1 Fonction caractéristique

mp* 2020-2021 : DM5

18/01/2021

Mines 0 (un énoncé qui n’a jamais été posé, présenté par le concours Mines- Ponts lors de l’apparition des Probabilités au programme).

X 2020 math BSupplément facultatif. L’énoncé math B cette année se compo- sait de 3 parties indépendantes (mutuellement), dont une partie de Probabilités.

Mines Epreuve 0

Dans tout le problème, si Z est une variable aléatoire à valeurs complexes, on dira queZ admet une espérance lorsque|Z|est d’espérance finie. On pose alors

E(Z) =E(Re(Z)) +iE(Im(Z))

On considère la file d’attente à une caisse de supermarché. Il y a un serveur, et un nombre de places infini. Les clients sont servis selon la discipline « premier arrivé, premier servi » (FIFO, « First In, First Out »). On appelle « système » l’ensemble des clients en attente et du client en service. On considère(An, n≥1) la suite de variables aléatoires à valeurs dansNoùA_n représente le nombre de clients arrivés pendant le service du clientn.

On définit la suite(X_n, n≥1)comme suit

X0= 0 etXn+1=







An+1 siXn= 0 Xn−1 +An+1 siXn>0

(1)

Remarque de modélisation :Xn représente le nombre de clients dans le système au moment du départ du clientn.

On suppose que

— Les variables aléatoires(An, n≥1)sont indépendantes et de même loi, de loi commune celle d’une variable aléatoireA,

— Aest à valeurs dansN,

— P(A≥n)>0 pour tout entiern,

— Aa une espérance finie ; on note ρ=E[A].

1 Fonction caractéristique

Dans cette sectionXreprésente une variable aléatoire quelconque à valeurs dans N. On définit sa fonction caractéristiqueφX par

φX : R −→ C t 7−→ E[e^itX]

1. Montrer queφX est continue surRet périodique.

2. SoitX et Y deux variables aléatoires à valeurs dansNtelles que φX=φY. Montrer que X et Y ont même loi.

Indication : on pourra considérer les intégrales

Ik= 1 2π

Z π

−π

φX(t)e^−iktdt

pourk entier.

3. SiE[X]<+∞, montrer queφX est dérivable surRet calculerφ⁰_X(0).

4. Calculer la fonction caractéristique d’une variable aléatoireZ = Y −1 oùY est de loi géométrique de paramètrep.

2 Remarques préliminaires

5. Existe-t-ilM >0tel que P(Xn ≤M) = 1pour toutn≥0? 6. Montrer que pour toutn≥1,Xn+1−Xn ≥ −1.

7. Définir une fonctiongsurN×Ntelle que Xn+1=g(Xn, An+1)

Puis montrer que les variables aléatoiresX_netA_n+1sont indépendantes pour toutn∈N.

3 Convergence

8. Etablir l’identité suivante pour une variable aléatoireXà valeurs entières positives :

E

e^itX1(X>0)

=φX(t)−P(X = 0) 9. Pour tout entiern, établir la relation suivante :

φX_n+1(t) =φA(t)

e^−itφX_n(t) + (1−e^−it)P(Xn= 0) .

On suppose dorénavant0< ρ <1.

On admet qu’alors la suite(P(Xn = 0), n≥1)converge vers une limite, notéeα.

On suppose que|φ_A(t)|<1pour t6∈ {2kπ , k∈Z} (on dit queAn’est pasarithmétique).

On définitθ : [−π, π]→C par

θ(0) = 1 , θ(t) =αφA(t)(1−e^−it)

1−φ_A(t)e^−it pourt6= 0

10. Etablir le développement limité à l’ordre 1 deφ_A au voisinage de0.

11. Que doit valoirαpour queθ soit continue en0?

12. On fixe >0. Pour toutt ∈[−π, π]\ {0}, identifier βt ∈]0,1[tel que, pour tout entiernsuffisamment grand, on ait l’identité suivante :

φX_n+1(t)−θ(t)

≤βt|φX_n(t)−θ(t)|+

13. Montrer que la suite de fonctions(φX_n, n≥1)converge simplement vers θ.

4 Application

On suppose que

φA(t) = 1 1 +ρ−ρe^it 14. Identifier la loi deA.

15. Montrer queφA satisfait les hypothèses requises.

16. Calculerθet identifier la loi dontθ est la fonction caractéristique.

X 2020 Math B (extrait)

Dans tout le sujet, (Ω,A, P) désigne un espace probabilisé sur lequel seront définies les différentes variables aléatoires. On notera P[A] la probabilité d’un événement A⊂ΩetE[X]l’espérance d’une variable aléatoireX sur(Ω,A, P) à valeurs réelles.

On pourra utiliser sans démonstration le résultat suivant : siY₁, . . . , Y_n sont des variables aléatoires réelles discrètes mutuellement indépendantes et intégrables, alors

E[Y1· · ·Yn] =E[Y1]· · ·E[Yn]

On notelog la fonction logarithme népérien. Par convention, on pose log(0) =−∞.

Soitn≥1 un entier naturel et soientX1, . . . , Xn des variables aléatoires réelles discrètes mutuellement indépendantes telles que, pour toutk∈ J1, nK,

P[Xk= 1] =P[Xk=−1] = 1 2 On définit

Sn= 1 n

n

X

k=1

Xk

ainsi que, pour toutλ∈ R,

ψ(λ) = log 1

2e^λ+1 2e^−λ

1. SoitZ une variable aléatoire réelle discrète telle queexp(λZ)est d’ es- pérance finie pour toutλ >0. Montrer que pour toutλ >0et t∈R,

P[Z≥t]≤exp(−λt)E[exp(λZ)]

2. Montrer queP[Sn≥0]≥1 2. 3. Montrer que pour toutt∈R, on a

1

nlog(P[Sn≥t])≤ inf

λ≥0(ψ(λ)−λt) Pour chaqueλ≥0, on pose

m(λ) = E[X1exp(λX1)]

E[exp(λX1)]

ainsi que

Dn(λ) = exp(λnSn−nψ(λ))

4. Montrer que la fonctionmest strictement croissante surR⁺et que pour toutt∈[0,1[, il existe un uniqueλ≥0 tel quem(λ) =t.

5. (a) Pourn≥2et λ≥0, montrer que

E[(X1−m(λ))(X2−m(λ))Dn(λ)] = 0

(b) En déduire que, pourn≥1 etλ≥0,

E[(Sn−m(λ))²Dn(λ)]≤ 4 n

Pour tousn ≥1, λ≥0 et ε >0, on note In(λ, ε) la variable aléatoire définie par

I_n(λ, ε) =







1 si|Sn−m(λ)| ≤ε 0 sinon

6. Montrer que

P[|Sn−m(λ)| ≤ε]≥E[In(λ, ε) exp(λn(Sn−m(λ)−ε))]

7. Montrer que

E[In(λ, ε)Dn(λ)]≥1− 4 nε²

8. (a) En déduire, pour chaque λ ≥ 0 et ε > 0, l’existence d’une suite (un(ε))n≥1 qui tend vers0quand ntend vers+∞et telle que

1

nlog(P[Sn≥m(λ)−ε])≥ψ(λ)−λm(λ)−λε+un(ε) (b) Conclure que pour toutt∈[0,1[,

n→+∞lim 1

nlog(P[Sn ≥t]) = inf

λ≥0(ψ(λ)−λt) (c) La formule précédente est-elle encore valide pourt= 1?