Electrostatique : révisions de PCSI Compléments
I) Electrostatique ; révisions de PCSI :
1 – Loi de Coulomb, calculs direct du champ et du potentiel :
* Gradient d’une somme et d’un produit :
[ f ( r ) g ( r ) ] grad [ f ( r ) ] grad [ g ( r ) ]
grad r r r r
+
= +
[ f ( r ). g ( r ) ] g ( r ). grad [ f ( r ) ] f ( r ). grad [ g ( r ) ]
grad r r r r r r
+
=
* En tout point, le gradient du champ scalaire f (r r )
est perpendiculaire à la surface de niveau (la surface iso-f) passant par ce point et il est dirigé suivant la direction de variation la plus rapide de
) (r f r
, dans le sens des valeurs croissantes de f (r r ) .
Exemple en électrostatique : les lignes de champs sont perpendiculaires aux équipotentielles et le champ est dirigé vers les potentiels décroissants (car E r grad ( V ( r r ))
−
= .
2 – Topographie du champ électrostatique, lignes de champs et surfaces équipotentielles :
3 – Le théorème de Gauss, équations locales de l’électrostatique :
Ce théorème a été démontré en 1 ère année ; on peut l’utiliser comme point de départ pour démontrer la relation de Green-Ostrogradsky et présenter l’interprétation locale de l’opérateur divergence.
On considère un volume élémentaire en coordonnées cartésiennes dτ = dxdydz. On montre que le flux élémentaire sortant de ce volume vaut :
τ z d E y E x
d E x y z
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂ Φ
Soit : (interprétation locale de la divergence)
E d div
d r
Φ = τ L’écriture locale du théorème de Gauss s’en déduit :
ε 0
= ρ E div
r
Et on démontre ainsi le théorème de Green-Ostrogradsky : (valable finalement pour tout champ vectoriel)
τ τ soit E n dS div E d d
E div d
r r r
r ∫∫ = ∫∫∫
=
Φ .
Equations locales :
Remarque sur les opérateurs : Retour sur l’opérateur « gradient » :
z y
x u
z u V y u V x V V V
grad r r r r
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇
=
z y
x u
u z u y
x
r r
r r
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇ (opérateur « nabla »)
E E div
r r r
∇ .
= E E
rot
r r r
∧
∇
=
On retrouve alors facilement les expressions des ces opérateurs mais en coordonnées
cartésiennes uniquement ! (dans les autres systèmes de coordonnées, il faut soit utiliser un
formulaire ou alors retrouver l’expression de ces opérateurs quand par exemple les symétries sont
fortes et seule la distance r intervient).
En coordonnées cylindriques :
z A A
r r rA r z rA A
r rA A r
div r z r z
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= 1 ∂ ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) θ
θ
θ
r θ
Et en coordonnées sphériques :
ϕ θ θ
θ θ ϕ
θ θ θ
θ
θ ϕ θ ϕ
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂ ( )
sin 1 ) (sin sin
1 ) ( ) 1
) ( sin ( ) sin ( sin
1 2
2 2
2
A r
A r
r A r r A rA
r r
A r r
A
div r r
r
* Divergence d’une somme et d’un produit :
[ V ( r ) W ( r ) ] div [ ] V ( r ) div [ W ( r ) ]
div r r r r r r r r
+
= +
[ f ( r ) V ( r ) ] grad f ( r ). V ( r ) f ( r ) div [ ] V ( r )
div r r r r r r r r r
+
=
* Rotationnel d’une somme et d’un produit :
[ V ( r ) W ( r ) ] rot [ ] V ( r ) rot [ W ( r ) ]
rot r r r r r r r r
+
= +
[ f ( r ) V ( r ) ] grad f ( r ) V ( r ) f ( r ) rot [ V ( r ) ]
rot r r r r r r r r r
+
∧
=
[ V ( r ) W ( r ) ] rot V ( r ). W ( r ) V ( r ). rot W ( r )
div r r r r r r r r r r r r
−
=
∧
(Voir le chapitre sur l’analyse vectorielle et un formulaire d’analyse vectorielle) 4 – Exemples de calculs de champs et de potentiels :
Voir TD.
5 – Relations de passage pour le champ :
6 – Equation de Poisson : En utilisant l’opérateur nabla : E = − ∇ V
r r
. Par conséquent :
0 ) .(
;
r r r r r r
r r r
=
∧
∇
∇
=
∧
∇
=
= rot A A div B A
B
Il est encore noté : ∆ = ∇ 2 r
7 – Energie électrostatique :
a – Energie d’interaction de deux charges ponctuelles :
b – Cas d’une distribution discrète de n charges ponctuelles :
c – Energie électrostatique d’une sphère uniformément chargée :
On établit l’expression de l’énergie électrostatique d’une sphère de rayon a uniformément chargée en volume, de charge totale Q et de densité volumique de charges ρ.
