Solutions aux exercices 7

Solutions aux exercices 7

cours d’introduction à la logique, printemps 2019, UniL, Philipp Blum

1. (6 points) Formalisez les trois arguments donnés.

Solution:

(a) Voici une formalisation :

Étant donné que l’embryon est une personne, il a droit à la vie. ⇝ p→q

Si l’embryon a droit à la vie, alors il est faux que ⇝ q→ ¬r

quelqu’un a le droit de le lui enlever.

Cependant, si l’avortement est moral, il y a quelqu’un ⇝ s→r

qui a le droit de lui enlever la vie.

Par conséquent, si l’embryon est une personne, l’avortement est immoral. ⇝ p→ ¬s Nous démontrons ainsi la validité de l’argument :

1 p→q, q→ ¬r, s→r ⊢ p→q prémisse

2 p→q, q→ ¬r, s→r ⊢ q→ ¬r prémisse

3 p→q, q→ ¬r, s→r ⊢ s→r prémisse

4 p→q, q→ ¬r, s→r, p ⊢^∗ p supposition

5 p→q, q→ ¬r, s→r, p ⊢^∗ q de (1) et (4) parMP 6 p→q, q→ ¬r, s→r, p ⊢^∗ ¬r de (2) et (4) parMP 7 p→q, q→ ¬r, s→r, p ⊢^∗ ¬s de (3) et (6) parMT 8 p→q, q→ ¬r, s→r ⊢ p→ ¬s de (4) et (7) parPC (b) Voici une formalisation :

Si l’existence de Dieu était probable, alors la proposition qu’Il existe ⇝ p→q

est une proposition empirique.

Si tel est le cas, alors il serait possible de l’ajouter à d’autres propositions ⇝ q→r

empiriques pour en déduire des conclusions qui ne sont pas déductibles de ces autres propositions empiriques seules.

Or cela n’est en fait pas possible. ⇝ ¬r

Il n’est donc pas le cas que l’existence de Dieu est probable. ⇝ ¬p Il s’agit de deux applications dumodus tollens:

1 p→q, q→r,¬r ⊢ p→q prémisse

2 p→q, q→r,¬r ⊢ q→r prémisse

3 p→q, q→r,¬r ⊢ ¬r prémisse

4 p→q, q→r,¬r ⊢ ¬q de (2) et (3) parMT

5 p→q, q→r,¬r ⊢ ¬p de (1) et (3) parMT

(c) Pour formaliser l’argument, et tenant compte de la remarque, nous mettons :

Si je crois en Dieu, alors s’Il existe, je gagne, ⇝ p→((q→r)∧(¬q→ ¬s))

et s’Il n’existe pas, alors je ne perds pas.

Si, à l’inverse, je ne crois pas en Dieu, alors, s’Il existe, ⇝ ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r))

je perds, et s’Il n’existe pas, alors je ne gagne pas.

De ceci il s’ensuit que si je crois, alors je gagnerai ou je ne perdrai pas, ⇝ p→(r∨ ¬s)

tandis que si je ne crois pas, alors je perdrai ou je ne gagnera pas ⇝ ¬p→(s∨ ¬r) La déduction a deux parties : la première conclusion s’ensuit de la première prémisse, et la deuxième conclusion s’ensuit de la deuxième prémisse.

1 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)) ⊢p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)) prémisse

2 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)), p ⊢^∗p supposition

3 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)), p ⊢^∗(q→r)∧(¬q→ ¬s) de (1) et (2) avec (MP 4 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)), p ⊢^∗q→r de (3) par∧E

5 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)), p ⊢^∗¬q→ ¬s de (3) par∧E

6 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)), p, q ⊢^∗q supposition

7 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)), p, q ⊢^∗r de (4) et (6) par (MP)

8 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)), p, q ⊢^∗r∨ ¬s de (7) par (∨I) 9 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)), p ⊢^∗q→(r∨ ¬s) de (6) et (8) par (PC) 10 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)), p,¬q ⊢^∗¬q supposition

11 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)), p,¬q ⊢^∗¬s de (5) et (10) par (MP) 12 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)), p,¬q ⊢^∗r∨ ¬s de (11) par (∨I) 13 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)), p ⊢^∗¬q→(r∨ ¬s) de (6) et (8) par (PC) 14 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)), p,¬(r∨ ¬s) ⊢^∗¬(r∨ ¬s) supposition

15 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)), p,¬(r∨ ¬s) ⊢^∗¬q de (9) et (14) par (MT) 16 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)), p,¬(r∨ ¬s) ⊢^∗¬¬q de (13) et (14) par (MT) 17 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)), p ⊢^∗¬¬(r∨ ¬s) de (14), (15) et (16) par (RAA)

18 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)), p ⊢^∗r∨ ¬s de (18) par (DN)

19 p→((q→r)∧(¬q→ ¬s)) ⊢p→(r∨ ¬s) de (2) et (18) par (PC) Le deuxième raisonnement se fait en substituant «¬p» à «p» et en changeant «s» en

«r» et vice versa.

