Semaine 9 PC

Semaine 9 PC

Année scolaire 2010/2011

Soit f : ]a;b[ ℝⁿ dérivable en x_0.

a. Montrer que g définie par : gx=∥fx∥² est dérivable en x₀ et calculer g 'x₀_. b. En déduire la dérivée en x₀ de la fonction : x ∥fx∥^{k , k∈ℝ .}

L'expression obtenue a-t-elle toujours un sens ?

__________________________

Soient f et g deux fonctions continues sur [a;b] et dérivable sur [a;b]. On suppose que fa=fb et ga=gb. Montrer que f 'fg ' admet un zéro sur [a;b].

_________________________

On considère la fonction f : ℝ^* ℝ x e^–1/x2

Montrer que f peut se prolonger par continuité sur r. Montrer que la fonction ainsi obtenue est dérivable en 0 et calculer f '0. Montrer qu'elle est indéfiniment dérivable en 0 et montrer que

f^k0=0 pour tout k ∈ ℕ^*.

En déduire que f est de classe C^∞.

_________________________

Soit I un intervalle de ℝ et h : I ℂ dérivable telle que ∀t∈ I , ht≠0. Montrer que ∣h∣ est croissante si et seulement si Re





_________________________

Soit n∈ℕ^* , f ∈ Lℝⁿ et  : ℝ définie par ℝ ∀t∈ℝ ,  t=detId_ℝⁿtf. Montrer que  est dérivable en 0 et calculer '0.

(on pourra penser à écrire le déterminant dans la base canonique de ℝⁿ⁾

__________________________

Soit f : ℝ ℝ de classe C^∞ telle que :

• ^∀n∈ℕ _, f^n0=0 ,

• ∃0 tq ∀n∈ℕ, supℝ∣f^n∣ⁿn!

Montrer que f est nulle sur l'intervalle

]

[

2010©My Maths Space Page 1/2 1

2

3

4

5

6

Semaine 9 PC

Indications et solutions :

gx=∥^fx∥²⁼

∑

i=1

n f_i²x_{. Comme} g est dérivable en x₀, on a : g 'x₀=

∑

i=1

n 2f_ix₀f 'x₀_. On pose hx=∥fx∥^k=[gx ]^k/2, on a donc :

h 'x₀=k

2[gx₀]^k/2–1g 'x₀=k

∥

∥

∑

i=1 n

f_ix₀f '_ix₀ Une discussion s'impose :

Si k2, l'expression a toujours un sens.

Si k2, l'expression a un sens si et seulement si :

∥

∥

On applique le théorème de Rolle à : h=fe^g Théorème de Rolle : Soit h : [a;b] ℝ Si

{

h est dérivable sur]a ; b[ ha=hb

, alors il existe c ∈ ]a;b[ tel que h 'c=0

On note e_i la base canonique de ℝⁿ et c_i=f e_i pour tout i∈[[1 ;n] ].

On a t=dete₁tc₁;e₂tc₂;;e_ntc_n. Compte-tenu des propriétés du déterminant (forme n- linéaire alternée),  n'est autre qu'un polynôme de degré n (le développement de t comporte 2ⁿ termes ...).  est donc dérivable sur ℝ.

'0 n'est autre que le coefficient du terme en t dans le développement de t.

'0=detc₁,e₂,..., e_ndete₁, c₂,...,e_ndete₁,e₂,..., c_n Or ∀j∈[[1 ;n] ], c_j=

∑

i=0 n

_ije_i, d'où dete₁,..., e_{j –1}, c_j, e_j1,, e_n=_{jj donc :}

'0=₁₁₂₂..._nn

On applique la formule de Taylor avec reste intégral en 0 au rang n –1. Formule de Taylor avec reste intégral:

Soient I un intervalle de , ℝ n , ∈ ℕ f une fonction(réelle) définie sur I de classe C^{n1 sur I, a et b}

deux réels de I. On a alors :

fb =

∑

k=0

n b – a^k

k! f^ka +

∫

a

b b – xⁿ

n! f^n1xdx

On a : fx=

∫

0

x x – t^{n –1}

n –1! f^ntdt compte-tenu de f^n0=0. Ainsi ∣fx∣≤

∫

0

x x – t^{n –1}

n –1! ∣f^nt∣dt ⇒ ∣fx∣≤sup_ℝ∣f^n∣

∫

0

x x – t^{n –1}

n –1! dx ⇒ ∣fx∣ⁿn!

[

]

et on trouve ∣fx∣ⁿx^{n ⇔} ∣fx∣xⁿ. Or pour x ∈

]



[

2010©My Maths Space Page 2/2 2

5

6 1