On construit de manière réversible la sphère en amenant de l’infini la charge dq = 4 π r 2 ρ dr , qui
passe donc du potentiel nul au potentiel de la « sphère » en construction , de rayon r :
0 2 3
0
0 3
3 4 4
1 ) ( 4
) 1
( ε
ρ ρ π πε πε
r r
r r
r r Q
V = = =
Le travail élémentaire qu’il faut fournir est alors :
[ V r V ] dqV r r dr r r dr
dq dE W
W élect P 4
0 2
0 2 2
3 4 4 3
) ( )
( )
( ε
πρ ε
ρ ρ π δ
δ = − = = − ∞ = = =
On en déduit :
a a q
dr r
E él a 1
20 3 15
4 3
4
0 2 5
0 2 4
0 2
0 ε πε
πρ ε
πρ = =
= ∫
On peut aussi généraliser la relation obtenue dans le cas de n charges ponctuelles : τ
ρ M V M d
E él espace ( ) ( )
2 1
)
∫∫∫ (
=
Ici, l’intégration se limite au volume de la sphère de rayon a. Avec : ) 3
6 ( ) (
; )
( 2 2
0
r a M
V cste
M = = = −
ε ρ ρ
ρ
Alors :
5 0
2 2
2 2
0 0 15
4 4 ) 3
6 ( 2
1 a r r dr a
E él a
ε π πρ
ε
ρ ρ − =
= ∫
On peut également utiliser la densité volumique d’énergie électrostatique :
+
=
= ∫∫∫ espace ∫ a ∫ a ∞
él r dr
r dr a
r r d
E
E 0
2 2 2 0
3 2
2
0 0
2 ) 0
( 1 4
4 3 3 2
1 2
1 π
ε π ρ
ε ε ρ
τ ε
et on obtient là encore le même résultat.
Par analogie, on en déduit l’énergie gravitationnelle d’une étoile (ou d’une planète) de masse M et de rayon a :
GM a
E grav 1
5
3 2
−
=
II) Dipôle électrostatique :
1 – Définition, exemples :
2 – Calcul du potentiel dans le cadre de l’approximation dipolaire :
3 – Champ électrique du dipôle, topographie :
4 – Action d’un champ électrique extérieur, énergie potentielle d’interaction :
Compléments :
5 – Quadripôle électrostatique : Voir exercice
III) Equilibre électrostatique des conducteurs : 1 – Conducteur en équilibre électrostatique :
2 – Propriétés des conducteurs en équilibre :
On peut également obtenir ce dernier résultat à partir de l’équation de MG,
ε 0
= ρ E div
r
. Localement, les charges des ions positifs sont compensées par les charges des électrons.
Cette épaisseur est de l’ordre de 0,1 nm dans le cas du cuivre. La densité superficielle de charges n’est en général pas uniforme : elle dépend de la forme du conducteur et des autres conducteurs et charges en présence.
3 – Théorème de Coulomb :
Sens des lignes de champ :
+ + + + + - - - - -
4 – Pression électrostatique :
Autre méthode de raisonnement :
On se place dans une modélisation surfacique. Une surface élémentaire dS du conducteur est soumise à la force :
E ext
dS f
d r r
) ( σ
= où E ext
r
désigne le champ électrique créé par les autres charges du conducteur (et éventuellement d’autres contributions). Soit E propre
r
le champ dû aux charges portées par la surface dS, alors on a :
n E
E
E r ext r propre r tot r
ε 0
= σ
= +
Si on assimile la surface dS, localement, à un plan infini chargé σ, alors E r propre n r 2 ε 0
= σ et, par
conséquent, E r ext n r 2 ε 0
= σ . La force qui s’exerce alors sur dS devient :
n dS E
dS f
d r r ext r
0 2
) 2
( ε
σ = σ
=
D’où la pression électrostatique,
0 2
2 ε
= σ P e .
5 – Exemples de topographie de champs en présence de conducteurs, résolution du problème de Laplace :
En présence de conducteurs placés dans le vide (problème de Laplace), le potentiel électrostatique V(M) vérifie :
• L’équation de Laplace en tout point : ∆V = 0
• La valeur du potentiel est imposée sur les surfaces des conducteurs (à l’infini, la valeur du
potentiel est choisie conventionnellement égale à 0)
Exemple : interprétation du sens des lignes de champ
On considère le système de trois conducteurs représenté sur la figure suivante. Le potentiel à l’infini est nul. Sans effectuer de calcul, préciser le signe des différents potentiels V 1 , V 2 et V 3 et la relation d’ordre qui existe entre eux.
∞
∞
∞
∞
∞
C
1C
2C
3Réponses : V 3 < 0 ; V 2 > 0, V 1 > 0, V 1 > V 2 et V 1 > V 3 .
Exemple : influence d’une charge ponctuelle q positive sur une sphère isolée neutre
Une boule métallique de rayon R est reliée à la Terre (son potentiel est donc nul). On place à une distance d du centre de la boule une charge ponctuelle q > 0.
a) Où se trouvent les charges et commenter leur signe.
b) En calculant le potentiel au centre de la boule, calculer la charge Q portée par cette dernière.
c) Tracer les lignes de champ.
d) La boule est désormais isolée et porte une charge totale nulle (la charge q est toujours présente). Quel est le potentiel de la boule ? Tracer les lignes de champ.
