PSI* 2019/2020
Révisions par chapitres — analyse
1. (Télécom Sud Paris) Montrer que Pn(x) = xn −nx+ 1 admet une unique solution an dans [0,1].
Calculer la limite de anet en donner un équivalent.
2. (X-ENS) Soit I un intervalle non trivial de R. On pose T = (x, y)∈I2 / x < y . Soient (x1, y1), (x2, y2) dans T etu:t→(1−t)x1+tx2,v:t→(1−t)y1+ty2. Montrer que u(t), v(t) ∈ T pour tout tde[0,1].
Soit f :I →R continue et injective. Montrer que quef est strictement monotone.
Soit f dérivable sur I et(a, b)∈ T tel quef′(a)f′(b)<0. Montrer que : ∃c∈]a, b[ f′(c) = 0. Quel théorème en déduit-on ?
Déterminer les fonctions f deux fois dérivables surR, ne s’annulant pas et telles que |f′′|=f. 3. (CCP) Montrer que : ∀n∈N∗ ∀x∈R x2n−1 = x2−1
n−1
k=1
x2−2xcoskπ n + 1 . En déduire la valeur de
π 0
ln a2−2acosθ+ 1 dθ, pour|a|= 1.
4. (Centrale) Déterminer lim
n→∞
n
k=1
1 k(n+k). 5. (Mines) Nature des séries de terme général :
un= (−1)n
n3/2−n1/2 ; vn= ln 1 +(−1)n
√n ; wn= sinπ n2+ 1 ; xn= (−1)nn1/nsin1 n.
6. (CCP) En utilisant la série exponentielle, déterminer un entier Nn et un réel Γn, dont on donnera un encadrement, vérifiant √
e2n−1n! = 2Nn+n+1
2 + Γn. Nature de la série cos π√
e2n−1n! ?
7. (X-ENS) On considère une suite (Xn)n∈N∗ de variables aléatoires d’un espace probabilisé (Ω,A, P) telles que, pour tout ndeN∗,Xn prend ses valeurs dans 0,1
n, . . . ,n−1
n et vérifie :
∀k∈[[0, n−1]] P Xn= k
n =αn ek/n−1
où αn est un réel que l’on précisera. Donner un équivalent deαn quand ntend vers l’infini.
Pourn≥2, on noteFn la fonction de répartition de Xn. CalculerFn(x) pour tout réelx.
Montrer que(Fn)converge simplement surRvers une fonctionf continue dont on donnera l’expression.
Montrer que (Fn) converge uniformément versf sur R.
On pourra démontrer puis utiliser le second théorème de Dini : si une suite de fonctions croissantes converge simplement sur un segment[a, b]vers une fonction continue, alors la convergence est uniforme (pour ε >0fixé, penser à utiliser une subdivision bien choisie de [a, b]).
8. (X-ENS) Montrer que l’ensemble des fonctions lipschitziennes deRdansRest un sous-espace vectoriel deC0(R,R). Montrer queF ={f ∈E / f(0) = 0}est un sous-espace deE; donner un supplémentaire deF dans E.
Soit t ∈]0,1[et φ qui àf ∈F associe g :x−→ f(x)−f(tx). Montrer queφ est un endomorphisme deF ; est-il injectif ?
On veut montrer que c’est un isomorphisme. Pour g ∈ F, on suppose qu’il existe f ∈ F telle que g=φ(f). Exprimer n−1
k=0
g tkx pour n∈N∗ et conclure.
Déterminer toutes les fonctions f deF vérifiant : f(x)−2f(tx) +f t2x =x.
9. (CCP) Nature de la série de terme général 1 nα
+∞
n
√ dt
1 +t7 ?
10. (Centrale) Montrer que : ∀α∈]0,1[ ∃C ∈R
n
k=1
1 kα =
n→∞
n1−α
1−α+C+o(1).
11. (CCP) Soit f ∈ C0(R,R) telle quelim
+∞f =ℓ. Montrer quee−x
x 0
etf(t) dt −→
x→+∞ℓ.
12. (Centrale) Déterminer les ensembles de définition respectifsDf et Dg de f :x→
∞
n=0
(−1)n e−nx
n+ 1 et g:x→
∞
n=0
(−1)n e−nx n2+ 1. Montrer que f est continue surDf et que g est C1 surDg.
13. (Centrale) Nature de
+∞
1
(x+ 1)−b√
x2+ 2x+ 2− a
x dx ? Discuter selon (a, b).
14. (ENSEA) Existence deI =
+∞
0
sin3t
t2 dt. Calculer lim
a→0 3a a
sint
t2 dt. En déduire la valeur deI.
15. (CCP) f :x→ (−1)E(1/x)
x est-elle intégrable sur]0,1] ? Existence et valeur de
1 0
f.
16. (X-ENS) Soit f : [1,+∞[→R+∗ de classe C1 telle quelim
+∞
f′
f =p∈R+∗. On pose an=
n+1 n
f pour toutn∈N∗. Montrer que an diverge et que an∼ ep−1 p f(n).
