lim() gy =+¥ u

(1)

Lundi 19 novembre 2012.

Durée : 1 h 30.

1 Correction du test n° 1

1) * Soit

u

la fonction trinôme d’expression

u x ( ) = x

²

− 6 x + 10

. Son discriminant est

( 6) −

2

− × < 4 10 0

; elle est donc définie sur

ℝ

et à valeurs dans

]0; +∞ [

^.

* La fonction

ln

étant strictement croissante, la fonction

x ֏ ln( x

²

− 6 x + 10) 1 +

atteint son

minimum en

( 6)

2 3

x = − − =

et il est égal à

u (3) 1 + = ln(3

²

− × + 6 3 10) 1 + = ln1 1 + = + = 0 1 1

^.

En particulier,

x ֏ ln( x

²

− 6 x + 10) 1 +

ne s’annule pas et

D

_f

= ℝ

_.

* Etant donné que

x ֏ ln( x

²

− 6 x + 10) 1 +

ne s’annule pas sur

ℝ

_,

f

est dérivable sur

ℝ

_{en tant}

que quotient et composées de fonctions dérivables sur

ℝ

_.

*

g

et définie et dérivable sur

D

_g

= ℝ \ {4}

en tant que composée et quotient et composées de fonctions dérivables sur

ℝ \ {4}

_(et

y ≠ 4

^{pour tout}

y ∈ D

g^.

2) a)* Pour tout

x ∈ ℝ

_{, on a :}

2 2 2 2

3 6 3 6 6 6 6 6 3ln( ( )) 6 9

(3) ( ) 3

ln( (3)) 1 ln( ( )) 1 ln( ( )) 1 ln( ( )) 1

x x x x u x x x

f f x

u u x u x u x

− + × − − + − − + − + − +

− = − = − =

+ + + +

^.

* D’après 1),

u

admet un minimum global qui est 1.

*

x ֏ x

²

− 6 x + 9

est une fonction trinôme qui a pour discriminant

( 6) −

²

− × = 4 9 0

^{. Cette}

application est donc à valeurs positives.

* On en déduit que

f (3) − f x ( ) ≥ 0

^{pour tout}

x

.

b) Il résulte de la question précédente que pour tout

x

, on a :

f (3) ≥ f x ( )

^.

f

admet donc un maximum global,

f (3) = 3

, atteint pour

x = 3

^.

3) a)

g

est dérivable sur

D

_gd’après 1. On a :

4 4 4

2 2

( 4) ( 5)

'( ) ( 4) ( 4)

y y y

e y e e y

g y y y

−

− −

−

= =

− −

^.

y –∞ 4 5 +∞

g(y) 0

–∞

+∞ +∞

e b) Etant donné que

4

lim ( )

y

−

g y

→

= −∞

^et

lim ( )

y

g y

→+∞

= +∞

, la fonction

g

n’admet pas d’extremum global. On déduit également du a. que la valeur

g (5) = e

est le minimum de

g

sur

]4; +∞ [

atteint pour

5 y =

^.

(2)

Durée : 1 h 30.

2 4) a)

b)

D

_Best une partie de

ℝ

²ouverte et non bornée.

c) Les points

P (0;3)

et

Q (0;5)

appartiennent à

D

_Bet le milieu de

[ PQ ]

, de coordonnées

(0; 4)

, n’appartient pas

D

_B. Donc

D

_B n’est pas convexe.

5) a)

f

B = g

^{. Or}

f

atteint son maximum global pour

x = 3

d’après 2.b et

g

atteint son minimum global sur

]4; +∞ [

^pour

y = 5

d’après 3.b. Donc,

B

atteint un maximum global pour en

( ; ) x y = (3;5)

^égal

à

(3) 3

(3;5)

(5) B f

g e

= =

^.

b)

( )

( ; ) .

( ) B x y f x

= g y

^Donc,

'( )

( ; )

( )

B f x

x x y g y

∂ =

∂

^et ²

( ) '( ) ( ; )

( )

B f x g y

y x y g y

∂ = −

∂

^.

2

( ; ) ( ; ) ( ; ).( ) ( ; ).( )

(3; 6) (3; 6).( 3) (3; 6).( 6)

(3) '(3) (3) '(6)

( 3) ( 6)

(6) (6) (6)

A A A A A A A A A

B B

B x y B x y x y x x x y y y

x y

B B

B x y

x y

f f f g

x y

g g g

∧

= + ∂ − + ∂ −

∂ ∂

= + − + −

∂ ∂

= + − − −

Or,

f '(3) = 3

^car

3

est un point critique de

f

et

6 4 2

(6) 6 4 2

e e

g

=

−

=

−

^,

6 4 2

2

(6 5) '(6) (6 4) 4

e e

g

−

= =

−

^.

On a donc,

2

2 4 2 2 2 2

3 3 4 6 3 3 24

( ; ) 0( 3) ( 6) ( 6)

2 4

A

e

B x y x y y y

e e e e e e

∧

×

= + − − − = − − = − +

^.

c) Le bénéfice réalisé pour

( ; ) x y = (3,1;5, 9)

est proche de

2 2 2 2 2

3 24 24 17, 7 6, 3 63

(3,1;5, 9) 5, 9

A

10 B e e e e e

∧

= − × + = − = =

^.

6) Cette année, l’objectif

x = 3

a d’ores et déjà était atteint.

a) * ²

(3) 3

₄

3(

₄

4)

( ) ( ; ) (3; )

( )

4

A A y y

f y

B y B x y B y

e

g y e

y

− −

= = = = = −

−

.

* On a ²

3 B

A

= g

^{. Or}

D

_g

= ℝ \ {4}

_et

g

et est à valeurs non nulles. On en déduit que ₂

\ {4}

BA

D = ℝ

_.

b) 2

2 2

( ) '( ) . ( )

A

A B

A

B y

e y y

B y

=

^{. Or} ²

3

⁴

3(

₂₍ ₄₎

4)

⁴

3

⁴

(1 (

₂₍ ₄₎

4)) 3(5

₄

)

'( )

y y y

A y y y

e y e e y y

B y

e e e

− − −

− − − − −

= = =

^.

(3)

Durée : 1 h 30.

3 Donc, ₂

4 4

3(5 )

3(5 ) 5 5

( ) . . . .

3( 4) 3( 4) 4 4

A

y y B y

y

y e y y

e y e y y y y

y e y y y

e

− −

−

− − − −

= − = × − = − = − −

c) ₂

5 4, 2 0,8

(4, 2) 4, 2 4, 2 4 4, 2 16,8

4 4, 2 0, 2

BA

e = − − × = − × = × =

− −

^.

On en déduit que le bénéfice actuel est inférieur au bénéfice maximum de

16,8%

.