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u u u a 1 = q = = q C n − u − ⋅ 1 u 1 − 2n + (1 ⋅ u u i1 + i) () () n ≥ ≥ 2 2 n uun + 11 −− quq 1 n 1 2

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Mathématique 5ème - Révisions

Chapitre 4 - Suites

Formulaire - Suites

Suites arithmétiques Suites géométriques un+1 = un + r

un=u1+(n–1)r et un=um+(n–m)r

Sn =

un+1 = q un

un = u1 qn-1……et…… un = um qm-1

Sn = =

Intérêts simples Intérêts composés

Ct = C0.(1 + i.t) It = C0 . i . t

Cn = C0 (1 + i)n

In = Cn - C0 = C0. [ (1 + i)n -1 ]

Annuités et mensualités - Amortissement

n a calculés sur le annuité-intérêts capital restant dû

capital restant dû-amortissement Toutes les unités étant en €, sauf évidemment les périodes ! un =un−1+un+1

2

(

n≥2

)

1

2 u un

n +

un = un−1⋅un+1

( )

n≥2

1

1 1

qn

u q

u1 qn−1 q−1

a=C⋅ i 1−(1+i)−n

(2)

Suites arithmétiques et géométriques

1) Soit la suite (un) est une suite arithmétique de raison r.

a) On donne : u5 = 8, r = 3. Calculer u1, u20 et u101. b) On donne : u3 = 23, u8 = 7. Calculer r, u5 et u10. c) On donne : u7 = 4/3, u13 =17/9. Calculer u1.

2) Soit la suite (un) définie par un = 7 − 3n.

a) Calculer u1 et u2.

b) Démontre que (un) est une suite arithmétique et déterminer la raison de la suite ? c) Quelle est la valeur du 51ème terme ?

d) Calcule la somme des 51 premiers termes ?

3) Trouve la valeur de u1 de la suite dont la raison r est égale à 14 et u23 = 54.

4) Calcule la somme des entiers naturel entre 1000 et 10000.

5) Soit la suite arithmétique (un) de raison r dont on connait 2 termes u100 = 90 et u1000 = 900.

a) Calcule la raison r et u1.

b) Calcule la somme de u100 à u1000.

6) Soit (un) une suite géométrique telle que u1 = 7 et sa raison est égale à 3.

a) Calcule u9.

b) Calculer la somme S = u1 + u2 + ... + u9.

7) Détermine le nombre a tel que les 3 nombres suivant : 7, a et 8 soient les termes consécutifs d'une suite géométrique.

8) Calculer le 10ème terme et le 35ème terme de la suite géométrique de premier terme u1 = 0,9 et de raison q = 2.

9) Calculer la raison positive d'une suite géométrique dont on connait les termes suivant :

(3)

10) Un étudiant loue une chambre pour 3 ans. On lui propose deux types de bail.

1er contrat : un loyer de 200 euros pour le premier mois puis une augmentation de 5 euros par mois jusqu'à la fin du bail.

2ème contrat : un loyer de 200 euros pour le premier mois puis une augmentation de 2% par mois jusqu'à la fin du bail.

a) Calcule, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois (c'est-à-dire du 36ème mois).

b) Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de 3 ans ? (Justifie à l'aide de calculs)

11) La population actuelle augmente de 1% par an. En 2010, elle était de 6,9 milliards. On note un la population mondiale l'année 2010+n.

a) Expliquer pourquoi la suite un est géométrique. Précise sa raison.

b) Exprimer un en fonction de n.

c) En supposant que le taux d'accroissement se maintienne, estimer la population mondiale en 2025.

d) A l'aide de la calculatrice, estimer en quelle année les 9 milliards d'habitants seront atteints.

Intérêts simples

1) Un capital de 17504 € est placé à intérêts simples au taux annuel de 3% pendant 45 jours.

Calcule le montant de l'intérêt.

2) Un capital de 15300 € est placé à intérêts simples à 3,5 % pendant n jours. Le montant de l'intérêt est 59, 5 €. Calcule la durée du placement, exprimée en jours.

3) Un capital placé à intérêts simples au taux de 4,5% par an pendant 145 jours a rapporté un intérêt de 17,68 €. Calcule le montant de ce capital.

4) Un capital de 2200€ est placé à intérêts simples 2,75% pendant 7 mois. Calcule l'intérêt simple rapporté.

5) Quel est le taux d'intérêt correspondant à un capital de 25500€, donnant un intérêt simple de 750 € pendant 10 mois ?