1 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)) ⊢ ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)) prémisse 2 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)),¬p ⊢^∗¬p supposition

3 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)),¬p ⊢^∗(q→s)∧(¬q→ ¬r) de (1) et (2) par (MP 4 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)),¬p ⊢^∗q→s de (3) par∧E 5 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)),¬p ⊢^∗¬q→ ¬r de (3) par∧E 6 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)),¬p, q ⊢^∗q supposition

7 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)),¬p, q ⊢^∗s de (4) et (6) par (MP)

8 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)),¬p, q ⊢^∗s∨ ¬r de (7) par (∨I) 9 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)),¬p ⊢^∗q→(s∨ ¬r) de (6) et (8) par (PC)

10 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)),¬p,¬q ⊢^∗¬q supposition

11 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)),¬p,¬q ⊢^∗¬r de (5) et (10) par (MP) 12 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)),¬p,¬q ⊢^∗s∨ ¬r de (11) par (∨I) 13 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)),¬p ⊢^∗¬q→(s∨ ¬r) de (6) et (8) par (PC) 14 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)),¬p,¬(s∨ ¬r) ⊢^∗¬(s∨ ¬r) supposition

15 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)),¬p,¬(s∨ ¬r) ⊢^∗¬q de (9) et (14) par (MT) 16 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)),¬p,¬(s∨ ¬r) ⊢^∗¬¬q de (13) et (14) par (MT) 17 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)),¬p ⊢^∗¬¬(s∨ ¬r) de (14), (15) et (16) par (RAA) 18 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)),¬p ⊢^∗s∨ ¬r de (18) par (DN)

19 ¬p→((q→s)∧(¬q→ ¬r)) ⊢ ¬p→(s∨ ¬r) de (2) et (18) par (PC)

2. (2 points) Vérifiez au moyen de tables de vérité si les formules données sont des tautologies : Solution:

(a) «p→ ¬¬p» est une tautologie :

p ¬p ¬¬p p→ ¬¬p

V F V V

F V F V

(b) «(p→(q∧r))↔((p→q)∧(p→r))» est une tautologie :

p q r q∧r p→(q∧r) p→q p→r (p→q)∧(p→r) (p→(q∧r))↔ ((p→q)∧(p→r))

V V V V V V V V V

V V F F F V F F V

V F V F F F V F V

V F F F F F F F V

F V V V V V V V V

F V F F V V V V V

F F V F V V V V V

F F F F V V V V V

(c) «¬(¬p→q)↔(p∧ ¬q)» n’est pas une tautologie :

p q ¬p ¬p→q ¬(¬p→q) ¬q p∧ ¬q ¬(¬p→q)↔(p∧ ¬q)

V V F V F F F V

V F F V F V V F

F V V V F F F V

F F V F V V F F

(d) «(p→ ¬p)↔ ¬p» est une tautologie :

p ¬p p→ ¬p (p→ ¬p)↔ ¬p

V F F V

F V V V

3. (2 points) Raisonnement sur les boîtes (encore de Smullyan,The Riddle of Scheherazade).

(1) SiB est vide, alors la probabilité que le prix est dansAest 1/2.

(2) SiCest vide, alors la probabilité que le prix est dansAest1/2.

(3) SoitB est vide, soitCest vide.

(4) Alors la probabilité que le prix est dansAest1/2.

Solution: Malgré leurs apparances grammaticales, (1) et (2) ne sont pas des implications matérielles.¹Plutôt, il s’agit d’affirmation deprobabilité conditionnelle:

(1’) Dans la moitié des cas oùB est vide, le prix est dansA.

(2’) Dans la moitié des cas oùC est vide, le prix est dansA.

Nous pouvons rajouter, pour parler de six cas équi-probables :

(3’) Dans les deux moitiés des cas oùAest vide, le prix n’est pas dansA.

(3’) Dans deux de six cas équiprobables, le prix est dansA(la probabilité est de1/3).

1. C’est la formulation choisie par Smullyan. Il serait plus prudent de dire : si nous interprétons la phrase (1) comme implication matérielle, donc comme équivalente à « soitBn’est pas vide, soit la probabilité que le prix est dansAn’est pas1/2», cette phrase est vraie grâce audeuxièmedisjoint, ce qui n’est pas l’interprétation voulue.

