Exercice 1307 Conjugaison
1. SoitP∈GLn(K). Montrer que l’applicationφP:Mn(K)→Mn(K),M7→P−1MPest un isomorphisme d’algèbre.
2. Soitφ:A= (ai j)7−→A0= (an+1−i,n+1−j).
(a) Montrer queφest un isomorphisme d’algèbre deMn(K).
(b) Trouver une matriceP∈GLn(K)telle queφ=φP.
dans une autre base. Donner la matrice de passage.
CorrectionH [003368]
Exercice 1309 Changement de base
. Montrer queAetBsont semblables.
(On chercheraPinversible telle quePB=AP)
CorrectionH [003401]
Exercice 1314 Ensi Physique P 1995 Les matrices
1. SiAetBsont inversibles, démontrer que com(AB) = (comA)(comB).
2. Démontrer le même résultat dans le cas général, en considérant les scalairesλ tels queA−λIetB−λIsoient inversibles.
3. En déduire que siAetBsont semblables, alors comAet comBle sont.
[003433]
Exercice 1316 Matrices réelles semblables sur(x2+1)
SoientA,B∈Mn(R)semblables sur(x2+1): Il existeP,Q∈Mn(R)telles que :
(P+iQ∈GLn((x2+1)) (P+iQ)A=B(P+iQ).
1. Montrer que :∀λ∈R,(P+λQ)A=B(P+λQ).
2. En déduire queAetBsont semblables surR.
[003577]
Exercice 1317 ***T
Soitul’endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique(i,j,k)deR3est :
M=
0 1 0
0 0 1
1 −3 3
.
1. Montrer queuest un automorphisme deR3et détermineru−1.
2. Déterminer une base(e1,e2,e3)deR3telle queu(e1) =e1,u(e2) =e1+e2etu(e3) =e2+e3. 3. DéterminerPla matrice de passage de(i,j,k)à(e1,e2,e3)ainsi queP−1.
4. En déduireun(i),un(j)etun(k)pournentier relatif.
CorrectionH [005259]
Exercice 1318 **
SoientM(a) =
4−a 1 −1
−6 −1−a 2
2 1 1−a
etN(a) =
1−a 1 0
0 1−a 0
0 0 2−a
.M(a)etN(a)sont-elles semblables ?
CorrectionH [005626]
Exercice 1319 ***I
SoientAetBdeux éléments deMn(R). Montrer que siAetBsont semblables dansMn(C), elles le sont dansMn(R).
CorrectionH [005627]
46 108.99 Autre
Exercice 1320
SoitAune matrice carrée qui commute avec toutes les matrices carrées. Montrer que c’est une matrice scalaire. [002434]
Exercice 1321
SoitAune matrice carrée.
1. Montrer queA2=Isi et seulement si(I−A)(I+A) =0. Montrer que dans ce casAest inversible.
2. Montrer que siAest idempotente (A2=A), alorsB=I−Al’est aussi et queAB=BA=0.
3. Montrer queIest la seule matrice idempotente inversible.
[002437]
Exercice 1322
Trouver toutes les matrices deM3(R)qui vérifient 1. M2=0 ;
2. M2=M; 3. M2=I.
[002475]
Exercice 1323
Un train qui ralentit avec une décélération constante met 20s pour parcourir le premier km et 30s pour parcourir le deuxième km. On veut calculer la distance qu’il devra parcourir pour parvenir à l’arrêt.
– En prenant pour origine la position initiale du train, écrire l’équation générale d’un mouvement uniformément décéléré.
– En déduire un système de deux équations dont les inconnues sont la décélération et la vitesse initiale du train, et résoudre ce système.
– Conclure.
[002693]
Exercice 1324 Quaternions
Montrer queC=
Exercice 1325 Centre deGLn(K)
On note(Ei j)la base canonique deMn(K).
Exercice 1326 Centre deGLn(K)
Soitf∈L(E)ayant même matrice dans toutes les bases deE. Montrer quefest une homothétie.
[003370]
Exercice 1327 Centre des matrices triangulaires unipotentes On noteG ={A= (ai j)∈Mn(K)tqai j=0 sii>jetaii=1}.
1. Montrer queG est un sous-groupe deGLn(K).
2. En utilisant la base canonique deMn(K), déterminer le centre deG, et montrer que c’est un groupe commutatif isomorphe à (K,+).
CorrectionH [003371]
Exercice 1328 ÉquationaX+ (trX)A=B
Soitα∈K, etA,B∈Mn(K). Étudier l’équation d’inconnueX∈Mn(K):αX+ (trX)A=B.
