Antilles Guyane 2012. Enseignement spécifique

(1)

Antilles Guyane 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 2 : corrigé 1) Graphique.

1 2

−1

−2

−3

1 2

−1

−2

−3

b

b b b

b

A

B

C C^′

J

K

E O

2) a) b

a = −2−i

−1+2i = i(−1+2i)

−1+2i =i.

b)On en déduit que b a

=|i|=1et arg

b

a

=arg(i) =arg cosπ

2

+isinπ 2

= π

2 [2π].

c)−−→ OA,−→

OB

=−−→ OA,→−

u +−→

u ,−→ OB

= −−→ u ,−−→

OA +−→

u ,−→ OB

= −arg(a) +arg(b) =arg

b

a

[2π].

d) b a

= |b|

|a| = OB

OA et puisque b a

=1, on en déduit queOA=OB. Donc, le triangleOAB est isocèle enO.

Puisque−−→ OA,−→

OB

=arg

b

a

= π

2 [2π], le triangleOAB est rectangle enO.

Finalement

le triangleOAB est isocèle rectangle enO.

3) a)

c^′= −3+i+1−2i

−3+i+2+i = −2−i

−1+2i= b a =i.

Le pointC^′=f(C)a donc pour coordonnées(0, 1).

b)SoitMun point du plan distinct de Bd’affixez.

|z^′|=1⇔ |z+1−2i|

|z+2+i| =1⇔|z− (−1+2i)|=|z− (−2−i)|(etz6= −2−i)

⇔AM=BM(etM6=B)

⇔AM=BM(car siM=B, alorsAM6=BM)

⇔M∈med[AB].

(2)

L’ensembleE est la médiatrice du segment[AB].

c)|zO^′|=

1−2i 2+i

= b a

=1. DoncO∈E.

|c^′|=|i|=1. DoncC∈E.

Puisque E est une droite,E est la droite(OC).

4)•zJ= −iz_A= −i(−1+2i) =2+i etzK=izC=i(−3+i) = −1−3i. Donc le pointJa pour coordonnées(2, 1)et le pointKa pour coordonnées(−1,−3).

• Le milieuL du segment[JK]a pour affixezL= zJ+zK

2 = 2+i−1−3i

2 = 1

2−i. Donc le pointLa pour coordonnées

1 2,−1

.

• La médiane issue deOdu triangleOJKest la droite (OL). Les coordonnées du vecteur −→ OLsont

1

2,−1

et les coordonnées du vecteur−→

ACsont(−3− (−1), 1−2)ou encore(−2,−1).

−→ OL.−→

AC= 1

2×(−2) + (−1)×(−1) =0.

Par suite, les vecteurs−→ OLet −→

ACsont orthogonaux ou encore la droite(OL)est perpendiculaire à la droite(AC).

Ainsi, la droite(OL)est également la hauteur issue deOdu triangleOAC.