Solutions des exercices du Chapitre 10
10.1
(a) Soit p la probabilit´e que la tartine tombe sur la face avec la confiture.
H0: p= 0.5,
H1: p >0.5 (loi de Murphy).
Le test est unilat´eral.
(b) ˆp= 540/1000 = 0.54, z = (ˆp−p0)/p
p0q0/n= (0.54−0.50)/p
0.5×0.5/1000,= 2.52982.
z1−α =z0.95 = 1.645.
Il faut donc rejeter H0 et accepter cette loi de Murphy (H1) au niveau de 5%.
(c) Borne inf´erieure = ˆp−z1−α/2
ppˆˆq/n= 0.50911, Borne sup´erieure = ˆp+z1−α/2
ppˆˆq/n= 0.57089.
10.2 (a) Soit
p1 = probabilit´e que la tartine tombe sur la face tartin´ee sur le terrain de basket, p2 = probabilit´e que la tartine tombe sur la face tartin´ee sur le tapis de Perse.
H0: p1 =p2,
H1: p1 < p2 (loi de Murphy).
Le test est unilat´eral.
(b) ˆp1 = 220/400, ˆp2 = 350/600, ˆ
p= (220 + 350)/1000 = 570/1000, z = (ˆp1−pˆ2)/p
ˆ
pˆq(1/n1+ 1/n2) =−1.04307, z1−α =z0.95 = 1.645
Comme −1.04307>−1.645, il faut acceper H0 et rejeter cette loi de Murphy.
10.3
(a) Soit p la proportion de lecteurs qui lisent les annonces publicitaires.
H0: p= 0.5, H1: p6= 0.5.
Le test est bilat´eral.
ˆ
p= 40/100, z = (ˆp−p0)/p
p0q0/n= (0.4−0.50)/p
0.5×0.5/100 =−2, zα/2 =z0.005=−2.57 etz1−α/2 =z0.995= 2.57
Comme −2.57<−2<2.57, il faut accepter H0. (b) Borne inf´erieure = ˆp−z1−α/2
ppˆˆq/n= 0.274 Borne sup´erieure = ˆp+z1−α/2
ppˆˆq/n= 0.526.
10.4 On a
H0 : La pr´esence ou l’absence d’une n´evrose est ind´ependante du mode de vie
H1 : La pr´esence ou l’absence d’une n´evrose n’est pas ind´ependante du mode de vie.
On a donc un test bilat´eral.
On calcule la statistique
z2 = 260·(40·60−100·60)2
140·120·100·160 = 12.53.
Comme 12.53 > 6.63 = χ21,0.99 (voir table de la distribution χ2 `a 1 degr´e de libert´e), l’hypoth`ese de non associationH0 peut ˆetre rejet´ee au niveau 1%.
N.B.: Cette formule n’est utilisable que pour un test bilat´eral. En effet, la statistique z2 est une mesure du carr´e de la diff´erence de proportion de n´evros´es parmi les gens qui vivent seuls et ceux qui vivent en famille. Le signe de cette diff´erence n’apparaˆıt donc pas.
Si on posait la question: ”Est-ce que la proportion de n´evros´es est plus grande chez les gens qui vivent seuls que chez ceux qui vivent en famille?”, il faudrait faire un test unilat´eral, comme dans l’exercice 2. On devrait alors utiliser la statistique
z = (100/160−40/100) ppˆ·(1−p)ˆ ·(1/100 + 1/160) avec ˆp= (40 + 100)/(100 + 160).
On obtient z = 3.54. Comme 3.54>2.326 =z0.99 (voir table de la distribution de Gauss), on rejette l`a aussi l’hypoth`eseH0 au niveau 1% et on admet l’hypoth`ese alternative
H1′ : La proportion de n´evros´es est sup´erieure chez les gens qui vivent seuls.
Question subsidiaire: on peut aussi tester H0 contre H1 (test bilat´eral, premier cas ci- dessus) en utilisant z au lieu de z2. Comment faut-il faire?
