Solutions des exercices du Chapitre 7

Solutions des exercices du Chapitre 7

7.1 Soit X la variable al´eatoire qui vaut 1 lorsqu’on a pile et 0 dans le cas contraire. X est une variable al´eatoire de Bernoulli avec probabilit´e de succ`es ´egale `ap. La fonction de vraisemblance est donc:

L(p) = Π¹²_i=1P(X =x_i) =p⁶(1−p)⁶.

On cherche la valeur de p qui maximise cette fonction, ou de mani`ere ´equivalente, le maximum de ln(L) = 6 ln(p) + 6 ln(1−p). Le maximum est obtenu l`a o`u la d´eriv´ee est nulle, donc:

6

p − 6

(1−p) = 0 d’o`u p= 1/2.

7.2 Il s’agit de mettre en confrontation les quantiles de la distribution empirique et ceux de la distribution normale standard. Comme indiqu´e dans le cours (chap. 7, p. 15), les donn´ees ordonn´ees

x_[1] ≤x_[2] ≤. . .≤x_[n]

correspondent aux quantiles q_(k−0.5)/n, k = 1, . . . , n, de la distribution empirique. Soit zα

le quantileαde la distribution normale standard. Pour mettre les donn´ees en confrontation avec la distribution normale, on repr´esente sur un graphique les points (x_[k], z_(k−0.5)/n), k = 1, . . . ,5. On obtient les points suivants:

Donn´ees Quantiles de N(0,1) x_[1] = 159 z_(1−0.5)/5 =−1.28 x_[2] = 169 z_(2−0.5)/5 =−0.52 x_[3] = 173 z_(3−0.5)/5 = 0 x_[4] = 177 z_(4−0.5)/5= 0.52 x_[5] = 185 z_(5−0.5)/5= 1.28

NB: pour trouver les quantilesz_(k−0.5)/n `a l’aide d’une table, il convient de remarquer que z_1/10 =−z_9/10 et que z_3/10 =−z_7/10 (sym´etrie de la distribution normale).

On obtient le graphique ci-dessous:

160 165 170 175 180 185

−1.00.00.51.0

Données

Quantiles de N(0,1)

Les points sont assez bien align´es, le mod`ele normal est donc ad´equat pour approcher la distribution des donn´ees.

7.3 De fa¸con analogue `a l’exercice pr´ec´edent, on va confronter les observations num´ero k = 1, 11, 21, 31, 41, 51, 60, 70, 80, 90, 100 aux quantiles α<sub>k</sub> = (k−0.5)/n de la distribution normale standard. On obtient α<sub>k</sub> =0.005, 0.105, 0.205, 0.305, 0.405, 0.505, 0.595, 0.695, 0.795, 0.895, 0.995. En utilisant `a nouveau la propri´et´e de sym´etrie de la distribution normale, on obtient que z_0.005 = −z_0.995, et ainsi de suite pour chaque α_k inf´erieur `a 0.5 (z_α est le quantile d’ordre α de la distribution normale standard). On obtient finalement

`a l’aide de la table: z_αk = -2.57, -1.25, -0.82, -0.51, -0.24, 0.01, 0.24, 0.51, 0.82, 1.25, 2.57.

En repr´esentant les observations num´ero k en fonction des z_αk, on obtient les graphiques suivants pour les donn´ees et pour leurs logarithmes, respectivement:

−2 −1 0 1 2

0100030005000

Nombre d’étamines

Quantiles de N(0,1)

−2 −1 0 1 2

45678

log(Nombre d’étamines)

Quantiles de N(0,1)

On peut donc approcher la distribution du logarithme du nombre d’´etamines par la dis- tribution normale. Ce n’est pas le cas pour les nombres d’´etamines.

Avec toutes les donn´ees, on obtient les graphiques suivants:

−2 −1 0 1 2

0100030005000

Nombre d’étamines

Quantiles de N(0,1)

−2 −1 0 1 2

45678

log(Nombre d’étamines)

Quantiles de N(0,1)

Sur ces graphiques, on a repr´esent´e des droites qui passent par les premier et troisi`eme quartiles des donn´ees et de la normale standard. Les points sont bien align´es sur la droite pour les logarithmes mais pas pour les donn´ees non transform´ees.