6)Quelle est la durée d'un placement à intérêt simple de 5800€, au taux annuel de 4%, donnant un intérêt de 20€ ?

(4)

Intérêts composés

1) Détermine la valeur acquise d’un capital de 6000 € placé au taux annuel de 2,2 % pendant 10 ans.

2)Un capital de 10000 € est placé à intérêts composés. Après 7 ans, la valeur acquise est de 12467 €. Quel est le taux d'intérêt annuel ?

3) Quelle somme faut-il placer à un taux d’intérêt annuel de 1,9 % pour obtenir un capital de 3000€ dans 5 ans ?

4) Combien de temps faut-il placer la somme de 7500 € au taux annuel de 2,15 %, pour obtenir 8521 € ?

5) Il y a 5 ans, ta marraine (sans te le dire) a placée une somme au taux annuel de 2,3 %.

Elle t’affirme aujourd’hui que dans 10 ans, tu pourras toucher 8564 €. Détermine : a) la valeur de la somme placée par ta marraine ;

b) la valeur actuelle de cette somme.

6)Combien de temps faut-il pour doubler son placement si le taux d’intérêt est de 2,6 % ?

Amortissements

Le 1er janvier, tu contractes un emprunt de 3000€ auprès de ta banque. Le remboursement se fera chaque mois pendant 6 mois au taux mensuel de 3,4%.

Réalise le tableau d’amortissement de ton emprunt.

(5)

Chapitre 5 – Asymptotes et limites

1. Calcule les limites demandées après avoir vérifié que la limite soit possible.

1) lim!→!!!!²!!!!!!!! = 8) lim!→!!!!!!!²!!! = 2) lim!→!!

!

!"!!!

!!!! = 9) lim!→±!!!²!!!!!!!! =

3) lim!→!!²!!!!! = 10) lim!→!!!²!!!!!!!!! = 4) lim!→±!!²!!!!!

!!! = 11) lim!→!

!

!

!!!!

! =

5) lim!→!!!!!!!²!!!!! = 12) lim!→±!!!!!!!²!!!!!!!!!! = 6) lim!→!!!!²!!!!!!!! = 13) lim!→!!!²!!!!!!²!!! = 7) lim !→!

!

!!!!

!!²!!! =

2. Recherche toutes les asymptotes au graphique des fonctions f(x) et esquisse le graphique quand il y a des asymptotes.

1) 𝑓 𝑥 =!!!²!!!!!!!²!!!!! 4) 𝑓 𝑥 =!!!!²!!!

2) 𝑓 𝑥 =!!!!!²!!

!²!!!! 5) 𝑓 𝑥 =!²!!!!!

!!!

3) 𝑓 𝑥 =!²!!!!² 6) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1+!!!!

3. Invente l’expression d’une fonction dont le graphique admet les asymptotes données.

1) 𝐴𝑉≡ 𝑥=−1 𝑒𝑡 𝐴𝐻≡𝑦 =0 2) 𝐴𝑉≡ 𝑥=−2 𝑒𝑡 𝐴𝑂≡𝑦 =2𝑥−1

3) 𝐴𝑉≡ 𝑥=1,𝐴𝑉≡𝑥 =3 𝑒𝑡 𝐴𝐻≡ 𝑦= 3 2

4. Trace le graphique d’une fonction f répondant aux conditions suivantes : 1) 𝑑𝑜𝑚𝑓 =𝑅 ⋱ −4;1 5) lim!→!!𝑓(𝑥)=+∞ 2) 𝑓 −2 = 1 6) lim!→!!𝑓(𝑥)=3 3) 𝑓 3 =−1 7) lim!→!!𝑓(𝑥)=−2 4) lim!→!!𝑓(𝑥)=0 8) 𝑢𝑛 𝑠𝑒𝑢𝑙 𝑧é𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑥= 5

(6)

5. Observe le graphique donné et complète les limites de fonctions.

1) lim!→!𝑓(𝑥) = 2) lim!→!!!𝑓(𝑥)= 3) lim!→!!!𝑓(𝑥)= 4) lim!→!!𝑓(𝑥)= 5) lim!→!!𝑓(𝑥)= 6) lim!→!𝑓(𝑥) = 7) lim!→!!𝑓(𝑥)=

8) lim!→!!𝑓(𝑥)= 9) lim!→!𝑓(𝑥) =

6. Traduis les situations suivantes en termes de limite et écris les équations des asymptotes.

(7)

Solutions – Chapitre 4

Suites arithmétiques et géométriques

1) a) u1 = − 4 ; u20 = 53 et u101 = 296.

b) r = −16/5 ; u5 = 83/5 et u10 = 3/5.

c) r = 5/54 et u1 = 7/9.