CorrectionH [003372]
Exercice 1329 Commutant d’une matrice diagonale
SoitA∈Mn(K)etCA={M∈Mn(K)tqAM=MA}(commutant de A).
1. Montrer queCAest une sous-algèbre deMn(K).
2. SoitA=diag(λ1,λ2, . . . ,λn)une matrice diagonale dont tous lesλisont distincts.
(a) ChercherCA.
(b) Soitφ:Mn(K)→Mn(K),M7→MA−AM
Montrer que Imφest l’ensemble des matrices à diagonale nulle.
[003373]
Exercice 1330 Matrices de trace nulle
SoitM∈Mn(K)non scalairetelle que trM=0.
1. Montrer qu’il existe une matrice colonneX1telle queMX1ne soit pas colinéaire àX1. 2. En déduire queMest semblable à une matriceN=
0 . . . ... M1
!
oùM1∈Mn−1(K)et trM1=0.
3. Montrer queMest semblable à une matrice à diagonale nulle.
4. Montrer qu’il existeA,B∈Mn(K)telles queM=AB−BA.
[003374]
Exercice 1331 Forme bilinéaire trace
1. SoitA∈Mn,p(K)non nulle. Montrer que l’application fA:Mp,n(K)→K,X7→tr(AX)est une forme linéaire non nulle sur Mp,n(K).
2. Réciproquement : Soitφ:Mp,n(K)→Kune forme linéaire quelconque. Montrer qu’il existe une unique matriceA∈Mn,p(K) telle queφ=fA(on pourra considérer l’applicationA7→ fA).
3. Soitφ:Mn(K)→Kune forme linéaire vérifiant :∀X,Y ∈Mn(K),φ(XY) =φ(Y X).
Montrer qu’il existeλ∈Ktel queφ=λtr.
[003375]
Exercice 1332 Matrices magiques
Une matrice carréeMest ditemagiquesi les sommes des coefficients deMpar ligne et par colonne sont constantes. On notes(M)leur valeur commune.
SoitU=
1 . . . 1
... ...
1 . . . 1
etM={matricesn×nmagiques}.
1. Montrer queMest une sous-algèbre deMn(K)ets:M→Kest un morphisme d’algèbre (calculerMUetU M).
2. SiMest magique inversible, montrer queM−1est aussi magique.
3. Montrer queM est la somme directe du sev des matrices magiques symétriques et du sev des matrices magiques antisymé-triques.
4. PourM∈Mn(K), on noteφMl’endomorphisme deKncanoniquement associé àM.
SoitH ={(x1, . . . ,xn)∈Kntqx1+···+xn=0}etK ={(x, . . . ,x)∈Kn}. (a) Montrer que :M∈M ⇐⇒H etK sont stables parφM.
(b) En déduire dim(M).
[003377]
Exercice 1333 Matrices triangulaires nilpotentes
1. SoitAune matrice triangulaire à diagonale nulle. Montrer queAest nilpotente.
2. SoitA∈Mn(K)une matrice nilpotente d’indicenetφl’endomorphisme deKnassocié.
On noteEi=Kerφi, et~eiun vecteur quelconque choisi dansEi\Ei−1(~e1∈E1\ {~0}).
(a) Justifier l’existence de~ei.
(b) Montrer que la famille(~ei)est une base deKn.
(c) En déduire queAest semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle.
[003378]
Exercice 1334 Matrice vérifiantAk=I
SoitA∈Mn(K)telle queAk=I(k6=0). On poseB=I+A+A2+···+Ak−1. Soientu,vles endomorphismes deKnmatricesAetB dans la base canonique.
1. Montrer que : Ker(u−id) =Imv, Im(u−id) =Kerv, Kerv⊕Imv=Kn. 2. En déduire : trB=krgB.
CorrectionH [003383]
Exercice 1335 A>0,X>0 etAkX=X
SoitA∈Mn,p(R). On dit queAest positive si tous ses coefficients sont strictement positifs.
SoitM∈Mn(R)positive. On suppose qu’il existeX∈Mn,1(R)positif etk∈N∗tels queMkX=X. Montrer qu’il existeY∈Mn,1(R)
positif tel queMY=Y. [003384]
Exercice 1336 Suite récurrente linéaire matricielle
SoientA,B∈Mn(K). Exprimer en fonction dekle terme général de la suite(Mk)de matrices deMn(K)définie par :
(M0est donnée, Mk+1=AMk+B.
CorrectionH [003385]
Exercice 1337 A,A2,A3données⇒Ap
SoitA∈Mn(K). On suppose qu’il existeλ,µ∈KetU,V∈Mn(K)tels que :
A=λU+µV A2=λ2U+µ2V A3=λ3U+µ3V.
