PC : Semaine 1  Révisions PCSI (Algèbre linéaire et Nombres complexes)

(1)

Soit n , a , b ∈ ^{ℕ×ℝ×ℝ}; calculer les sommes C_n=

k=0 n

cosakb et S_n=

k=0 n

sinakb. En remarquant que

k=1 n

∣sink∣≥

k=0 n

sin²k, montrer que pour tout n ∈ ℕ^* ,

k=1 n

∣sink∣n1

2 – 1

2 sin 1

Soit f l'application de ℝ² dans ℝ² , définie par f x , y=–2xy , x –2y 1. Démontrer que f est un endomorphisme de l'espace vectoriel ℝ² .

2. Déterminer l'endomorphisme f²4f3id. En déduire deux réels  et  tels que

f –id f –id=0 (on choisira )

3. Déterminer les sous-espaces vectoriels F=Kerf –id et F=Kerf –id. 4. Pour tout u∈ℝ², prouver que u= 1

–[ f –idu–f –idu]. En déduire que F_ et F_ sont supplémentaires.

Dans l'espace vectoriel ℝ³, muni de la base canonique ^b=^e1,e_2,e₃, on considère l'endomorphisme u dont la matrice M est dans la base b :

M =



^–²¹³ ^–¹⁰¹ ^–⁰¹¹

1. Calculer I – MIMM² et en déduire que I – M est inversible. Préciser son inverse.

2. Quelle est la dimension du noyau de u ? Quel est le rang de u ?

3. Montrer que pour tout x ∉ Ker u², les trois vecteurs x, ux et u²x forment une base de ℝ³.

4. En déduire que, pour tout x ∉ Ker u², la famille x , – ux, u²x est une famille libre.

5. On pose e '1=u²e3, e '₂=– ue₃ et e '₃=e₃. a. Montrer que b '=e '₁, e '₂, e '₃ est une base de ℝ³.

b. Donner la matrice de passage P de la base b à la base b '. Calculer P² et en déduire P^–¹ . c. Donner la matrice M ' de u dans la base b '.

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