c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/17
Mines Physique 2 PC 2009 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Mehdi Nehmé (ENS Cachan) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).
Le sujet comporte quatre parties indépendantes d’égale longueur mais de difficulté variée. Les parties II et IV ainsi que le début de la partie I peuvent être traités avec les connaissances du programme de première année seulement ; au contraire, la partie III repose exclusivement sur le programme de deuxième année.
• Dans la première partie, on étudie tour à tour différents modèles d’atmosphère (isentropique puis isotherme et enfin standard) et on propose une explication à l’inversion du gradient de densité de l’air près du sol.
• Dans la deuxième partie, on analyse la réfraction atmosphérique, c’est-à-dire la déviation des rayons lumineux par l’atmosphère, en utilisant l’optique géo- métrique ; plus délicate que la précédente, cette partie teste manifestement la capacité du candidat à raisonner sur des angles et des longueurs élémentaires en géométrie.
• La troisième partie reste très proche du cours sur le rayonnement dipolaire et ne pose pas de difficulté.
• La quatrième partie étudie concrètement le rayon vert, sa durée d’existence et sa forme. C’est la partie la plus difficile, tant en raison de l’approche choisie que par le manque de clarté de l’énoncé – ce qui oblige à une lecture très attentive de chaque paragraphe et de chaque schéma. Cette partie évalue clairement les capacités d’analyse face à un sujet inconnu ; gageons qu’elle n’aura remporté qu’un maigre succès au concours.
Ce sujet, qui peut être abordé par toutes les filières, se prête bien à un travail à différents niveaux durant les première et deuxième années : pour tester sa connais- sance du cours sur le rayonnement dipolaire électrique, approfondir – ou réviser – les raisonnements de l’optique géométrique et de la thermodynamique ou encore se frotter à un sujet inconnu appelant une réflexion et une recherche personnelles.
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 2/17
Indications
Partie I
2 Écrire la loi de Laplace pourpet ρet la différentier logarithmiquement. Injecter la loi des gaz parfaits dans la loi de l’hydrostatique.
3 Utiliser la loi de Laplace pourTet ρ.
4 La température dépend-elle de l’altitudez?
5 Quelle est la solution de l’équation différentiellef′(z) +a(z)f(z) = 0?
6 La masse volumiqueρdépend-elle du temps ? Utiliser la loi des gaz parfaits pour faire apparaîtrep.
7 Différentier logarithmiquement la loi des gaz parfaits.
Partie II 8 Sur le schéma,i2est-il supérieur à i1?
9 Raisonner sur le dioptre entre les tranches enz etz+ dz.
10 Utiliser la formule des sinus dans le triangleBB′C.
11 Exprimersinπ 2 −i
. Différentier logarithmiquement le produit n rsini. Relier les angles dans le triangleBIC.
12 Réécriretanien fonction desiniuniquement.
13 Effectuer un développement limité denà l’ordre un.
14 Comparer les angles d’incidence dans un plan horizontal et dans un plan vertical.
Relier βset βh. Exprimerβv en fonction des angles de réfraction atmosphérique des points extrêmes en haut et en bas du disque solaire et deβh.
Partie III
15 Comparer la masse du nuage électronique à celle du noyau. Comparer la force électrique et la force magnétique de Lorentz. À quelle condition peut-on négliger le retard à la propagation de l’onde entre les électrons et le noyau ?
16 Injecter l’expressionz0expjωtdans le théorème de la résultante dynamique.
17 Éliminer les termes en1/r2et 1/r3.
18 La puissance moyenne totale est égale au flux du vecteur de Poynting à travers la sphère de rayonr0.
Partie IV
21 Dériver les expressions deSOS[c etθi. RelierSSc etSSH. 22 Dériverθi =ga(θ0, λ)par rapport au temps.
23 Quelle est l’effet de l’atmosphère sur les longueurs d’ondeλ < λv? 24 Comment varieθi quand le rayon vert est visible ?
