Mines 2 PC A Définition de A 2 P X. Théorème de Rolle dans le cas complexe

Mines 2 PC 2010

Théorème de Rolle dans le cas complexe

A Définition de A

2

PX

1

Az est linéaire par linéarité de la dérivation. De plus , siP  CnXet alors degzXP^  degPdoncdegAzP  degP  n

De plusAzXⁿ  nzXX^n1nXⁿ  nzX^n1. Donc AzCⁿX  vectAzXⁱ0..n  C^n1X

2)

SoitP  CⁿX. On procède comme dans l’énoncé Az₁Az₂PX  Az₁z2XP^XnPX 

z1 Xz2XP^"XP^XnP^X n1z2 XP^XnPX 

z1Xz2XP"Xn1z1 z22XP^Xnn1PX et on a le résultat puisque l’expression est symétrique enz1 etz2

3)

On a, sik  |1,n| AzXz^k  nkXz^k 1

etAz1  n. la formule (1) est encore valable.

Les élémentsXz^k(k  0. .n) forment une famille de polynômes non nuls échelonnée sur1, . . . ,Xⁿ, donc une famille libre , donc une base deCⁿX

DoncAzCⁿX  vect nkXz^nkk0..n Cn1X

DoncrgAz  net kerAz  vectXzⁿ ( puisqueAzXzⁿ  0

4)

sik  |1,n| AzXz^k  nkXz^k

La baseXz^k _k0,..,n) est donc une base de vecteurs propres de Az et spAz  |0,n|

Az est donc diagonalisable, et les sous espaces

Vnk  VectXz^k(k  0, . . ,n sont les sous-espaces propres (de dimension 1) 5)

SoitEendomorphisme deCⁿX qui commute avecAz . Les sous espaces-propres deAz sont donc stables paru.

Comme ces sous espaces propres sont de dimension 1 , ils sont engendrés par des vecteurs propres deEetEest donc diagonalisable par une même baseBqueAz

On prendB  Xz^k _k0,..,n.Les matricesMetNdeEetAz dansBsont les matrices carrées carrées d’ordren1de diagonales respectivesa0, . . . ,an etn,n1, . . . , 0.

Comme les valeursn,n1, . . . , 0sont deux à deux distinctes, il existe un unique polynômePdeCⁿXtel que pour touti  |0,n|, on aitPi  ani (polynômes d’interpolation de Lagrange) .

On a alorsPM  NdoncPAz uet donc u est un polynôme enAz

B.Définition de

6)

Remarquons quefest une involution (donc une bijection) deC^ surC^ etf  f^1 De plusO  COn a donc pourzcomplexe non nul:

z  fC  f^1z  C  fz  C  |¹z z0|²  R² Soit:|z|²R²  |1z0z|²

On obtient en développant:z z|z0|²R²2 Rez0z1  0 Soit:z z  _|z ²

0|²R² Rez0z  _z ¹

0|²R²

Ce qui donne: z _|z ^z0

0|²R²

2  _|z ^R2

0|²R²²

fCest donc le cercle de centre ^z0

|z₀|²R² et de rayon ^R

r²R²

7)

Il suffit de remplacer dans le calcul précédent les égalités par des inégalités:

z  fC^  f^1z  C^  fz  C^  |¹z z0|²  R² Soit:|z|²R²  |1z0z|²

Soit:z z  _|z ²

0|²R² Rez0z  _|z ¹

0|²R²

D’où finalement z  fC^  z _|z ^z0

0|²R²

2  _|z ^R2

0|²R²²

On obtient donc la totalité de l’intérieur defCpuisqueO  fC^ 8)

fziappartient àfC^donc commefC^est convexe puisque c’est un disque d’après l’hypothèseO  C^, ¹_n



i1 n

1

z_i  fC^

Donc0  f ¹_n



i1 n

1

zi est bien défini et0  ffC^  C^. 9)

On prend comme nouvelle origine. L’affixe d’un pointMzdevient alorsZ  z et on est ramené à la question précédente.

