La forme EXPONENTIELLE

(1)

Réalisé par : Sébastien Lachance

MATHS 3 ^E SECONDAIRE

La forme

EXPONENTIELLE

(2)

 Un peu de VOCABULAIRE…

MATHS 3 ^E SECONDAIRE

- La forme EXPONENTIELLE -

base

^exposant

= puissance

2

⁴

= 16

(3)

 Lois des EXPOSANTS

MATHS 3 ^E SECONDAIRE

- La forme EXPONENTIELLE -

L’EXPOSANT indique le nombre de fois qu’on multiplie la BASE par elle-même.

LOI

#

1

(4)

LOI

#

1

2

⁴

= 2 x 2 x 2 x 2 = 16 (-7)

³

=

-7 x -7 x -7 = 2401 5

³

x 8

⁴

=

5 x 8 x 8 x 8 x 5 x 5 x 8 = 2 560 000

(5)

LOI

#

1

2

⁴

=

x

^y ^ou

y

^x ^ou

^

2 ^y

^x

4 = 16

Calculatrice

(6)

2

⁵

2

²

• 2

³

=

Lorsqu’on

x

des bases identiques, on

+

^les

exposants.

LOI

#

2

+

a

^m

• a

ⁿ

= a

^{m + n}

Exemples

a)

2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2

⁵

(7)

x

⁸

x

³

• x

⁵

=

Lorsqu’on

x

+

^les

exposants.

LOI

#

2

+

a

^m

• a

ⁿ

= a

^{m + n}

Exemples

b)

x • x • x • x • x • x • x • x = x

⁸

(8)

a

⁸

a • a

⁷

=

Exercices dirigés

a)

1,25

¹⁴

1,25

²

• 1,25

¹²

=

b)

x

²

• y

³

x

²

• y

³

=

c)

(x + 7)

⁹

(x + 7)

⁵

• (x + 7)

⁴

=

d)

6

⁶

• 5

²

6

⁶

• 5

²

=

e)

(9)

2

³

2

⁵

 2

²

=

Lorsqu’on





^les

exposants.

LOI

#

3



a

^m

 a

ⁿ

= a

^{m  n}

Exemples

a)

2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2

= 2

³

(10)

a

²

a

⁷

 a

⁵

=

Lorsqu’on





^les

exposants.

LOI

#

3



a

^m

 a

ⁿ

= a

^{m  n}

Exemples

b)

a x a x a x a x a x a x a

a x a x a x a x a = a

²

(11)

LOI

#

4 _a

⁰

_{= 1}

Démonstration

4 4 = 1 mais aussi 4

⁰

en soustrayant les exposants donc 4

⁰

= 1

x

⁰

= 1

Exemples

a)

10

⁰

= 1

b)

(x – 17)

⁰

= 1

c)

(12)

LOI

#

5 a

^-1

= 1

Lorsqu’un exposant est négatif, on le rend positif en inversant la base.

a

¹

x

⁰

= 1

Exemples

a)

(13)

5

^-3

=

Exemples

a) 1

5

³

=

b) x

⁴

x

⁴

 3

²

3

^-2

c) 2 = x

-7

x

2

7

(14)

Exemples

d) x

⁴

=

x

⁶

x  x  x  x

x  x  x  x  x  x x      x 1

= 1 1 1

= 1 x

²

= x

^-2

= 1 x

²

OU

(15)

Attention !

(-5)

^-3

= 1 -5

3

= -1 5

3

(16)

LOI

#

6 ( a

^m

)

ⁿ

= a

^{m x n}

Exemples

a) ( 5

³

)

²

= 5

⁶

b) ( (-7)

⁴

)

³

= (-7)

¹²

c) ( (x

^-1

)

⁴

)

^-2

= ( x

^-4

)

^-2

= x

⁸

(17)

LOI

#

7 ( ab )

^m

= a

^m

b

^m

Exemples

a) ( 2 x 3 )

⁵

= 2

⁵

x 3

⁵

b) ( x y

²

)

³

= x

³

y

⁶

c) ( 4 + 7 )

²

= ( 4 + 7 )

²

≠ 4

²

+ 7

²

(18)

