PSI* 2019/2020
Révisions par chapitres — algèbre
1. (CCP) Résoudre 1 + 2z+ 2z2+· · ·+ 2zn−1+zn= 0.
En déduire une factorisation de 1 + 2X+ 2X2+· · ·+ 2Xn−1+Xn.
2. (Mines) Soit n≥1; montrer qu’il existe un unique polynôme P deR[X]tel que :
∀x∈R sin (2n+ 1)x= sinx·P sin2x ; donner le degré et le coefficient dominant deP. En déduire que :
n
k=1
sin kπ 2n+ 1 =
√2n+ 1 2n .
3. (CCP) Soient A et B les restes respectifs de la division euclidienne d’un polynôme P par X−a et X−b. Déterminer le reste de la division euclidienne deP par (X−a) (X−b).
4. (X-ENS) Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie,f, g dansL(E). Montrer que : a)Imf ⊂Img⇔ ∃h∈ L(E) f =g◦h;
b)si f◦g◦f =f etg◦f◦g=g, alorsrgf = rgg.
5. (Mines) Soit A∈ Mn(R), définie parai,j = 1−δi,j. Montrer que Aest inversible et calculer A−1. 6. (Centrale) Soit M ∈ Mn(R). Montrer que rgMn= rgMn+1.
7. (CCP) Soit A∈GLn(R). Exprimer le polynôme caractéristique deA−1 en fonction de celui de A.
8. (X-ENS) Soient E =Mn(K) etA ∈ E donnée. Soit ϕ l’endomorphisme de E qui àM associe AM. Déterminer le rang de ϕet montrer queϕest diagonalisable si et seulement siA l’est.
9. (CCP) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E), diagonalisable et P le polynôme caractéristique deu. Montrer queP(u) = 0.
10. (Mines) Soit Gun sous-groupe fini deGLn(C). Montrer que toute matrice de Gest diagonalisable.
11. (CCP) Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie,u1, u2, u3 dansL(E) tels que u1+u2+u3 = IE et ui◦uj = 0pour i=j.
a)Préciser la nature de u1,u2,u3.
b)Soit f =u1+u2−2u3 ; quelle relation simple existe-t-il entre les valeurs propres de f et celles de u3 ? f est-il diagonalisable ? Trouver ses éléments propres. f est-il inversible ?
12. (Centrale) Soient E un K-espace vectoriel de dimensionn,f ∈ L(E) etϕ:g→f ◦g−g◦f. a)Montrer que ϕest un endomorphisme de L(E) et calculer ses puissances.
b)On suppose f nilpotent d’ordre k,montrer queϕest nilpotent.
c)On suppose f =ap+bq où a, b sont des scalaires distincts etp,q des projecteurs associés. Montrer quef est diagonalisable et exprimer ses éléments propres. Chercher les éléments propres deϕ; est-il diagonalisable ?
13. (CCP) Déterminer valeurs propres et vecteurs propres deM =
0 c b a a 0 c b b a 0 c c b a 0
.
14. (CCP)SoitA=
−2 0 1
−5 3 0
−4 4 −2
etMdansM3(R)vérifiantM2−3M =A. Montrer queAM =MA.
Résoudre dansM3(R) l’équationM2−3M =A.
15. (Centrale) Soient A=
1 1 0 2
−3 1 4 0 0 1 1 3
−1 0 1 1
,B=
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2
.
Déterminer KerA2,Ker (A−2I)2, montrer qu’ils sont supplémentaires dansR4. Montrer que A2(A−2I)2= 0. Montrer queA est semblable à B.
16. (CCP)
2 0 2
−a 1 0 1 1 0
est-elle diagonalisable surR? sur C?
17. (Mines) À quelle conditionA=
1 a b c 0 1 d e 0 0 2 f 0 0 0 2
est-elle diagonalisable ?
18. (Mines) Trouver les sous-espaces deR3 stables par
−1 k −k 1 −1 0 1 0 −1
.
19. (CCP) Soit une matriceM deO(n), de coefficient courant ai,j. Montrer que :
1≤i,j≤n
|ai,j| ≤n√n.
Pourn= 2, donner l’expression des matrices qui vérifient l’égalité.
20. (Mines) Soit Aune matrice colonne réelle à nlignes. Montrer que : det In+AtA = 1 + tAA.
21. (ENSIETA) Dans E espace vectoriel euclidien de dimensionn,(e1, . . . , en) est une famille de vecteurs tels que : ∀x∈E x 2 =
n k=1
(x|ek)2. Montrer que(e1, ..., en) est une base orthonormale deE.
22. (CCP) Soit A matrice symétrique réelle telle que A3+A2+A= 0. Montrer queA= 0.
23. (Mines) Soit A ∈ Mn(R) telle que les valeurs propres de tA −A sont réelles. Montrer que A est symétrique.
24. (Centrale) DansR3 euclidien, matrice de la rotation d’angle π/2autour de l’axe dirigé par (a, b, c)?
25. (CCP) Montrer que l’endomorphisme u de matriceA= 1 7
2 6 −3
−6 3 2 3 2 6
est une rotation deR3. Préciser ses éléments caractéristiques.
26. (Centrale) Donner des conditions sur a, b, c pour que la matrice a c
c b soit définie positive.
27. (X-ENS) Lorsque C est un convexe d’unR-espace vectorielE, on dit quea∈C est un point extrémal de C si et seulement siC\ {a}est encore convexe.
a)Quels sont les points extrémaux de la boule unité fermée de R2 muni de la normeN1 ?
b)Montrer qu’un point deCest extrémal si et seulement s’il n’est pas le milieu de deux points distincts deC.
On suppose dorénavant que E est un espace euclidien, la norme euclidienne est notée · . c)On note B la boule unité fermée. Quels sont ses points extrémaux ?
d)Pourf ∈ L(E), on noteN(f) = sup
u∈B
f(u) etC= f ∈ L(E) / N(f)≤1 .
Montrer queC est convexe et que ses points extrémaux sont les automorphismes orthogonaux deE.
On admettra l’existence d’une décomposition polaire : toute matrice A de Mn(R) peut s’écrire A= ΩS avecΩ∈On(R)et S∈ Sn+(R) (matrice symétrique positive).
