$– ∞$ $+ ∞$ lim v $L$$+ ∞$$– ∞$$L'$ Propriété n°2 : somme de limites u > A a A= ........ u A n n > n .....1 1 n > n u > A A n Démonstration : →+∞ lim u =+∞ Cours n°3 – Opérations sur les limitesIV) Opérations sur les limitesPropriété n°1

1/3 - Chap.

Cours n°3 – Opérations sur les limites IV) Opérations sur les limites

Propriété n°1 Si lim

n

→+∞ u

= +∞ et u

≠0 à partir d'un certain rang, alors lim

n

→+∞

1 u

=... . Si lim

n

→+∞ u

= −∞ et u

≠0 à partir d'un certain rang, alors lim

n

→+∞

1 u

=... .

Démonstration : Si lim

n

→+∞ u

= +∞ , quelque soit le nombre A positif choisi, il existe n

tel que, quelque soit n>n

, u

> A .

Donc, il existe n

tel que, quelque soit n>n

, 1 u

... 1

A ^.

Donc, si l'on choisit un nombre quelconque a , il suffit de prendre A= ^....

.... : il y aura un rang à partir duquel u

> A (à cause de ...…….….) , et donc à partir

duquel 1

u

.... 1 A ^soit

1 u

< a .

Donc lim

n

→+∞

1 u

=0 .

Propriété n°2 : somme de limites lim

n→∞

u

→ lim

n→∞

v

$L$ $+ ∞$ $– ∞$

$L'$ ^{... ... ...}

$+ ∞$ ^{... ... ...}

$– ∞$ ^{... ... ...}

1/3

2/3 - Chap.

Propriété n°3 : produit de limites : étude de lim

n→∞

(u

×v

) lim

u

→

lim

n→∞

v

$L<0$ $L>0$ $L=0$ $+ ∞$ $– ∞$

$L'<0$ ^{... ... ... ... ...}

$L'>0$ ^{... ... ... ... ...}

$L'=0$ ^{... ... ... ... ...}

$+ ∞$ ^{... ... ... ... ...}

$– ∞$ ^{... ... ... ... ...}

Propriété n°4 : quotient de limites

On suppose que pour tout entier naturel n ^, v

est différent de zéro . On étudie lim

n→∞

u

v

lim

n→∞

u

→ lim

n→∞

v

$L<0$ $L>0$ $L=0$ $+ ∞$ $– ∞$

$L'<0$ ^{... ... ... ... ...}

$L'>0$ ^{... ... ... ... ...}

$L'=0$ ^{... ... ... ... ...}

$+ ∞$ ^{... ... ... ... ...}

$– ∞$ ^{... ... ... ... ...}

Exemple n°5 :

Soit u

= –2n

– 5n . Déterminer lim

n

→+∞ u

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…... ...

...

Exemple n°6 :

Soit v

= –2n

+ 5n . Déterminer lim

n

→+∞ v

...

…...

…...

2/3

3/3 - Chap.

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...…

Exemple n°7 : Soit w

= ⁿ

^{– 1}

n . Déterminer lim

n

→+∞ w

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...…

3/3