2) a) u1 = 4 et u2 = 1.

b) Montrons que un − un−1 est constant pour tout n supérieur ou égal à 1 : un − un−1 = 7 − 3n − ( 7 − 3(n−1)) = − 3n + 3n − 3 = − 3.

La suite est suite arithmétique dont la raison vaut −3.

c) u51 = - 146.

d) S51 = - 3621.

3) u1 = − 254.

4) S = 49505500.

5) a) r = 9/10 et u1 = 9/10. b) 445995.

6) a) u9 = 45927 b) S= 68887 7) a = ±2 14

8) u10 = 460,8 et u35 = 1,55.1010. 9) q = 2

10) a) 1er : u1 = 200 et r = 5, u36 = 375 €. 2ème : u1 = 200 et q = 1,02, u36 = 399,98 €.

b) Le contrat 1 car : 1er contrat : S36 = 10350 € et 2ème contrat : S36 = 10398,87 €.

11) a) un+1 = un + 1/100 . un = un . (1 + 1/100). La raison q = 1,01.

b) un = u1. 1,01n c) u15 = 8,01 milliards d) 26-27 ans (26,7 ans) Intérêts simples

1) 64,74 € 2) 41 jours 3) 989 € 4) 35,29 € 5) 3,5 % 6) 31 jours

Intérêts composés 1) 7458,65 € 2) 3,2%

3) 2730,55 € 4) 6 ans.

5) a) 6088,95 € b) 6822,14 € 6) 27 ans

Amortissements

(8)

Solutions – chapitre 5

Exercice 1

1)+∞ à 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑡−∞ à 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒 8)−∞ à 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑡+∞ à 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒 2)−∞ à 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑡+∞ à 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒 9)±∞

3) 4 10)+∞ à 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑡−∞ à 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒

4)±∞ 11)+∞

5)+∞ 12) 0

6)−∞ 13) −∞ à 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑡+∞ à 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒 7) 2

Exercice 2

1) 𝐴𝑉≡ 𝑥=−1,𝑝𝑎𝑠 𝑑!𝐴𝐻 𝑒𝑡 𝐴𝑂≡𝑦 =𝑥−1

2) 𝑝𝑎𝑠 𝑑!𝐴𝑉,𝑝𝑎𝑠 𝑑!𝐴𝐻 𝑒𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑑′𝐴𝑂

3) 𝐴𝑉≡ 𝑥=0, 𝐴𝐻≡𝑦 =!! 𝑒𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑑′𝐴𝑂

4) 𝐴𝑉≡ 𝑥=−1,𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 1,−!! 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑜𝑢 𝑑𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ𝑒,𝐴𝐻≡ 𝑦=0 𝑒𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑑′𝐴𝑂

(9)

5) 𝐴𝑉≡ 𝑥=2,𝑝𝑎𝑠 𝑑!𝐴𝐻 𝑒𝑡 𝐴𝑂≡ 𝑦= 𝑥−3

6) 𝐴𝑉≡ 𝑥=3,𝑝𝑎𝑠 𝑑!𝐴𝐻 𝑒𝑡 𝐴𝑂≡ 𝑦= 5𝑥−1

Exercice 3

Exemples de solutions car il en existe une infinité :

1) 𝑓(𝑥)= !!!! 2) 𝑓 𝑥 =2𝑥−1+!!!! 3) 𝑓(𝑥)= !(!!!)(!!!)!!²!!

Exercice 4

(10)

Exercice 5

1) lim!→!𝑓(𝑥)=0 2) lim!→!!!𝑓 𝑥 =−∞

3) lim!→!!!𝑓(𝑥) =∄ 4) lim!→!!𝑓(𝑥) =2 5) lim!→!!𝑓(𝑥) =+∞ 6) lim!→!𝑓(𝑥)=0 7) lim!→!!𝑓(𝑥)= 1 8) lim!→!!𝑓(𝑥)= 3 9) lim!→!𝑓(𝑥)=∄

Exercice 6

1) lim!→!!!𝑓 𝑥 =+∞

2) lim!→!!𝑓 𝑥 =−!! 3) lim!→!!!𝑓 𝑥 =−∞

4) lim!→!!𝑓 𝑥 = +∞

5) lim!→!!𝑓(𝑥)=+∞ 6) lim!→!!𝑓(𝑥)= 0 7) lim!→!!𝑓 𝑥 = −1 8) lim!→!!𝑓 𝑥 = −2

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