Semaine 9

Colle PC Semaine 9 _2011-2012

Suites et séries de fonctions

EXERCICE 1 :

Étudier la convergence simple et normale de la série de fonctions de terme général : f n (x) = nx ² e ^{− x √ n} sur R ⁺

EXERCICE 2 :

Étudier la convergence simple et normale de la série de fonctions de terme général : f n (x) = 1

n + n ³ x ² sur R ^∗ ₊

EXERCICE 3 :

Étudier la convergence simple et normale de la série de fonctions de terme général : f n (x) = ( − 1) ⁿ x

(1 + x ² ) ⁿ

EXERCICE 4 : Soit f (x) =

+ ∞

X

n =1

( − 1) ⁿ ln(nx)

1. Quel est le domaine de définition de f ? On étudie ensuite f sur ]1; + ∞ [.

2. Continuité de f et limites de f en 1 et + ∞ .

3. Montrer que f est de classe C ¹ sur ]1; + ∞ [ et dresser son tableau de variation.

EXERCICE 5 :

Étudier la convergence de la série de terme général u n (x) = xe ^{− nx}

ln n (n > 2) sur l’intervalle [0; + ∞ [.

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Éléments de corrections EXERCICE 1 :

Série de fonctions de terme général : f n (x) = nx ² e ^{− x √ n} . 1. Convergence simple :

si x < 0, f n (x) −→

n → + ∞ + ∞ . La série de terme général f n (x) diverge grossièrement.

Si x = 0, La série de terme général f n (x) converge car f n (0) = 0.

Si x > 0, n ² f n (x) = n ³ x ² e ^{− x √ n} = e ^{− x}

√ n (1+3

n

) donc f n (x) =

n →+∞ o 1

n ²

donc convergence de la série de terme général f n (x).

2. Convergence normale :

∀ n ∈ N , f n est une fonction dérivable sur R ⁺ , et f n ^′ (x) = nx(2 − x √ n)e ^{− x √ n} . On en déduit assez facilement que :

k f n k ∞ = sup

x ∈ [0;+ ∞ [ | f n (t) | = f n

2

√ n

= 4 e ² La convergence n’est donc pas normale sur R ⁺ .

En revanche, pour tout a > 0, la série de fonctions de terme général f n , n ∈ N , converge normalement sur [a, + ∞ [.

f n est décroissante sur [a; + ∞ [ dés que n > 4

a ² ( car 2

√ n 6 a ) donc ∀ x ∈ [a, + ∞ [, sup

x ∈ [ a ;+ ∞ [ | f n (x) | = f n (a) et la série de terme général f n (a) est convergente.

EXERCICE 2 :

Série de fonctions de terme général : f n (x) = 1 n + n ³ x ² . 1. Convergence simple :

Si x = 0, La série de terme général f n (x) ne converge pas car f n (0) = 1 n . Si x > 0, f n (x) _n ∼

→ + ∞

1

n ³ x ² donc convergence de la série de terme général f n (x).

2. Convergence normale :

Soit n ∈ N ^∗ . La fonction f n est décroissante et positive sur ]0, + ∞ [. Ainsi sup

x ∈ ]0;+ ∞ [ | f n (t) | = f n (0) = 1

n . Puisque la série numérique de terme général 1

n diverge, la série de fonctions de terme général f n , n ∈ N ^∗ , ne converge pas normalement sur R ^∗ ₊ .

En revanche, pour tout a > 0, la série de fonctions de terme général f n , n ∈ N ^∗ , converge normalement sur [a, + ∞ [.

f n est décroissante sur [a; + ∞ [ donc ∀ x ∈ [a, + ∞ [, sup

x ∈ [ a ;+ ∞ [ | f n (t) | = f n (a) et la série de terme général f n (a) est convergente.

EXERCICE 3 :

Série de fonctions de terme général : f n (x) = ( − 1) ⁿ x (1 + x ² ) ⁿ . 1. Convergence simple :

Si x = 0, La série de terme général f n (x) converge car f n (0) = 0.

Si x > 0, la suite

x (x ² + 1) ⁿ

est une suite géométrique de premier terme x > 0 et de raison 1

x ² + 1 ∈ ]0; 1[. La série de terme général f n (x) est donc une série alternée et les conditions d’application du CCSA étant remplies, la série converge.

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Si x < 0, grâce au fait que f n est impaire ; on a pour tout entier naturel n, f n (x) = − f n( − x), la série numérique de terme général f n(x) converge.

2. Convergence normale :

Soit n ∈ N ^∗ . La fonction f n est dérivable sur R . On pose g n = ( − 1) ⁿ f n ∀ x ∈ R , | g ^′ n (x) | = 1 − (2n − 1)x ² (1 + x ² ) ^{n +1} Compte-tenu des propriétés de la fonction g n (positive , croissante sur

0; 1

√ 2n − 1

et décroissante sur 1

√ 2n − 1 ; + ∞

, impaire), on a :

k f n k ∞ = sup

x ∈R | f n (x) | = 1

√ 2n − 1

1 − 1 2n

ⁿ

On utilise un DL d’ordre 1, de

1 − 1 2n

ⁿ

= exp

n ln

1 − 1 2n

et l’on obtient : k f n k ∞ _n ∼

→ + ∞

√ 1 2e × √

n

La série de terme général f n (x) ne converge donc pas normalement sur R car la série de terme général k f n k ∞

diverge.

EXERCICE 4 : Correction :

exercice 6 −→ http://www.maths-france.fr/MathSpe/Exercices/08_SuitesSeriesDeFonctions_Corrige.pdf (attention, allusion à la convergence uniforme qui n’est pas au programme des PC. Se rabattre sur la convergence normale ...)

EXERCICE 5 :

• u n (0) = 0 ;

• Pour x > 0, u n (x) = o 1

n ²

donc la série de terme général u n (x) converge simplement sur [0; + ∞ [.

On étudie les variations de la fonction x 7−→ xe ^{− x} donne sup

x ∈ [0;+ ∞ [

xe ^{− x} = 1 e . En écrivant u n (x) = nxe ^{− nx}

n ln n , on obtient : sup

x ∈ [0;+ ∞ [

u n (x) = 1

en ln n et donc comme u n (x) > 0 : k u n k ^[0;+ ∞ ^{∞ [} = 1

en ln n Comme la série X 1

n ln n est divergente (série de Bertrand), X

u n ne converge pas normalement sur [0; + ∞ [.

Soit a > 0, k u n k ^[a;+ ∞ ^{∞ [} = u n (a) et la convergence de X

u n (a) donne la convergence normale sur [a; + ∞ [ de la série de fonctions X

u n .

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