Réponses :
a) La boule acquiert une densité surfacique de charges ; des charges (venant de la Terre) négatives vont être attirées sur la boule. Le potentiel de la boule reste nul puisqu’elle est reliée à la Terre.
b) Le potentiel au centre de la boule est nul :
d q Q R d soit
q R
O Q
V = + = 0 = −
4 1 4
) 1 (
0
0 πε
πε On remarque bien que Q < 0.
c) L’allure des lignes de champ est obtenue à partir du logiciel « Equipotential » :
Comme l’infini et la boule sont au même potentiel nul, aucune ligne de champ ne peut partir de l’un pour aller à l’autre.
Les lignes de champ partent donc de la charge q pour aller soit à l’infini soit sur la boule.
d) La boule étant isolée, sa charge reste nulle ; des charges positives se déplacent vers la droite et des charges négatives vers la gauche.
L’allure des lignes de champ est :
Son potentiel vaut :
q O q
V 1 0 1 1
)
( = + =
Une sphère métallique (S) neutre, de centre O et de rayon a, est plongée dans un champ électrique uniforme E r E u r z
0
0 = . Déterminer l’expression de la densité superficielle de charges sur la sphère et donner la topographie du champ total.
Réponse :
On remplace la sphère de potentiel uniforme par un dipôle électrostatique de moment dipolaire u z
p p r r
= placé en O mais on laisse le champ uniforme. Il faut montrer qu’il existe une surface équipotentielle sphérique de centre O, de potentiel uniforme ; si c’est le cas, on imposera que son rayon est a. Alors, à l’extérieur de la sphère, pour les systèmes sphère-champ uniforme et dipôle- champ uniforme, le potentiel vérifiera l’équation de Laplace ∆V = 0 et les même conditions aux limites : à l’infini, champ uniforme égal à E r E u r z
0
0 = et sur la sphère S(O,a), potentiel uniforme (en plus, Q = 0 ; par unicité, la fonction potentiel sera la même dans les deux cas.
Dans le cas du dipôle, le potentiel total est :
θ θ
πε cos
cos 4
) 1
( 2 0
0
r r E
M p
V = −
Le potentiel est effectivement constant sur la sphère de rayon R tel que :
3 / 1
0
4 0
=
E R p
πε
En imposant R = a, le moment dipolaire p est connu : p r E a 3 u r z 0
4 πε 0
= .
Le potentiel total est alors :
θ cos 1 )
( 3
3
0 r
r E a M
V
−
=
Et le champ :
−
+
+
= θ θ u θ
r u a r
E a M
E r r r r
sin 1 cos
2 1 )
( 3
3 3
3 0
On vérifie bien que le champ est bien normal à la sphère quand r est proche de a.
Le théorème de Coulomb donne la densité superficielle :
θ ε
θ ε σ
θ θ σ
θ ) 3 cos ( ) ( ) 3 cos
,
( 0 0
0
0 u u soit E
E a
E r = r r = r r =
6 – Etude des condensateurs :
a – Définitions :
b – Exemples de condensateurs, calculs de capacités :
c – Aspect énergétique, exemple du condensateur plan :
Calculer la force F b → h r
exercée par l’armature du bas (chargée +) sur celle du haut (chargée -) . Réponse :
Calcul direct : La force F b → h
r
vaut :
bas h
b S E
F
r r
) ( − σ
→ = où E bas
r
désigne le champ créé par l’armature du bas. Il vaut :
z
bas u
E r r
2 ε 0
= σ
Et ainsi :
z h
b S u
F r r
0 2
2 ε
− σ
→ =
Avec U
L CU S S
Q ε 0
σ = =
= :
z h
b u
L
F r SU r
2 2 0
2
− ε
→ =
Cette force est attractive : les deux armatures, de charges opposées, s’attirent.
Utilisation de la pression électrostatique : On a alors, directement :
z z
él h
b S u
u S P
F r r r
0 2
) 2
( ε
− σ
=
−
→ =
Si, maintenant, on écarte lentement l’armature du haut vers le haut par exemple, le travail de la force d’attraction (résistant) est compensé par l’opérateur. Le travail de celui-ci vaut :
1 2
2 2 1
2 0 2
0 2
2 ) 2
2 (
2 C
Q C L Q
S L W
et S dL
W op = op = − = −
ε σ ε
δ σ
L’opérateur a contribué à augmenter l’énergie électrostatique du condensateur, dont on retrouve l’expression habituelle,
C E él Q
2
2
= .
Exercice d’application ; détermination de la capacité d’un condensateur sphérique à partir de la densité d’énergie électrostatique :
Déterminer l’énergie stockée entre les armatures d’un condensateur sphérique en fonction de la charge Q portée par l’armature intérieure. Retrouver l’expression de la capacité du condensateur à partir de la relation
C E él Q
2
2
= .
Réponse :
On rappelle que : u r
r E r Q r
2 0
1 4 πε
= entre les deux armatures. L’énergie est alors :
−
=
= ∫
2 1 0 2 2
2 2 0 0
1 1 4 8
1 ) ( 4
2 1
2
1
