Lundi 19 novembre 2012.
Durée : 1 h 30.
1 Correction du test n° 1
1) * Soit
u
la fonction trinôme d’expressionu x ( ) = x
2− 6 x + 10
. Son discriminant est( 6) −
2− × < 4 10 0
; elle est donc définie surℝ
et à valeurs dans]0; +∞ [
.* La fonction
ln
étant strictement croissante, la fonctionx ֏ ln( x
2− 6 x + 10) 1 +
atteint sonminimum en
( 6)
2 3
x = − − =
et il est égal àu (3) 1 + = ln(3
2− × + 6 3 10) 1 + = ln1 1 + = + = 0 1 1
.En particulier,
x ֏ ln( x
2− 6 x + 10) 1 +
ne s’annule pas etD
f= ℝ
.* Etant donné que
x ֏ ln( x
2− 6 x + 10) 1 +
ne s’annule pas surℝ
,f
est dérivable surℝ
en tantque quotient et composées de fonctions dérivables sur
ℝ
.*
g
et définie et dérivable surD
g= ℝ \ {4}
en tant que composée et quotient et composées de fonctions dérivables surℝ \ {4}
(ety ≠ 4
pour touty ∈ D
g.2) a)* Pour tout
x ∈ ℝ
, on a :2 2 2 2
3 6 3 6 6 6 6 6 3ln( ( )) 6 9
(3) ( ) 3
ln( (3)) 1 ln( ( )) 1 ln( ( )) 1 ln( ( )) 1
x x x x u x x x
f f x
u u x u x u x
− + × − − + − − + − + − +
− = − = − =
+ + + +
.* D’après 1),
u
admet un minimum global qui est 1.*
x ֏ x
2− 6 x + 9
est une fonction trinôme qui a pour discriminant( 6) −
2− × = 4 9 0
. Cetteapplication est donc à valeurs positives.
* On en déduit que
f (3) − f x ( ) ≥ 0
pour toutx
.b) Il résulte de la question précédente que pour tout
x
, on a :f (3) ≥ f x ( )
.f
admet donc un maximum global,f (3) = 3
, atteint pourx = 3
.3) a)
g
est dérivable surD
gd’après 1. On a :4 4 4
2 2
( 4) ( 5)
'( ) ( 4) ( 4)
y y y
e y e e y
g y y y
−
− −
− −−
= =
− −
.y –∞ 4 5 +∞
g(y) 0
–∞
+∞ +∞
e b) Etant donné que
4
lim ( )
y
−
g y
→
= −∞
etlim ( )
y
g y
→+∞
= +∞
, la fonctiong
n’admet pas d’extremum global. On déduit également du a. que la valeurg (5) = e
est le minimum deg
sur]4; +∞ [
atteint pour5
y =
.Lundi 19 novembre 2012.
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2 4) a)
b)
D
Best une partie deℝ
2ouverte et non bornée.c) Les points
P (0;3)
etQ (0;5)
appartiennent àD
Bet le milieu de[ PQ ]
, de coordonnées(0; 4)
, n’appartient pasD
B. DoncD
B n’est pas convexe.5) a)
f
B = g
. Orf
atteint son maximum global pourx = 3
d’après 2.b etg
atteint son minimum global sur]4; +∞ [
poury = 5
d’après 3.b. Donc,B
atteint un maximum global pour en( ; ) x y = (3;5)
égalà
(3) 3
(3;5)
(5) B f
g e
= =
.b)
( )
( ; ) .
( ) B x y f x
= g y
Donc,'( )
( ; )
( )
B f x
x x y g y
∂ =
∂
et 2( ) '( ) ( ; )
( )
B f x g y
y x y g y
∂ = −
∂
.2
( ; ) ( ; ) ( ; ).( ) ( ; ).( )
(3; 6) (3; 6).( 3) (3; 6).( 6)
(3) '(3) (3) '(6)
( 3) ( 6)
(6) (6) (6)
A A A A A A A A A
B B
B x y B x y x y x x x y y y
x y
B B
B x y
x y
f f f g
x y
g g g
∧
= + ∂ − + ∂ −
∂ ∂
∂ ∂
= + − + −
∂ ∂
= + − − −
Or,
f '(3) = 3
car3
est un point critique def
et6 4 2
(6) 6 4 2
e e
g
=
−=
−
,6 4 2
2
(6 5) '(6) (6 4) 4
e e
g
−
−
= =
−
.On a donc,
2
2 4 2 2 2 2
3 3 4 6 3 3 24
( ; ) 0( 3) ( 6) ( 6)
2 4
A
e
B x y x y y y
e e e e e e
∧
×
= + − − − = − − = − +
.c) Le bénéfice réalisé pour
( ; ) x y = (3,1;5, 9)
est proche de2 2 2 2 2
3 24 24 17, 7 6, 3 63
(3,1;5, 9) 5, 9
A
10
B e e e e e
∧
= − × + = − = =
.6) Cette année, l’objectif
x = 3
a d’ores et déjà était atteint.a) * 2
(3) 3
43(
44)
( ) ( ; ) (3; )
( )
4
A A y y
f y
B y B x y B y
e
g y e
y
− −
= = = = = −
−
.
* On a 2
3
B
A= g
. OrD
g= ℝ \ {4}
etg
et est à valeurs non nulles. On en déduit que 2\ {4}
BA
D = ℝ
.b) 2
2 2
( ) '( ) . ( )
A
A B
A
B y
e y y
B y
=
. Or 23
43(
2( 4)4)
43
4(1 (
2( 4)4)) 3(5
4)
'( )
y y y
A y y y
e y e e y y
B y
e e e
− − −
− − −
− − − − −
= = =
.Lundi 19 novembre 2012.
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3 Donc, 2
4 4
4 4
3(5 )
3(5 ) 5 5
( ) . . . .
3( 4) 3( 4) 4 4
A
y y B y
y
y
y e y y
e y e y y y y
y e y y y
e
− −
−
−
− − − −
= − = × − = − = − −
c) 2
5 4, 2 0,8
(4, 2) 4, 2 4, 2 4 4, 2 16,8
4 4, 2 0, 2
BA
e = − − × = − × = × =
− −
.On en déduit que le bénéfice actuel est inférieur au bénéfice maximum de