La difficulté vient du fait que la probabilité conditionnelle, qui est réellement la probabilité d’un conditionnel (d’une implication), est formulé de manière comme si l’assertion de pro- babilité ne figurait que dans le conséquent. Nous retrouvons ce phénomène assez souvent en langue naturelle :

paris conditionnels « Si tu joues un autre jeu, je paris que tu gagneras » ne veut pas dire que je ne fais un pari seulement si tu joues, mais que je paris que si tu joues, tu gagneras ; au moins en principe, tu pourrais gagner ce pari en ne jouant pas.

promesse conditionnel « Si tu me fais confiance, je te promèts que je ne te decevrai pas » fais une promesse même si tu ne me fais pas confiance ; je te donne un choix entre le manque de confiance et l’attente de non-déception.

insulte conditionnelle « S’il ne rend pas les exercices, l’idiot qu’il est manquera l’examen » insulte le pauvre tout court, peu importe si oui ou non il rend ces exercises ; il est appelé un idiot pour le fait qu’il ne réussira l’examen seulement s’il fait les exercices (nous nous demandons comment le locuteur pense réussir à passer l’examen).

(Premier point supplémentaire) Il ne s’agit pas ici de la question comment les possibilités en question sont spécifiées (comme dans la question 7 de la série 4), mais on oublie que les probabilités sont calculées sur toutes les possibilités, même celles incompatible avec ce que l’on sait. Pour voir ceci, comparons l’argument donné avec un raisonnement similaire, mais formulé un peu différemment :

(1”) SiB est vide, le prix est soit dansAsoit dansC.

(2”) SiCest vide, le prix est soit dansAsoit dans B.

Même si un des deux antécédents doit être vrai, tout ce que nous en obtenons et ladisjonction

« soit le prix est dansA, soit dansC, soit dansA, soit dansB», ce qui se réduit à la disjonction initiale « Soit le prix est dansA, soit dansB, soit dansC». Pour en calculer les probabilités, il faudrait rajouter comme troisième cas :

(3”) SiAest vide, le prix est soit dansB soit dansC.

(Deuxième point supplémentaire) Il semble possible de reformuler le problème sous forme MP:

(A)

si le prix n’est pas dansB ni dans C, alors il est dansA le prix n’est pas dansB

si le prix n’est pas dansC, alors il est dansA

4. (2 points) Par la méthode des arbres, prouvez les séquents donnés.Solution :

(a) Pour montrer que la formule «(p→ ¬r)∧q , q →((p∧r)∨((r→ ¬p)→r))⊢r» est vraie, faisons l’arbre pour la négation de l’implication correspondante :

✓ ¬((((p→ ¬r)∧q)∧(q→((p∧r)∨((r→ ¬p)→r)))→r)

✓ ((p→ ¬r)∧q)∧(q→((p∧r)∨((r→ ¬p)→r))

¬r

✓ (p→ ¬r)∧q

✓ q→((p∧r)∨((r→ ¬p)→r))

✓ p→ ¬r) q

AA AA

¬q

▽

✓(p∧r)∨((r→ ¬p)→r) AA

AA

✓p∧r

p r

▽

✓(r→ ¬p)→r AA

AA

✓¬(r→ ¬ p) r

▽

¬¬rp

▽ (b) Un arbre pour «¬(p↔q)↔(p↔ ¬q)» :

✓ ¬(¬(p↔q)↔(p↔ ¬q))

@@

✓ ¬(p↔q) @

✓ ¬(p↔ ¬q) ✓¬¬(p↔q)

✓ p↔ ¬q

✓p↔q AA

AA p

¬q ¬p

q A

AAA p

q ¬p

¬q BB

BB

BB BB

¬p q

▽

¬p

✓¬¬q

q

▽

¬p q

▽

¬p

✓¬¬q

q

▽ BB

BB p

✓¬¬q ¬p

¬q

▽ BB

BB p

✓¬¬q¬p

¬q

▽ q

▽

q

▽

5. (2 points) Si ψ est une tautologie, alors ⌜ϕ → ψ⌝ en est une également. Montrez que la converse est fausse, c’est-à-dire qu’il n’est pas vrai en général que : si ⌜ϕ → ψ⌝ est une tautologie, alorsψest également une tautologie.

Solution : Il y a plusieurs possibilités de montrer que ⌜ϕ→ ψ⌝ peut être une tautologie même siψn’en est pas une :

• Par exemple : Soit ψ la phrase « Il pleut » et ϕ la phrase « Il pleut et il pleut » (=

⌜ϕ∧ϕ⌝). Alors ⌜ϕ → ψ⌝ est la phrase « S’il pleut et il pleut alors il pleut » et une tautologie, mais « Il pleut » n’en est pas une.

