Equations et inéquations avec "ln"

Mme LE DUFF Mathématiques Terminale pro

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Fiche méthode 5 : Terminale. Résolution d’équations et inéquations faisant intervenir « ln ».

Méthode :

Faire apparaître la fonction ln une fois dans chaque membre. Pour cela on peut utiliser les formules :

) ln( ) ln( ) ln( 1 ) ln( 0 ) 1 ln( ab b a e = + = =

Simplifier les deux membres en utilisant : b

a ln

ln = a=b ou lna >lnb a >b Résoudre l’équation ou inéquation obtenue (ln n’intervient plus).

Vérifier que cette solution convient (la fonction ln est définie uniquement pour des valeurs strictement positives).

Exemple 1 :

Résoudre les équations suivantes :

a) ln(4x)=ln(x+6) b) ln(2x+1)=ln(x−3) c) ln

(

2x−7

)

=0 Résolution : a) ln(4x)=ln(x+6) 4x=x+6 4x−x=6 3x=6 3 6 = x x=2 0 10 6 4 0 8 2 4 > = + > = ×

donc 2 est bien la solution.

b) ln(2x+1)+ln(5)=ln(x−4) ln

(

(

2x+1

)

×5

)

=ln(x−4) ln

(

10x+5

)

=ln(x−4) 10x+5= x−4 5 4 10x−x=− − 9x=−9 9 9 − = x x=−1 0 5 4 1 0 1 1 2 1 ) 1 ( 2 < − = − − < − = + − = + − ×

donc cette solution ne convient pas, il n’y a pas de solution.

c) ln

(

2x−7

)

=0 ln

(

2x−7

)

=ln(1) 2x−7=1 2x=1+7 2x=8 2 8 = x x=4 0 1 7 4

2× − = > donc 4 est bien la solution. Exemple 2 : Résoudre l’inéquation ln

(

x+4

)

≥1. Résolution : ln

(

x+4

)

≥1 ln

(

x+4

)

≥ln(e) x+4≥e x≥e−4 0 4 4+ = > − e