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Mines Physique 2 PC 2000 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Fabien Guérin (École Polytechnique) ; il a été relu par Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon) et Yannick Alméras (ENS Ulm).
Le problème, constitué de trois parties indépendantes, étudie sous divers aspects le principe de fonctionnement des essuie-glace avec détecteur de pluie.
Dans une première partie, on cherche à évaluer des ordres de grandeur relatifs à la chute de la pluie sur le pare-brise. Les questions de cette partie ne sont pas difficiles, mais elles demandent un certain courage au moment des applications numériques.
La partie B s’attache à expliquer le principe de la détection. On a au préalable une étude d’optique géométrique puis, pour préciser les résultats, on utilise les lois de l’électromagnétisme pour bien comprendre le fonctionnement. Cette partie se termine par l’étude du montage électronique à la base de la détection.
Enfin, la partie C étudie mécaniquement les essuie-glace pour évaluer la puissance électrique nécessaire à leur bon fonctionnement.
Le problème en lui-même n’est pas difficile mais demande une connaissance solide du cours, notamment en électromagnétisme. Enfin, certaines questions assez calcula- toires peuvent paraître rebutantes.
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 2/22 Indications
2 Ne pas hésiter à calculer le nombre de gouttes qui tombent par unité de volume.
Cette valeur sera utile pour les questions 3 et 4. Il faut aussi calculer l’aire balayée par les essuie-glace.
6 Comparer la valeur d’incidence du rayon lumineux45◦aux valeurs limites trouvées à la question 5.
10 Trouver l’équation différentielle à laquelle obéit −→
Et2 et injecter la forme de −→
Et2
proposée. Il reste à trouver une relation entrekiy,λet α1.
11 Pour retrouver la loi de Descartes, remarquer que la composante de−→
kt selon−→ey
vautkiy.
12 Rechercher des solutions sous la formeAe−zδ et chercher l’expression deδ.
13 Penser à une expérience utilisant des ondes centimétriques pour simuler l’effet tunnel en TP.
15 Écrire les conditions trouvées à la question 14 ; il faut calculer−→
B au préalable.
16 Il faut utiliser la relation de Descartes de la réfraction et la formule de trigono- métriesin (α1+α2) = sinα1cosα2+ sinα2cosα1.
22 Considérer un tube d’air de sectionSdont les extrémités sont situées respective- ment loin avant et loin après le déflecteur ; il faut alors calculer aux instantst et t+dtla quantité de mouvement de ce tube d’air. La force exercée sur celui-ci est trouvée grâce à la relation fondamentale de la dynamique.
24 Écrire que Z T2
0
Ω(t)dt=−π 2.
25 Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour un petit élément de chaque balai et trouver une relation entreF,F0 et la réaction normale k−−→
dRnk. Enfin la loi de Coulomb sur le frottement pour un objet en mouvement s’écrit :k−−→
dRtk= fk−−→
dRnkavec la condition d−→ Rt.−→v <0.
27 La tension de batterie actuelle est de12 V.
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 3/22 Partie A Chute de la pluie sur le pare-brise
1 Appliquons la relation fondamentale de la dynamique à une goutte d’eau : mg
d−→v
dt =−6πηre−→v +mg−→g oùmg=4
3πµr3e désigne le volume d’une goutte.
En régime stationnaire, pour lequel la vitesse limite de chutevlimest atteinte : d−→v
dt =−→ 0 soit, en projetant sur l’axe Oz,
6πηrevlim=mgg
vlim=2 9
µre2g η A.N. vlim= 1,3 m.s−1
2 Calculons la surface balayée par le balai côté conducteur.
B
A
D O C
lc
d
c c c
c c
c
L’aire du quart de disqueOcBcCc vaut π 4
dc+lc
2 2
. L’aire du quart de disqueOcAcDc vaut π
4
dc−lc
2 2
. L’aire totale balayée par le grand balai est donc :
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Ac= π 4
dc+lc
2 2
−
dc−lc
2 2!
= π 2dclc
Un calcul identique donne l’aire totale balayée par le petit balai : Ap= π
4
dp+lp
2 2
−
dp−lp
2 2!
= π 2dplp
Il faut maintenant tenir compte de l’aire commune balayée par les deux balais pour calculer l’aire totaleAde balayage :
A= (Ap+Ac)− 10
100(Ap+Ac) A= 9π
20(dplp+dclc)
Pendant une duréeT, les gouttes d’eau qui tombent sur le pare-brise sont àt= 0 à une distance inférieure àvlimTdu pare-brise. La figure suivante montre en coupe le volume dans lequel sont les gouttes d’eau.
Pour calculer ce volume, remarquons que l’on peut se ramener à un prisme droit :
v
lim T
v
lim T
Aos
A
pluie
pare-brise
Le volume occupé par les gouttes qui tombent entre 0et T sur le pare-brise est donc :
vlimTAcosβ
Calculons le nombre n de gouttes de pluie qui tombent, par unité de volume.
Pendant une heure, il tombe10 mmde pluie par m2soit un volume de10−2 m3. En une seconde, il tombe donc un volumeV= 10−2
3600 m3par m2soit V
4 3πr3e
gouttes de pluie. Dans cet intervalle d’une seconde, les gouttes sont dans un cylindre de volumeV0=vlim×1 s×1 m2. Il y a donc
n= V
4 3πre3V0
gouttes de pluie qui tombent par m3.
On en déduit le nombreN1de gouttes balayées par les balais d’essuie-glace : Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