C. Condition d’apolarité

10)

P^

P 



i1 n

1

zi (résultat du cours, que l’on retrouve aisément en calculantP^Xpar dérivation successive de chaque terme)

ce qui s’écrit aussi _ⁿ

  ^P_P^

SiP^est non nul on a:  n ^P

P^ d’où la relation demandée 11)

Rappellons queAzPX  zXP^XnPX

Si zi est racine dePon aAzPzi  0si et seulement sizziP^zi  0, soit P^zi  0.

Sin’est pas racine deP, alorsAzP  0si et seulement si zP^nP  0 .

P^est alors non nul etdifférent dez :ceci revient donc à _z¹  n^P_P^ ce qui est précisément la condition  z

12)

On écrit la formule de Taylor;PX 



k0 n Xz^k

k! P^kzet alors , vu que AzXzⁿ  0, on obtient

AzPX 



k0 n1

AzXz^k^Pk_k!^z 



k0 n1

nkXz^{k Pk}_k!^z

On voit alors que le degré deAzPXest strictement inférieur àn1si et seulement siP^n1z  0

OrP^n1X  n!Xn1!



k1 n

zk .

DoncP^n1z  0si et seulement si z  ¹_n



k1 n

zk ce qui donne le résultat demandé.

13)

a)CommeC₁^ est convexe, ¹_n



k1 n

zk appartient àC₁^ et est donc différent dez.

Donc, d’après la question précédente,degAzPX  n1.

b)Il existe un disque inclus strictement dansC₁^ contenant tous les pointszi. En effet siest le centre deC1 etRson rayon, et siC2 est le cercle de centreet de

rayonR^  ¹₂Rmax|zi |alorsC2 est inclus dansC1 et doncC2 contient tous les pointszi. De plus, on a alorsz  C2.

Montrons que tous les zéros deAzPXappartiennent tous àC₂^. En effet , ses zéros sont soit les racines multiples deP(qui sont dezi éléments deC₂^soit des éléments

  C\zi,i  1, . . ,n1tels que  z.

Or si  C2,   C2 et il est donc impossible que  z.

Donc  C₂^C2 , et donc  C₁^.

On a donc bien prouvé que tous les zéros deAzPsont dansC₁^

Remarque: l’énoncé dit quen  2mais pourn  1, l’hypothèse signifie quez  z1et on a alorsAzXz1  zXXz1  zz1 etdegAzXz1  0

(en particulierAzXz1est non nul)

14)

Il est clair que les constantesuetvnon nulles ne changent rien au résultat précédent puisqueAz est linéaire.

Supposons que tous leszii  |1,n|appartiennent àCC^.

Montrons par récurrence descendante surp  |1,n|que deg A_zp. .A_znP  p1et que pourp  1 C’est vrai pourp  1d’après la question 13. Supposons que ce soit vrai à l’ordre

p  1. Alors en utilsant une factorisation deA_zp^. .A_zn^Pet en appliquant la question 13 à nouveau,A_z

p1

 . . . .A_znPest de degré exactementp1et sip1  1, toutes les racines deA_z

p1 . . . .A_znP A_z

p1 A_zp. .A_znPsont encore dansC^, ce qui termine la récurrence.

On en déduit donc quedegAz₁^. . .Az_n^P 0, et donc quePn’est pas apolaire par rapport àQ. Par contrapposition, on a le résultat demandé.

15)

Les polynômes du type donné par l’énoncé sont exactement les éléments de Cⁿ1X.

L’applicationhqui à un polynômeTdeCn1Xassocie



₀^{1Tatb}adt est une forme linéaire, et donc, en utilisant l’expression générale d’une forme linéaire dans la base canonique, il existe des complexesc0, . . . ,cn1tells que pour tout polynômeTécrit sous la forme précédente:



₀^{1Tatba }



k0

n1 n1

k akck

On a alors, pourk  0, . .n1, hX^k 



₀^{1atb}a^kdt  _{k1b}^{bk1ak1}_a  ck

n1

k  ck

n1 n1k

On a donc l’égalité demandée avec bk  1^n1kcn1k  1^{n1k b}_{nkba}^{nkank} 16)

On prendak  1^kY^n1kpourk  |0, n1|etY  C On a alorsTX 



k0

n1 n1

k 1^kX^kY^n1k  YX^n1 On a alors:



₀^1Yatba^n1dt  ^Yb_nb^{nYa}_a ⁿ 

D’autre part:



k0 n1

n1

k Y^nk1bnk1 



k0 n1

n1

n1k Y^kbk 



k0 n1

n1

k bkY^k (changement d’indice)

D’où le résultat avec Cn  _nba¹ puisqueYprend toute valeur complexe, donc on a une égalité de polynômes.

