Liban 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On considère la suite de nombres complexes(zn)définie parz0=√
3−iet pour tout entier natureln:
zn+1= (1+i)zn. Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Pour tout entier natureln, on poseun=|zn|.
1)Calculeru0.
2)Démontrer que(un)est la suite géométrique de raison√
2 et de premier terme2.
3)Pour tout entier naturel n, exprimerun en fonction de n.
4)Déterminer la limite de la suite(un).
5)Etant donné un réel positifp, on souhaite déterminer, à l’aide d’un algorithme, la plus petite valeur de l’entier naturelntelle queun> p.
Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l’entiern.
Variables : uest un réel pest un réel nest un entier
Initialisation : Affecter ànla valeur0 Affecter àula valeur2 Demander la valeur dep
Traitement :
Sortie :
Partie B
1)Déterminer la forme algébrique z1.
2)Déterminer la forme exponentielle de z0et1+i.
En déduire la forme exponentielle de z1.
3)Déduire des questions précédentes la valeur exacte de cos!π 12
"
.
http ://www.maths-france.fr 1 ⃝c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
Liban 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé Partie A
1)u0=|z0|=!
!
!
√3−i!
!
!=
"
#√ 3$2
+ (−1)2=2.
u0=2.
2)Soitnun entier naturel.
un+1=|zn+1|=|1+i|×|zn|=%
12+12un =√ 2 un. Donc
la suite(un)n∈N est la suite géométrique de premier termeu0=2 et de raisonq=√ 2.
3)On en déduit que pour tout entier natureln,un=u0×qn=2#√ 2$n
. Pour tout entier natureln,un=2#√
2$n
.
4)Puisque√
2 > 1, on sait que lim
n→+∞
#√ 2$n
= +∞. Puisque2 > 0, on a alors lim
n→+∞un = lim
n→+∞2#√ 2$n
= +∞.
n→+∞lim un = +∞.
5) Algorithme complété.
Variables : uest un réel pest un réel nest un entier
Initialisation : Affecter ànla valeur0 Affecter àula valeur2 Demander la valeur dep Traitement : Tant que u!p
Affecter àula valeur√ 2×u Affecter ànla valeurn+1 Fin de Tant que
Sortie : Afficher la variablen
Partie B
1)z1= (1+i)#√ 3−i$
=√
3−i+i√
3+1=#√ 3+1$
+i#√ 3−1$
. z1=#√
3+1$ +i#√
3−1$ .
2)|z0|=u0=2puis
z0=2
&√ 3 2 −1
2i '
=2# cos#
−π 6
$+isin#
−π 6
$$=2e−iπ/6.
De même,
1+i=√ 2
( 1
√2 + 1
√2i )
=√ 2#
cos#π 4
$
+isin#π 4
$$
=√ 2eiπ/4.
Par suite,z1= (1+i)z0=√
2eiπ/4×2e−iπ/6=2√
2ei(π4−π6) =2√ 2ei12π.
http ://www.maths-france.fr 1 ⃝c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
z1=2√ 2ei12π. 3)Des deux questions précédentes, on déduit
2√
2cos#π 12
$+2√
2sin#π 12
$ i=#√
3+1$ +i#√
3−1$ . En identifiant les parties réelles, on obtient2√
2cos#π 12
$=√
3+1 ou encore
cos#π 12
$=
√3+1 2√
2 =
√6+√ 2
4 .
http ://www.maths-france.fr 2 ⃝c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
