Activité : rappels sur la dérivée et méthode d'Euler. I Rappels Soit f

Activité : rappels sur la dérivée et méthode d'Euler.

I Rappels

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Le réel a étant un élément de I. Compléter la phrase suivante :

Le point M de coordonnées (x₀ ; y₀) appartient à la courbe (C_f ) représentative de la fonction f.

Compléter les phrases suivantes :

•Le coefficient directeur de la tangente en M à (C _f) est f ' (x0 )

•Le point de coordonnées (x₀ + 1 ; y0 + f ' ( x0) ) appartient à la tangente en M à la courbe (C _f).

•Le point A d'abscisse x₀ + h qui appartient à la tangente en M0, à la courbe (C_f), est tel que :

yA – y0

h = f ' (x0 ) yA = y₀ + h f ' (x0)

Le point A est proche de la courbe (C_f), donc yA ≈ f (x0 + h)

Propriété de la dérivée :

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I et x0 un réel de I.

Pour tout réel h non nul et proche de 0 tel que x0 + h soit dans I on a : f (x0 + h) ≈ f (x0 ) + h f ' (x0 )

Donc sur l'intervalle d'extrémités x0 et; x0 + h la courbe (C_f) peut être "approchée" par le segment porté par la tangente au point de coordonnées (x0 ; f(x0)), dont les extrémités ont pour abscisses respectives x0 et x0 + h.

Méthode d’Euler : on trace des segments proche de la courbe représentative de

f M0 (x0 ; y0) est le premier point de la courbe (C) représentative de f. : y0 = f (x0)

Soit h un réel non nul, proche de 0 ; en général on divise I= [a ; b] en n intervalles et on choisit h = b – a n.

On pose x1 = x0 + h ; alors f (x0 + h) ≈ f (x0) + h f ’(x0).

On pose y1 = f (x0) + h f ' (x0) = y0 + h f ' (x0) donc y1 ≈ f (x1)

Sur l'intervalle [x0 ; x1 ], la courbe représentative de f est proche du segment [M0M1] avec M1(x1 ; y1).

On recommence le procédé de proche en proche: x2 = x1 + h, …,

x

n

= x

n-1

+ h

, grâce à la propriété de la dérivée citée ci-dessus, les valeurs approchées de f (x2), …, f (xn) c'est à dire y 2 , …, yn

f (x1 + h) ≈ f (x1) + h f ’(x1) soit f (x2) ≈ y2 =y1 + h f ' (x1).

Pour p allant de 1 à n-1 :

y

p+1

=y

p

+ h f ' (x

p

).

Représentation graphique

On place ensuite, par exemple avec un logiciel tableur, les points A0 (x0 ; y0) ; M1(x1 ; y1) ; M2(x2 ; y2) ; … ; Mn(xn ; yn).

La courbe constituée des segments [M0M1], [M1M2], …,[Mn-1Mn] approche la courbe exacte (C) de f. Cette courbe approchée représente une fonction affine par intervalles.

Si on connait l'expression de la dérivée d'une fonction, avec un point de départ de la fonction f ( une condition initiale ), la méthode d’Euler permet de tracer une courbe approchée de celle de f.

Exemple :

On suppose qu'il existe une fonction f définie sur [ 0 ; 2] telle que f

' ( x) = 2 x et f (0 ) = -1.

On décide de partager l'intervalle [ 0 ; 2 ] en quatre intervalles [ 0 ; 0,5 ] [ 0,5 ; 1] ; [1;1,5] et [ 1,5 ; 2 ] : Données : x0 = 0 ; y0 = -1 et h = 0,5 .

x1 = 0,5 ; x2 = 1 ; x3 = 1,5 ; x4 = 2

f

(x

1

) ≈ y

1

= y

0

+ h f ' (x

0

) = -1 + 0,5 × 0 = -1 f (x

2

) ≈ y

2

=y

1

+ h f ' (x

1

) = -1 + 0,5 × 1 = - 0,5 f (x

3

) ≈ y

3

=y

2

+ h f ' (x

2

) = - 0,5 + 0,5 × 2 = 0,5 f (x

4

) ≈ y

4

=y

3

+ h f ' (x

3

) = 0,5 + 0,5 × = 3 2

Cette méthode peut être mise en œuvre en utilisant un tableur:

Dans la cellule C1 : donner le pas h.

Dans la cellule A2 écrire xn, dans la cellule B2 : écrire yn.

Dans la cellule A3 donner la valeur de x0, dans la cellule B3 : y0.

Dans la cellule A4 taper « = A3 + $C$1 », dans la cellule B4 taper

« =B3 + $C$1×2×A3 » .

Faire un copier-glisser de ces formules jusqu'à la valeur xn souhaitée.

Sélectionner la plage A2 :B2 et créer une courbe sans lissage.

Diminuer le pas h à 0,1 et tracer la courbe trouvée ainsi que celle de la fonction x² – 1 : Comparer.

Applications

1° On considère la fonction f définie sur [0 ;3] vérifiant f ( 0 ) = 1 et pour tout réel x : f ' ( x ) = f(x).

Partie 1 : tracé de la courbe.

On choisit h = 0,1

a) Calculer par la méthode d’Euler les valeurs approchées de f (0,1), à f (0,4). On donnera des valeurs arrondies à 10^-3 près . Compléter votre tableur comme celui ci-contre.

Quelles formules faut il écrire dans les cases A5 et B5 dans le but d'utiliser la fonction copier-glisser pour recopier les formules dans les cases dessous?

Compléter votre tableau et tracer la courbe ainsi trouvée.

Partie 2 : compléments sur cette fonction c) En reconnaissant une suite particulière, exprimer xn en fonction de n et h.

En reconnaissant une suite particulière, exprimer yn en fonction de n et h.

d) On prend h = 1 10 .

Trouver la valeur de n telle que xn = 1 et yn ≈ f(1) . Donner une valeur approchée de f (1) avec le tableur.

On prend h = 1 100 .

Trouver la valeur de n telle que xn = 1et yn ≈ f(1).

Donner une valeur approchée de f (1)avec le tableur.

Par quelle suite peut on approchée f (1) ?

Comment définir h, en fonction de n et x, pour que xn = x et yn ≈ f

(x ) ?

En déduire une valeur approchée de f (x ) en fonction de n

.

2° Tracer une courbe approchée de celle représentative de la fonction f définie sur [-3 ;3]vérifiant : f ' ( x ) = f(x) et f ( 0 ) = 1 Aide utiliser un pas de h = 0,1 dans le première partie du tableau puis h = - 0,1 dans la seconde.

3° Tracer une courbe approchée de celle représentative de la fonction f définie sur [0,1 ;3] vérifiant : f ' ( x ) = 1

x et f ( 1 ) = 1 4° Tracer une courbe approchée de celle représentative de la fonction f définie sur [-10 ;10] vérifiant : f ' ( x ) = 1

1x² et f ( 0 ) = 0