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Mines Physique 2 PC 2000 — Corrigé

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Academic year: 2021

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/22

Mines Physique 2 PC 2000 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Fabien Guérin (École Polytechnique) ; il a été relu par Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon) et Yannick Alméras (ENS Ulm).

Le problème, constitué de trois parties indépendantes, étudie sous divers aspects le principe de fonctionnement des essuie-glace avec détecteur de pluie.

Dans une première partie, on cherche à évaluer des ordres de grandeur relatifs à la chute de la pluie sur le pare-brise. Les questions de cette partie ne sont pas difficiles, mais elles demandent un certain courage au moment des applications numériques.

La partie B s’attache à expliquer le principe de la détection. On a au préalable une étude d’optique géométrique puis, pour préciser les résultats, on utilise les lois de l’électromagnétisme pour bien comprendre le fonctionnement. Cette partie se termine par l’étude du montage électronique à la base de la détection.

Enfin, la partie C étudie mécaniquement les essuie-glace pour évaluer la puissance électrique nécessaire à leur bon fonctionnement.

Le problème en lui-même n’est pas difficile mais demande une connaissance solide du cours, notamment en électromagnétisme. Enfin, certaines questions assez calcula- toires peuvent paraître rebutantes.

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 2/22 Indications

2 Ne pas hésiter à calculer le nombre de gouttes qui tombent par unité de volume.

Cette valeur sera utile pour les questions 3 et 4. Il faut aussi calculer l’aire balayée par les essuie-glace.

6 Comparer la valeur d’incidence du rayon lumineux45aux valeurs limites trouvées à la question 5.

10 Trouver l’équation différentielle à laquelle obéit −→

Et2 et injecter la forme de −→

Et2

proposée. Il reste à trouver une relation entrekiy,λet α1.

11 Pour retrouver la loi de Descartes, remarquer que la composante de−→

kt selon−→ey

vautkiy.

12 Rechercher des solutions sous la formeAezδ et chercher l’expression deδ.

13 Penser à une expérience utilisant des ondes centimétriques pour simuler l’effet tunnel en TP.

15 Écrire les conditions trouvées à la question 14 ; il faut calculer−→

B au préalable.

16 Il faut utiliser la relation de Descartes de la réfraction et la formule de trigono- métriesin (α12) = sinα1cosα2+ sinα2cosα1.

22 Considérer un tube d’air de sectionSdont les extrémités sont situées respective- ment loin avant et loin après le déflecteur ; il faut alors calculer aux instantst et t+dtla quantité de mouvement de ce tube d’air. La force exercée sur celui-ci est trouvée grâce à la relation fondamentale de la dynamique.

24 Écrire que Z T2

0

Ω(t)dt=−π 2.

25 Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour un petit élément de chaque balai et trouver une relation entreF,F0 et la réaction normale k−−→

dRnk. Enfin la loi de Coulomb sur le frottement pour un objet en mouvement s’écrit :k−−→

dRtk= fk−−→

dRnkavec la condition d−→ Rt.−→v <0.

27 La tension de batterie actuelle est de12 V.

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 3/22 Partie A Chute de la pluie sur le pare-brise

1 Appliquons la relation fondamentale de la dynamique à une goutte d’eau : mg

d−→v

dt =−6πηre−→v +mg−→g oùmg=4

3πµr3e désigne le volume d’une goutte.

En régime stationnaire, pour lequel la vitesse limite de chutevlimest atteinte : d−→v

dt =−→ 0 soit, en projetant sur l’axe Oz,

6πηrevlim=mgg

vlim=2 9

µre2g η A.N. vlim= 1,3 m.s1

2 Calculons la surface balayée par le balai côté conducteur.

B

A

D O C

lc

d

c c c

c c

c

L’aire du quart de disqueOcBcCc vaut π 4

dc+lc

2 2

. L’aire du quart de disqueOcAcDc vaut π

4

dc−lc

2 2

. L’aire totale balayée par le grand balai est donc :

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/22

Ac= π 4

dc+lc

2 2

dc−lc

2 2!

= π 2dclc

Un calcul identique donne l’aire totale balayée par le petit balai : Ap= π

4

dp+lp

2 2

dp−lp

2 2!

= π 2dplp

Il faut maintenant tenir compte de l’aire commune balayée par les deux balais pour calculer l’aire totaleAde balayage :

A= (Ap+Ac)− 10

100(Ap+Ac) A= 9π

20(dplp+dclc)

Pendant une duréeT, les gouttes d’eau qui tombent sur le pare-brise sont àt= 0 à une distance inférieure àvlimTdu pare-brise. La figure suivante montre en coupe le volume dans lequel sont les gouttes d’eau.

Pour calculer ce volume, remarquons que l’on peut se ramener à un prisme droit :

v

lim T

v

lim T

Aos

A

pluie

pare-brise

Le volume occupé par les gouttes qui tombent entre 0et T sur le pare-brise est donc :

vlimTAcosβ

Calculons le nombre n de gouttes de pluie qui tombent, par unité de volume.

Pendant une heure, il tombe10 mmde pluie par m2soit un volume de102 m3. En une seconde, il tombe donc un volumeV= 102

3600 m3par m2soit V

4 3πr3e

gouttes de pluie. Dans cet intervalle d’une seconde, les gouttes sont dans un cylindre de volumeV0=vlim×1 s×1 m2. Il y a donc

n= V

4 3πre3V0

gouttes de pluie qui tombent par m3.

On en déduit le nombreN1de gouttes balayées par les balais d’essuie-glace : Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.

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