25 Remarquer sur la figure 9-b que deux rayons ayant le mêmeθi conduisent à des rayons ayant desθ0différents. À l’aide d’un schéma inspiré de cette figure, montrer qued2> d3.
26 Comment varieθi quand le rayon vert est visible ? Utiliser la question 21.
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 3/17
I. L’atmosphère terrestre
1 Isolons par la pensée un petit volume V d’air de massem, situé à l’altitudez.
La loi des gaz parfaits s’écrit
p(z) V(z) = m MR T(z)
alors p(z) = ρ(z)R T(z)
M
donc ρ(z) = Mp(z)
R T(z)
Application numérique: ρ0= 1,23 kg.m−3 2 Différentions logarithmiquement la loi de Laplace
p ρ−γ = Cte Pour ce faire, composons par la fonction logarithme
lnp−γlnρ= Cte′ puis dérivons cette expression par rapport àz
1 p
dp dz =γ
ρ dρ
dz (1)
Par ailleurs, la condition d’équilibre hydrostatique s’écrit dp
dz =−ρ g0
Éliminonspà l’aide de la loi des gaz parfaits R T
M dρ dz +Rρ
M dT
dz =−ρ g0 (2)
Utilisons l’équation(1)pour exprimer la dérivée deρpar rapport à z R T
M ρ γ p
dp dz+Rρ
M dT
dz =−ρ g0
La condition d’équilibre hydrostatique et la loi des gaz parfaits permettent alors d’éliminer dp
dz, il vient
−1
γρ g0+Rρ M
dT
dz =−ρ g0
d’où dT
dz = Mg0
R 1−γ
γ =−9,76 K.km−1 Intégrons cette expression par rapport àz; il vient
T(z) = T0
1− z
Hs
avec Hs= R T0
Mg0
γ
γ−1 = 29,5 km Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/17
Dans ce modèle, la température décroît plus rapidement que dans le modèle standard. Cette différence provient de l’hypothèse d’adiabaticité qui est incorrecte. On peut invoquer deux mécanismes pour le justifier : d’une part, l’évaporation d’eau, au sol, contribue à refroidir les basses couches d’air alors que la condensation en altitude (qui conduit à la formation de nuages) contribue à réchauffer les couches d’air plus élevées, d’où une atténuation du gradient (en valeur absolue) ; d’autre part, le rayonnement solaire (« direct » et « réémis » par la Terre) apporte de l’énergie thermique à l’atmosphère.
L’expression dedT/dzpeut être obtenue plus rapidement en écrivant la loi de Laplace en variablespetT:p1−γTγ= Cte. On différentie logarithmiquement cette relation, pour obtenir
γ−1 p
dp dz = γ
T dT
dz
On élimine alors la dérivée deppar rapport àzgrâce à la condition d’équilibre hydrostatique
1−γ
p ρ g0= γ T
dT dz
la loi des gaz parfaits conduit alors au résultat. Ce calcul ne répond, toutefois, pas complètement à la question puisqu’il ne fait pas intervenir(1).
Le jury précise que cette « question a été rarement traitée jusqu’au bout, cer- taines copies contenant des pages de calcul faux (...). Beaucoup de candidats ont perdu du temps à cet endroit. »
3 La loi de Laplace peut encore s’écrire Tρ1−γ = T0ρ01−γ donc
ρ(z) =ρ0
1− z
Hs
1/(γ−1)
4 Une atmosphère isotherme est définie par dT dz = 0 L’équation(2)devient alors dρ
dz +Mg0
R T ρ= 0 d’où ρ(z) =ρ0exp
− z Ht
avec Ht= R T Mg0
= 6,34 km
Ht croît linéairement avec la température.
5 Utilisons, de nouveau, l’équation (2)et remplaçonsTpar l’expression proposée R
M(Tk+zGk)dρ dz +Rρ
M Gk=−ρ g0
Ainsi, (Tk+zGk)dρ
dz + Ckρ= 0 avec Ck= Mg0
R + Gk
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
