{ Colles PC : Semaine 1

Colles PC : Semaine 1 13/09/2010 au 17/09/2010

Soit f un endomorphisme de E (espace vectoriel de dimension finie), _1, _{2, .... ,} _n, n scalaires deux à deux distincts n2.

Montrer que, si pour tout i {1;2;3;...; ∈ n}, F_i=Ker f –_iIdE, alors la somme F₁F₂F_n est directe.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et f, g des endomorphismes tels que :

{fg^fog=0∈GLE Montrer que Im f=Ker g

Soit E un espace vectoriel . On considère f ∈ LE tel que f³=f²2f et on pose : E₁=Kerf E₂=KerfId_E et E₃=Kerf –2Id_E

Prouver que E=E₁⊕^E2⊕^E3

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Colles PC : Semaine 1 13/09/2010 au 17/09/2010

Indications & réponses

Raisonner par récurrence sur le nombre de sous-espace F_i.

F₁F₂ directe ? Soit x₁∈ F₁, x₂∈ F₂ tels que x₁x₂=0_E, montrer que x₁=x₂=0_E. Traduire le fait que x_i∈F_i : x_i∈ F_i ⇔ fx_i=x_i .

x₁x₂=0_E 1 ⇒ fx₁x₂=0_E ⇔ fx₁fx₂=0_E ⇔ ₁x₁₂x₂=0_E 2

Multiplier 1 par ₂ et retrancher membre à membre avec 2. Supposer que la propriété est vraie pour n –1 scalaires.

Réitérer le procédé précédent.

fog=0 donne Im g Ker ⊂ f d'où rg gn – rg f. 1

fg∈GLE donne fgE=E or fgE⊂fEgE et donc fEgE=E Avec la formule de Grassmann, on obtient : rg grg fn

On en déduit : rg grg f=n et dim (Im f) = dim Ker g. Conclure.

Formule de Grassmann : dimFdimG=dimFGdimF∩G

F ∩ G admet un supplémentaire dans F. Soit F₁ ce supplémentaire : F = F₁⊕F∩G _et donc dimF₁=dimF – dimF∩G 1

F∩G⊂G donc FG=F₁F∩GG=F₁G

D'autre part : F₁∩G=F₁∩F∩G={0} ainsi FG=F_1⊕G (en effet : F = F₁⊕F∩G ) On en déduit dimF₁=dimFG– dimG (2) et la formule avec 1 et 2.

Il s'agit de montrer que , pour tout x de E, il existe un unique triplet x_1,x_2,x₃ de E₁×E₂×E₃ tel que x=x₁x₂x₃

Supposer qu'un tel triplet existe et trouver un "candidat".

Vérifier que x₁∈E₁, que x₂∈E₂ et x₃∈E₃.

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