LOI

#

8 _a

b

m

= a

^m

b

^m

Exemples

a) 2

3

4

= 2

⁴

3

⁴

b) xy

2

6

= (xy)

⁶

2

⁶

= x

⁶

y

⁶

2

⁶

(19)

 EXPOSANTS fractionnaires

MATHS 3 ^E SECONDAIRE

- La forme EXPONENTIELLE -

8

1

3

= = 2

Vocabulaire

Radical

8

3

Indice

Radicande

Racine

(20)

8

1

3

= = 2

Sens

8

3

Signifie : Quel nombre multiplié 3 fois donne 8 ? Réponse : C’est le nombre 2 car

2 x 2 x 2 donne 8

(21)

8

1

3

= = 2

Calculatrice

8

3

y

^x

8 ( 1  2 ) ⁼

(22)

8

1

3

= = 2

Calculatrice

8

3

3 y

^X

8 ⁼

(23)

LOI

#

9 a

m

=

n

a

n m

Exemples

a) 2

8

=

3

2

3 8

b) x

3

=

2

x

³

c) 7

4

=

5

7

5 4

(24)

LOI

#

9 a

m

=

n

a

n m

Exercices

a)

2

6 3

8 =

3 2

Réécrire comme la puissance d’un nombre premier.

(2 ³ )

3 2

=

= 2

3 6

2

²

=

(25)

LOI

#

9 a

m

=

n

a

n m

Exercices

b)

3

4 2

81 =

Réécrire comme la puissance d’un nombre premier.

3

⁴

=

3

²

=

(26)

LOI

#

10 a ^x b = a b

Exemples

a) 4 x 9 = 36

= 6

b) x ² x x = x ³

3 3 3

(27)

LOI

#

10 a ^x b = a b

Exemples

c) 2 x 7

3 5

Aucune loi ne s’applique

(28)

LOI

#

11 =

a b

Exemples

a)

=

20 5

= 4

= 2

(29)

LOI

#

11 =

a b

Exemples

b)

=

125 5

= 25

= 5

(30)

 Notation SCIENTIFIQUE

MATHS 3 ^E SECONDAIRE

- La forme EXPONENTIELLE -

Utilité

Sert à représenter des nombres très grands ou très petits.

Exemple : La distance entre la Terre et le Soleil est de 1,496 x 10⁸ km.

(31)

Conversion IL FAUT…

MULTIPLIER par le nombre exponentiel 10^?.

DÉPLACER la virgule entre le 1^er et le 2^e nombre de gauche (sauf 0). La nouvelle valeur du nombre est comprise entre 0 et 10.

ET…

VOICI CE QUI SE PASSE :

23 643 = 23 643,0

= 2,3643 x 10

⁴

( x 10 000 )

(32)

Exemples

a)

Écrire les nombres ci-dessous en notation scientifique ou en notation décimale, selon le cas.

349 = 349,0

= 3,49 x 10

²

b) 5 003 781 = 5 003 781,0

= 5,003781 x 10

⁶

( x 100 )

( x 1 000 000 )

(33)

Exemples

c)

Écrire les nombres ci-dessous en notation scientifique ou en notation décimale, selon le cas.

0,0107 = 0,0107

= 1,07 x 10

^-2

( x 0,01 )

d) 0,00000034 = 0,00000034

= 3,4 x 10

^-7

( x 0,0000001 )

(34)

Principaux noms

= 10^-4

= 10⁹

= 10⁶

= 10⁵

= 10⁴

= 10³

= 10²

= 10¹

= 10⁰

= 10^-1

= 10^-2

= 10^-3

G : giga M : méga



^{: micro}

= 10^-6

n : nano 0,01

0, 001 0, 000 1 1

1 000 000 000 1 000 000

100 000 10 000 1 000

100 10

0,1

0, 000 001

0, 000 000 001 = 10^-9

k : kilo da : déca

h : hecto

d : déci c : centi m : milli

(35)

OPÉRATIONS : x et



IL FAUT…

MULTIPLIER / DIVISER les nombres exponentiels 10^? en respectant les lois des exposants.

MULTIPLIER / DIVISER les nombres qui accompagnent les bases 10.