1. Montrer que :∀p∈N∗,Ap=λpU+µpV(chercher une relation linéaire entreA,A2,A3).
2. On suppose iciλ6=µ,λ6=0 etµ6=0. SoitXun vecteur propre deA. Montrer queXest vecteur propre deUet deVavec les valeurs propres 0,0 ou 1,0, ou 0,1.
CorrectionH [003386]
Exercice 1338 Idéaux deMn(K)
Une partieI⊂Mn(K)est appeléeidéal à droite deMn(K)si c’est un sous-groupe additif vérifiant :
∀A∈I,∀B∈Mn(K),AB∈I.
Exercice 1339 Classes d’équivalence dansMn,1(Z)
1. SoitM∈Mn(Z). Montrer queM∈GLn(Z)si et seulement si|detM|=1.
Exercice 1340 Rayon spectral d’une matrice à coefficients positifs
SoitA= (ai j)∈Mn(R)avec :∀i,j,ai j>0. On munitMn,1(R)de la relation d’ordre :
2. Montrer que toutes les coordonnées deX0sont strictement positives.
3. On poseAX0=RX0+Y. Montrer queY=0.
4. Soitλune valeur propre complexe deA. Montrer que|λ| ≤R, et(|λ|=R)⇔(λ=R).
CorrectionH [003389]
Exercice 1341 INT ingénieurs 93
SoitE={matrices deMn(R)antisymétriques}etf:E→E,M7→tAM+MAoùA∈Mn(R).
1. Montrer quefest un endomorphisme.
2. Quelle est la trace def?
Montrer que pourM,N∈C(A)on a :M=N⇔MetNont la même dernière colonne.
1. Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.
2. Montrer que toute matrice triangulaire supérieure est semblable à une matirce triangulaire inférieure.
CorrectionH [005264]
1. Montrer que(E,+, .)est un sous-espace vectoriel deM2(R). Déterminer une base deEet sa dimension.
2. Montrer que(E,+,×)est un anneau commutatif.
3. Quels sont les inversibles deE?
4. Résoudre dansEles équations suivantes :
a)X2=I b)X2=0 c)X2=X.
5. Calculer(M(x,y))npournentier naturel non nul.
CorrectionH [005265]
Montrer l’existence d’au moins un couple(A,B)vérifiant les conditions de l’énoncé puis calculerBA. (Indication. Calculer(AB)2et utiliser le rang.)
Montrer que tout hyperplan deMn(K) (n≥2)contient au moins une matrice inversible.
CorrectionH [005270]
Exercice 1349 ***
Soit f qui, àP∈R2n[X]associe f(P) =X(X+1)P0−2kX P. Trouverktel que f∈L(R2n[X])puis, pour cette valeur dek, trouver
tous les polynômesPnon nuls tels que la famille(P,f(P))soit liée. [005271]
Exercice 1350 ***I
2. Question analogue pourMNen analysant précisément les formats de chaque matrice.
CorrectionH [005273]
etul’endomorphisme deC4de matriceAdans la base canonique deC4. 1. Déterminer une base deC4formée de vecteurs colinéaires à leurs images.
2. Ecrire les formules de changement de base correspondantes.
3. En déduire le calcul deAnpournentier naturel.
CorrectionH [005275]
. Justifier l’existence deAetBpuis calculerBA.
CorrectionH [005585] 1. Montrer que(E,+, .)est unR-espace vectoriel et préciser sa dimension.
2. Montrer que(E,+,×)est un anneau commutatif.
3. Quels sont les éléments inversibles de l’anneau(E,+,×)? 4. Résoudre dansEles équations :
(a) X2=I (b) X2=0 (c) X2=X.
5. Calculer(M(x,y))npournentier naturel etxetyréels.
CorrectionH [005608]
SoientAune matrice carrée de formatnetfl’application deMn(C)dans lui-même qui à une matriceMassocieMA. Trouver la matrice defdans la base canonique deMn(C)(ordonnée par l’ordre lexicographique).
CorrectionH [005621]
Exercice 1364 ***I
SoientAetBdeux matrices carrées de formatntelles queAB−BA=A. Calculer la trace deA2010.
CorrectionH [005625]
Exercice 1365 **I Exponentielle d’une matrice nilpotente PourAmatrice nilpotente donnée, on pose expA=∑+∞k=0A
k
k!.
1. Montrer que siAetBcommutent et sont nilpotentes alorsA+Best nilpotente et exp(A+B) =expA×expB.
2. Montrer que expAest inversible.
3. Calculer expAoùA=
3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel.