois produit usuelles. Parmi les sous-ensembles suivantsFdeRn, lesquels sont des sous-espaces vectoriels ? 1)F={(x1, ...,xn)∈Rn/x1=0} 2)F={(x1, ...,xn)∈Rn/x1=1}
3)F={(x1, ...,xn)∈Rn/x1=x2} 4)F={(x1, ...,xn)∈Rn/x1+...+xn=0} 5)F={(x1, ...,xn)∈Rn/x1.x2=0}
CorrectionH [005165]
Exercice 877 **
SoitE unK-espace vectoriel. SoientA,BetCtrois sous-espaces vectoriels deEvérifiantA∩B=A∩C,A+B=A+CetB⊂C.
Montrer queB=C.
CorrectionH [005166]
Exercice 878 **T
SoitFle sous-espace vectoriel deR4engendré paru= (1,2,−5,3)etv= (2,−1,4,7). Déterminerλetµréels tels que(λ,µ,−37,−3) appartienne àF.
CorrectionH [005168]
Exercice 879 **T
Montrer quea= (1,2,3)etb= (2,−1,1)engendrent le même sous espace deR3quec= (1,0,1)etd= (0,1,1).
CorrectionH [005169]
Exercice 880 **
SoientEunK-espace vectoriel etA,BetCtrois sous-espaces deE. 1. Montrer que :(A∩B) + (A∩C)⊂A∩(B+C).
2. A-t-on toujours l’égalité ?
3. Montrer que :(A∩B) + (A∩C) =A∩(B+ (A∩C)).
CorrectionH [005172]
Exercice 881 **T
DansE=R4, on considèreV={(x,y,z,t)∈E/x−2y=0 ety−2z=0}etW={(x,y,z,t)∈E/x+z=y+t}. 1. Montrer queV etWsont des sous espaces vectoriels deE.
2. Donner une base deV,WetV∩W.
3. Montrer queE=V+W.
CorrectionH [005173]
Exercice 882 ***
Soit f : [0,+∞[×[0,2π[ → R2 (x,y) 7→ (xcosy,xsiny)
. 1. fest-elle injective ? surjective ?
2. Soienta,b,αetβquatre réels. Montrer qu’il existe(c,γ)∈R2tel que : ∀x∈R,acos(x−α) +bcos(x−β) =ccos(x−γ).
3. SoitEleR-espace vectoriel des applications deRdansR. SoitF={u∈E/∃(a,b,α,β)∈R4tel que∀x∈R,u(x) =acos(x− α) +bcos(2x−β)}. Montrer queFest un sous-espace vectoriel deE.
4. Déterminer{cosx,sinx,cos(2x),sin(2x),1,cos2x,sin2x} ∩F.
5. Montrer que(cosx,sinx,cos(2x),sin(2x))est une famille libre deF.
CorrectionH [005174]
Exercice 883 **
SoitCl’ensemble des applications deRdansR, croissantes surR. 1. Cest-il un espace vectoriel (pour les opérations usuelles) ?
2. Montrer queV={f∈RR/∃(g,h)∈C2tel quef=g−h}est unR-espace vectoriel.
CorrectionH [005175]
Exercice 884 **
Montrer que la commutativité de la loi+est une conséquence des autres axiomes de la structure d’espace vectoriel.
CorrectionH [005176]
Exercice 885 ***
SoientEunK-espace vectoriel etA,BetCtrois sous-espaces vectoriels deE. Montrer que (A∩B) + (B∩C) + (C∩A)⊂(A+B)∩(B+C)∩(C+A).
CorrectionH [005177]
Exercice 886 ** I
SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels d’un espace vectorielE.
Montrer que :[(F∪Gsous-espace deE)⇔(F⊂GouG⊂F)].
CorrectionH [005563]
Exercice 887 ****
Généralisation de l’exercice886. Soientnun entier supérieur ou égal à 2 puisF1, ... ,Fnnsous-espaces deE oùE est un espace vectoriel sur un sous-corpsKdeC. Montrer que
(F1∪...∪Fnsous-espace deE)⇔(il existei∈[[1,n]]/[
j6=i
Fj⊂Fi)
.
CorrectionH [005564]