ET…

2 x 10

³

x 5 x 10

²

10 x 10

⁵

(36)

Exemples

a) 2 x 10

⁴

x 3 x 10

⁶

= 6 x 10

¹⁰

b) 1,5 x 10

²

x 3 x 10

⁵

= 4,5 x 10

⁷

c) 2,5 x 10

⁵

x 10 x 10

⁶

= 12,5 x 10

¹¹

Ce n’est pas écrit en notation

scientifique !

= 1,25 x 10

¹²

d) 4,8 x 10

⁴

x -3,4 x 10

⁵

= -16,32 x 10

⁹

= -1,632 x 10

¹⁰

(37)

Exemples

d) 2,4 x 10

⁶

x 3 x 10

^-4

= 7,2 x 10

²

e) 12 x 10

⁶

÷ 2 x 10

²

= 6 x 10

⁴

f) 48 x 10

¹⁰

÷ 4 x 10

³

= 12 x 10

⁷

= 1,2 x 10

⁸

g) 8 x 10

⁷

÷ 5 x 10

^-3

= 1,6 x 10

¹⁰

(38)

OPÉRATIONS : + et

–

IL FAUT…

Réécrire les nombre avec la même puissance de 10.

4 x 10

⁵

+ 2 x 10

³

4 x 10

⁵

+ 0,02 x 10

⁵

4,02 x 10

⁵

ADDITIONNER / SOUSTRAIRE les nombres qui accompagnent les bases 10.

ET…

CONSERVER le nombre exponentiels 10^?.

(39)

Exemples

a) 3 x 10

⁶

+ 1,5 x 10

⁴

= 3 x 10

⁶

+ 0,015 x 10

⁶

= 3,015 x 10

⁶

b) 1,6 x 10

⁴

– 5,2 x 10

⁶

= 0,016 x 10

⁶

– 5,2 x 10

⁶

= - 5,184 x 10

⁶

(40)

Conversion d’UNITÉS IL FAUT…

MULTIPLIER / DIVISER par 10 pour chaque unité franchie.

1,25 x 10

⁵

km = ? m

km hm dam m dm cm mm

Donc, X 1 000 ou 10³

1,25 x 10

⁵

x 10

³

km = 1,25 x 10

⁸

km

par 10 pour chaque unité franchie.

(41)

VOICI UN AUTRE EXEMPLE :

3,2 x 10

⁹

m

³

= ? cm

³

km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ par 1 000 pour chaque unité franchie.

Donc, X 1 000 000 ou 10⁶

3,2 x 10

⁹

x 10

⁶

m

³

= 3,2 x 10

¹⁵

cm

³

(42)

2,7 x 10

¹²

m

²

= ? hm

²

Exercice

km² hm² dam² m² dm² cm² mm² par 100 pour chaque unité franchie.

Donc, ÷ 10 000 ou 10⁴

2,7 x 10

¹²

 10

⁴

m

²

= 2,7 x 10

⁸

hm

²

La forme EXPONENTIELLE

MATHS 3 E SECONDAIRE

La forme

EXPONENTIELLE

 Un peu de VOCABULAIRE…

MATHS 3 E SECONDAIRE

- La forme EXPONENTIELLE -

base

= puissance

2

= 16

 Lois des EXPOSANTS

MATHS 3 E SECONDAIRE

- La forme EXPONENTIELLE -

LOI

1

LOI

1

2

= 2 x 2 x 2 x 2 = 16 (-7)

=

-7 x -7 x -7 = 2401 5

x 8

=

5 x 8 x 8 x 8 x 5 x 5 x 8 = 2 560 000

LOI

1

2

=

x

y

^

2 y

4 = 16

2

2

• 2

=

x

+

LOI

2

a

• a

= a

a)

2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2

x

x

• x

=

x

+

LOI

2

a

• a

= a

b)

x • x • x • x • x • x • x • x = x

a

a • a

=

a)

1,25

1,25

• 1,25

=

b)

x

• y

x

• y

=

c)

(x + 7)

(x + 7)

• (x + 7)

=

d)

MATHS 3 ^E SECONDAIRE

MATHS 3 ^E SECONDAIRE

MATHS 3 ^E SECONDAIRE

2 ^y

4 _a

_{= 1}