© Éditions H & K Publié dans les Annales des Concours 1/17
Mines Physique 2 PC 2012 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (ENS Cachan) ; il a été relu par Pierre Fleury (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).
Ce sujet, composé de trois parties indépendantes, traite de phénomènes naturels que l’on peut rencontrer dans la vie de tous les jours.
• La première partie est divisée en deux sous-parties. La première étudie la pro- pagation d’une onde sonore dans l’eau puis à l’interface entre deux milieux ; c’est une application directe du cours sur les ondes acoustiques dans les fluides.
Dans la seconde sous-partie, on cherche à comprendre l’existence du clapotis à la surface de l’eau ; il s’agit d’applications du cours de mécanique des fluides.
• La deuxième partie s’intéresse à la résistance d’une toile d’araignée. Dans un premier temps, on étudie un modèle simple d’élasticité d’un fil, motivé par des considérations microscopiques. Puis on considère une méthode expérimentale de détermination du module d’Young de ce fil. Dans un second temps, on étudie mécaniquement l’oscillation de la toile d’araignée qui est créée par la présence d’un insecte pris à son piège.
• Dans la dernière partie, on cherche à comprendre pourquoi les papillons les plus petits ont un battement d’aile plus rapide que les papillons plus grands.
Cette partie ne demande aucune connaissance technique mais simplement une réflexion sur l’analyse dimensionnelle et les ordres de grandeur.
Cette épreuve est de longueur raisonnable et fournit de nombreux résultats inter- médiaires, ce qui souligne l’intérêt de commencer par une lecture du sujet pour choisir dans quelle partie on est le plus à l’aise. Les deux dernières parties peuvent être trai- tées dès la première année alors que la première aborde des thèmes qui ne sont vus qu’en deuxième année, comme la mécanique des fluides et la physique des ondes.
Téléchargé gratuitement sur Doc-Solus.fr
© Éditions H & K Publié dans les Annales des Concours 2/17
Indications
Partie I
1 Différentier la loi de Laplace liée à l’évolution adiabatique réversible, donc isen- tropique, d’un fluide.
2 Linéariser l’expression de χ s .
5 Utiliser la condition d’interférences constructives pour l’onde réfractée.
8 Écrire la définition de l’intensité acoustique vue dans le cours sur les ondes sonores et considérer que la vitesse du son et la masse volumique dans un liquide sont plus grandes que dans les gaz.
10 La constante d’intégration peut dépendre du temps. L’écrire sous la forme F(t) = dG(t)
dt
Que peut-on en déduire sur le potentiel et la vitesse ?
11 Utiliser la condition de non pénétration du fluide dans le fond de la piscine.
14 Recourir à l’approximation th x ≈ 1 pour x ≫ 1.
Partie II
17 L’allongement total du ressort équivalent correspond à la somme de l’allongement de chaque ressort.
18 Écrire le principe fondamental de la dynamique et la condition d’équilibre.
19 Un solide correspond à une association en série et en parallèle de ressorts iden- tiques. D’après les questions précédentes, de quoi dépend la raideur du ressort équivalent ?
27 Faire un développement limité de la fonction α 7→ f (α) autour de α = α 0 puis écrire la dépendance de z en fonction de α (attention au signe).
Partie III 29 Pourquoi parle-t-on de forces de volume ?
Téléchargé gratuitement sur Doc-Solus.fr
© Éditions H & K Publié dans les Annales des Concours 3/17
Un soir d’été
I. L’eau dans la piscine
I.A Parler dans l’air, entendre dans l’eau ?
1 On définit la compressibilité comme la variation relative de volume (ou de la masse volumique) sous l’effet d’une pression appliquée, c’est-à-dire
χ = − 1 V
∂V
∂P = 1 ρ
∂ρ
∂P avec ρ la masse volumique. Par conséquent,
χ est en Pa − 1 .
Pour une évolution isentropique, le gaz parfait diatomique suit la loi de Laplace PV γ = C te . Lorsque l’on différentie cette équation, il vient
dP = − γ C te
V γ+1 dV = − γ × 1 V × C te
V γ dV = − γ P V dV
Finalement, ∂V
∂P = − V γ P
d’où χ gp,2 = 1
γ P = 7,14.10 −6 Pa −1
On constate que χ gp,2 ≫ χ e . En effet, un gaz est beaucoup plus compressible qu’un liquide, ce qui justifie l’inégalité ci-dessus.
2 L’équation d’Euler s’écrit ρ( − → r , t)
"
∂ − → v
∂t + ( − → v · −−→
grad ) − → v
#
= − −−→
grad p( − → r , t) + ρ − → g
où ρ − → g = [ρ e + ερ e1 ( − → r , t) − → g
et −−→
grad p( − → r , t) = −ρ e g e b z + ε −−→
grad π e
De plus, la vitesse − → v ( − → r , t) est un terme d’ordre 1 et l’accélération convective est d’ordre 2. L’équation d’Euler se réécrit donc à l’ordre 1, après avoir simplifié par ε,
ρ e
∂ − → v e
∂t = − g ρ e1 ( − → r , t) e b z − −−→
grad π e
Remplaçons ρ e1 grâce à l’expression de χ e , qui se linéarise de la façon suivante χ e = 1
ρ
∂ρ
∂P ≈ 1 ρ e × ρ e1
π e
d’où ρ e
∂ − → v e
∂t = −g ρ e χ e π e e b z − −−→
grad π e
Téléchargé gratuitement sur Doc-Solus.fr
© Éditions H & K Publié dans les Annales des Concours 4/17 Pour négliger le terme de pesanteur devant le gradient de la pression, il faut
ρ e χ e g π e ≪ π e
λ
ce qui équivaut à λ ≪ 1
ρ e χ e g
Dans cette approximation, on obtient l’équation simplifiée
Si λ ≪ λ 0 , alors ρ e
∂ − → v e
∂t ≈ − −−→
grad π e
avec λ 0 = 1
ρ e χ e g = 2,22.10 5 m
Les longueurs d’onde λ susceptibles de se développer dans une piscine sont largement inférieures à λ 0 . On peut en déduire que les effets de compression liés à la pesanteur sont négligés.
3 La loi locale de conservation de la masse s’écrit
∂ρ
∂t + div (ρ − → v e ) = 0
À l’ordre 1, ∂ρ e1
∂t + ρ e div − → v e = 0
Dérivons cette équation par rapport au temps, et utilisons l’équation d’Euler linéa- risée obtenue à la question 2. Il vient alors,
∂ 2 ρ e1
∂t 2 + ρ e div ∂ − → v e
∂t = ∂ 2 ρ e1
∂t 2 − ∆π e = 0
où ∆ désigne le laplacien. En réutilisant l’expression linéarisée de χ e = ρ e1 /(ρ e π e ), on obtient l’équation de propagation
∂ 2 π e
∂t 2 − c e 2 ∆π e = 0
avec c e = 1
√ ρ e χ e
= 1,47.10 3 m.s −1
4 Si l’onde acoustique est une onde plane monochromatique, l’expression complexe de la pression est
π a ( − → r , t) = Π a e i(ωt − − → k
a