En déduire que
n
k=1
f(k)∼ p ep−1
n+1 1
f. Donner un équivalent simple deSn=
n
k=1
2klnk.
17. (CCP) Soit x∈]0,1[, montrer que
+∞
0
ln 1 +xe−t dt existe. Transformer cette intégrale en série.
18. (X-ENS)On considère les deux espacesE= f ∈ C2([0,1],C) / f(0) =f(1) = 0 etF =C0([0,1],C), munis de la norme N∞ de la convergence uniforme sur[0,1].
Montrer que φ:f →f′′ est un isomorphisme de E dansF. Soit g∈F ; montrer queG:x→
1
0 |x−t|g(t) dt estC2 sur [0,1]et calculerG′′. En déduire une applicationk: [0,1]2→Ctelle que : ∀g∈F ∀x∈[0,1] φ−1(g) (x) =
1 0
k(x, t)g(t) dt.
Existence et calcul de sup
N∞(g)≤1
N∞ φ−1(g) .
19. (CCP) Déterminer l’ensemble de définitionI def :x→
+∞
1
tlnt
(1 +t2)xdt. Montrer quef est dérivable sur I, convexe (c’est-à-dire de dérivée croissante). Déterminer lim
1+ f,lim
+∞f. 20. (TPE) Soit F(α) =
R+∗
1−cosαt
t2 e−tdt. Existence de F(α), montrer queF est C2, calculerF. 21. (CCP) Ensemble de définition de f :x−→
+∞
0
te−xt
et−1dt. Calculer sa limite en+∞.
Pour x >0, calculer f(x−1)−f(x) et en déduire une expression def comme somme d’une série de fonctions. Quelle autre méthode aurait-on pu utiliser ?
22. (Centrale) Rayon de convergence et somme des séries entières unxn
n! et vnxn
n! où les deux suites numériques(un)et(vn)sont définies par la donnée deu0, v0et les relations : ∀n∈N un+1=un+ 2vn
vn+1 =un+vn . 23. (CCP) Rayon de convergence Ret calcul de
∞
n=1
(−1)n
n·3n ·xn. Nature de la série en ±R? 24. (ENSAM) Déterminer les fonctions f continues deRdans Rtelles que
∀x∈R 3 arctanx+x2f(x) = 2x
x 1
f(t) dt.
25. (CCP) Résoudre y′′−3y′+ 2y =√
1 +e−x.
26. (X-ENS) Intégrer x2−2x y′′+ 6 (x−1)y′+ 6y = 0, avecy(1) = 0ety′(1) = 1.
27. (CCP) Donner une série entière solution de : x2y′′+ (3x−1)y′+y= 1 (1−x)2. 28. (Mines) Intégrerxy′′−y′+ 4x3y= 0à l’aide du changement de variable x2 =t.
29. (Centrale) Existe-t-il des solutions C1 surR dey′+ 2√y= 0?
30. (X-ENS) Soit g une fonction de RdansR, continue et intégrable sur R. Montrer que, si y est une solution bornée de(E) y′′+gy= 0, alors y′(x) −→
x→+∞0.
Montrer que, si y1 et y2 sont deux solutions bornées de (E), alorsy1y2′ −y1′y2 = 0.
En déduire que (E) admet des solutions non bornées.
31. (X-ENS) Soient a,bdeux fonctions continues de Rdans Ret(E) y′′+ay′+by = 0.
a)Si y est une solution non nulle de(E)s’annulant en x0, montrer que :
∃δ >0 ∀x∈]x0−δ, x0+δ[\ {x0} y(x) = 0.
b)Si (y1, y2) est un système fondamental de solutions de (E), montrer qu’entre deux zéros successifs dey1, il existe un unique zéro dey2.
32. (CCP) SurR+∗×R,x∂f
∂x +y∂f
∂y = y
x. Trouver f à l’aide du changement de variablesu=x etv= y x. 33. (Centrale)TrouverM etN sur l’ellipse d’équation x2
a2+y2
b2 = 1tels que le triangleSMN (oùS= (a,0)) ait une aire maximale. Calculer cette aire.
34. (Centrale) Pour θ réel fixé, déterminer les valeurs de p(θ) pour lesquelles la droite Dθ d’équation xcosθ+ysinθ=p(θ) est tangente à l’ellipseE d’équation x2
a2 + y2 b2 = 1.
En déduire l’aire maximale d’un rectangle circonscrit à E.
35. (CCP) Soient a,b réels non nuls ; on considère l’arc paramétré défini par x(t) = 2t+a3
t2 ; y(t) =t2+2b3 t .
Condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait un point de rebroussement ? Un point double ? 36. Soit C la courbe de R2 d’équation cartésienneex−y = 1 + 2x+y. Montrer que le point O= (0,0) est
un point régulier deC. Déterminer la tangenteT en Oà C ainsi que la position deC par rapport à T. 37. Soit S la surface de R3 d’équation cartésienne x2+y2 −z2 = 1. Déterminer les plans tangents à S
contenant la droite Dd’équations cartésiennes x= 1 y=z+ 2 .
