EXERCICE 2 (5 points ) (Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

EXERCICE 2 (5 points )

(Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O, − → u , − → v ) d’unité 1 cm.

1. Restitution organisée de connaissances

Pour M # = Ω, on rappelle que le point M

est l’image du point M par la rotation r de centre Ω et d’angle de mesure θ si et seulement si :

! ΩM

= ΩM (1)

" −−→ ΩM , −−→

ΩM

#

= θ à 2kπ près (k ∈ Z ) (2) a) Soient z, z

et ω les affixes respectives des points M , M

et Ω.

Traduire les relations (1) et (2) en termes de modules et d’arguments.

b) En déduire l’expression de z

en fonction de z, θ et ω.

2. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation : z

− 4 √

3z + 16 = 0.

On donnera les solutions sous forme algébrique.

3. Soient A et B les points d’affixes respectives a = 2 √

3 − 2i et b = 2 √ 3 + 2i.

a) Ecrire a et b sous forme exponentielle.

b) Faire une figure et placer les points A et B.

c) Montrer que OAB est un triangle équilatéral.

4. Soit C le point d’affixe c = − 8 i et D son image par la rotation de centre O d’angle 2 π 3 . Placer les points C et D.

Montrer que l’affixe du point D est d = 4 √ 3 + 4 i .

5. Montrer que D est l’image du point B par une homothétie de centre O dont on déterminera le rapport.

6. Montrer que OAD est un triangle rectangle.

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EXERCICE 2

1. Restitution organisée de connaissances

a)SoitMun point du plan distinct deΩ. L’égalité (1) montre queM^! est distinct deΩpuis que

!

!

!

! z^!−ω

z−ω

!

!

!

!

= ΩM^! ΩM =1.

D’autre part, l’égalité fournit arg

"

z^!−ω z−ω

#

=$−−→ ΩM,−−−→

ΩM^!%

=θ[2π].

b)SoitMun point du plan distinct deΩ. La question précédente montre que z^!−ω

z−ω est le nombre complexe de module 1et d’argument θ. Par suite, z^!−ω

z−ω =e^iθ ou encorez^!−ω=e^iθ(z−ω)ou enfin z^! =ω+e^iθ(z−ω). Cette dernière égalité reste vraie quandz=ωcar dans ce cas z^!=z=ω. Finalement

pour tout nombre complexez,z^!=ω+e^iθ(z−ω).

2. On note(E)l’équation proposée. Le discriminant de cette équation est

∆= (−4√

3)²−4×16=3×16−4×16= −16= (4i)². L’équation(E)admet donc deux solutions non réelles conjuguées à savoirz1= 4√

3−4i 2 =2√

3−2ietz2=z1=2√ 3+2i.

Les solutions dansCde l’équationz²−4√

3z+16=0sontz1=2√

3−2iet z2=z1=2√ 3+2i.

3. a)|a|=|2√

3−2i|=

&

$ 2√

3%2

+ (−2)²=√

16=4puis

a=4 '√

3 2 − 1

2i (

=4$ cos$

−π 6

%+isin$

−π 6

%%=4e^−iπ6,

puisb=a=4e^iπ6.

a=4e^−iπ6 et b=a=4e^iπ6. b)Voir figure à la fin de l’exercice.

c)On a déjàOA=|a|=4etOB=|b|=4. Ensuite,AB=|b−a|=|4i|=4. DoncOA=OB=ABet le triangleOABest équilatéral.

4. L’expression complexe de la rotation de centreOet d’angle 2π

3 estz^!=e^i2π3 z= '

−1 2+i

√3 2

(

z. Donc

zD= '

−1 2 +i

√3 2

(

(−8i) =4i+4√ 3=4√

3+4i.

5. En particulier,z_D=2z_B et donc

Dest l’image deBpar l’homothétie de centreOet de rapport2.

6. BD= 1

2OD=OBet doncBD=BO=BA. Par suite, le pointAest sur le cercle de diamètre[OD](etBest le centre de ce cercle). On sait alors que

le triangleOADest rectangle enA.

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1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1 1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

B

A

D

C O

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