17) On a



a b

P^atba  PbPa  0 On a donc1^n1_n1!^an1 At₁At₂. .At_n1X  0 doncXest apolaire par rapport àP^X

P^ possède donc une racine dans un disque ouvert contenant toutes les racines de Ort  0si et seulement si il existek  |0,n1|tel queXb  exp^2ik_n Xa

(aveck  |0,n1|soit X  ^{baexp2ikn }

1exp^2ikn  ( avec k  |1,n1|

Or , pour un telX, on a |X ^ab₂ | ^|b₂^{a| 1exp2ikn }

1exp^2ik_n   ^|b₂^{a| cos kn}

sin ^k_n

Or , pourk  |1,n1|on ank  |1,n1|et ^cos

nk

n

sin ^{nkk}_n  ^{cos kn}

sin ^k_n et pour 1  k  ⁿ₂, ^cos

kn

sin ^k_n  ^{cos kn}

sin ^k_n

est maximal pourk  1. On a en conclusion |X ^ab₂ | ^|ba|₂ ^cos_sin k^kn n

pour toute racineXdeP

Tout disque ouvert de centre ^a₂^b et de rayonR  Rna,bcontient donc une racine deP^.

Comme les racines deP^ sont en nombre fini,

il existe donc une racine deP^ dans le disque fermé de centre ^ab₂ et de rayonRna,b.

(Sinon, on aurait un contre-exemple en prenantRna,b  R  min|z ^a₂^b|/zracine deP^

Complément: Démonstration de l’égalité admise(indications)

Si lesti sont deux à 2 distincts la famille1,Xt1^n1,Xt2^n1, . . . ,Xtn1^n1 forme une famille libre (en effet , si l’on a une relation de dépendance linéaire entre ces polynômes, on dérive successivement cette relation aux ordres1, . . ,n1, et on fait X  0. On obtient un système homogène dont le déterminant se ramène à un

Vandermonde ), donc une base deCn1X; De plus,At1At2. .At_n1Xtn1^n1  0et comme lesAti "commutent" (et que la composition est associative), on a pour tout k  |1,n1| : At₁At₂. .At_n1Xtk^k  0. Enfin , par un calcul aisé, 1 étant vecteur propre de tous lesAti on aAt₁At₂. .At_n11  n1!

On a donc, si un polynômes’écrit

0



i1 n1

kXti^n1 : At₁At₂. .At_n1  n1!0

Il faut donc calculer

0 : 0



i1 n1

iXti^n1  0 



i1 n1

i



k0 n1

n1

k X^k1^n1kt_i^n1k 

0



k0 n1

n1

k X^k1^n1k



i1 n1

it_i^n1k (1)

On a donc comme 



k0 n1

bk

n1

k X^k, on a::

b0  01^n1



i1 n1

it_i^n1

k  |1,n1|

n1

k bk  1^n1k



i1 n1

i

n1

k t_i^n1k D’où



k0 n1

1^n1k n1

k bkan1k  1^n1an10



i1 n1

i



k0

n1 n1

k an1kt_i^n1k 

an10



i1 n1

iP^ti  an10 puisqueti est racine deP^ Finalement:

1^n1 _n^a_^n1_1!At₁At₂. .At_n1  1^n1an10 



k0 n1

1^n1k n1

k bkan1k

C’est ce qu’il fallait démontrer

Lorsque deuxti ou plus sont égaux, la formule est encore vraie par continuité et densité.

En effet pour etan1fixés , l’applicationt1, . . . ,tn1  1^n1_n1!^an1 At1At2. .At_n1

est continue par les théorèmes usuels, lesai sont des fonctions continues detk

(fonctions symétriques) et donct1, . . . ,tn1 



k0 n1

1^n1k n1

k bkan1k est une fonction continue.

Enfin, l’ensemble des suitest1, . . ,tn1de complexes 2 à 2 distinctq est partout dense dansC^n1