• Par instantiation :⌜ϕ→ϕ⌝, par exemple, est une tautologie, mais ϕne l’est normale- ment pas.

• Par raisonnement : Nous voyons dans la table de vérité pour « → » qu’une phrase conditionnelle peut être vraie même si l’antécédent est faux (à condition que le consé- quent le soit aussi). Mais il y a beaucoup de tautologies de forme conditionnelle avec un conséquent faux. Il suffit d’en mentionner une.

• Par preuve : s’il était vraie que si ⌜ϕ→ ψ⌝ ne pourrait pas être une tautologie, sans que ψ en soit aussi une, alors ⌜(ϕ → ψ) →ψ⌝ serait également une tautologie. Mais nous pouvons montrer par une table de vérité que cela n’est pas le cas :

ϕ ψ ⌜ϕ→ψ⌝ ⌜(ϕ→ψ)→ψ⌝

V V V V

V F F V

F V V V

F F V F

6. (6 points) Par la méthode de la déduction naturelle, prouvez les propositions données.

Solution: Un erreur fréquent est de ne pas distinguer entre∧Eet∨E. La première règle est simple et nous permet d’inférer «p» et «q» à partir de «p∧q». La deuxième est différente : s’il était permis d’inférer «p» et « q » à partir de « p∨q », on pourrait tout conclure de tout, en passant de «p» à «p∨q» (par∨I) et après à «q» !

(a) Il s’agit d’une introduction de la conjonction :

1 p, p→q, p→r ⊢ p prémisse

2 p, p→q, p→r ⊢ p→q prémisse

3 p, p→q, p→r ⊢ p→r prémisse

4 p, p→q, p→r ⊢ q de (1) et (2) par (MP)

5 p, p→q, p→r ⊢ r de (2) et (3) par (MP)

6 p, p→q, p→r ⊢ q∧r de (4) et (5) par (∧I)

(b) Toute implication matérielle ayant un faux antécédent peut être prouvée :

1 ¬p∧q ⊢ ¬p∧q prémisse

2 ¬p∧q, p ⊢^∗ p supposition

3 ¬p∧q, p,¬r ⊢^∗ ¬r supposition

4 ¬p∧q, p,¬r ⊢^∗ ¬p de (1) par (∧E)

5 ¬p∧q, p ⊢^∗ ¬¬r de (3), (2) et (4) par (RAA)

6 ¬p∧q, p ⊢^∗ r de (5) par (DN)

7 ¬p∧q ⊢ p→r de (2) et (6) par (PC)

(c) Pour montrer que «p∨p» implique formellement «p» :

1 p∨p ⊢ p∨p prémisse

2 p∨p, p ⊢^∗ p supposition

3 p∨p, p ⊢^∗ p supposition

4 p∨p ⊢ p de (1), (2) et (3) par (∨E)

(d) Voici une preuve du théorème «(p→q)→(p→(q∨r)» :

1 p→q ⊢^∗ p→q supposition

2 p→q, p ⊢^∗ p supposition

3 p→q, p ⊢^∗ q de (1) et (2) par (MP)

4 p→q, p ⊢^∗ q∨r de (3) par (∨I)

5 p→q ⊢^∗ p→(q∨r) de (2) et (4) par (PC)

6 ⊢ (p→q)→(p→(q∨r) de (1) et (5) par (PC)

(e) Voici une preuve de «p→(¬¬p→q),¬q⊢ ¬p» :

1 p→(¬¬p→q),¬q ⊢ prémisse

2 p→(¬¬p→q),¬q ⊢ prémisse

3 p→(¬¬p→q),¬q, p ⊢^∗ p supposition

4 p→(¬¬p→q),¬q, p ⊢^∗ ¬¬p→q de (1) et (3) par (MP)

5 p→(¬¬p→q),¬q, p ⊢^∗ ¬¬¬p de (4) et (2) par (MT)

6 p→(¬¬p→q),¬q, p ⊢^∗ ¬p de (5) par (DN)

7 p→(¬¬p→q),¬q ⊢ ¬p de (3), (3) et (6) par (RAA)

(f) Voici une preuve de «p→ ¬p⊢ ¬p» :

1 p→ ¬p ⊢ p→ ¬p prémisse

2 p→ ¬p, p ⊢^∗ p supposition

3 p→ ¬p, p ⊢^∗ ¬p de (1) et (2) par (MP)

4 p→ ¬p ⊢ ¬p de (2), (2) et (3) par (RAA)