Semaine 6 : réduction des matrices carrées PC

Semaine 6 : réduction des matrices carrées PC

Soit A=  ^{1 2 2 2 1 2 2 2 1}  ^{. n} est un entier naturel. Calculer A

de deux manières différentes.

Résoudre dans M

ℝ l'équation X

=A ^où A=  ^{3 0 0 8 4 0 5 0 1}  ^.

Soit A=  ^{– 3 4 4 – 1 8 1 – 0 0 2} 

1. Vérifier que A n'est pas diagonalisable.

2. Montrer que A est semblable à une matrice de la forme  ^{a 0 0 0 0 0 b c b}  ^.

3. Calculer A

^pour n entier naturel.

Diagonaliser A =  ^{0 1 0 0 3 0 2 0 0 2 0 3 0 0 1 0}  ^.

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Semaine 6 : réduction des matrices carrées PC

Réponses ou Indications :

1. Polynôme caractéristique : 

 x =–  x 1

 x – 5 donc – 1 et 5 sont valeurs propres de A . E

={  x ; y ; z tels que x yz=0 }=Vect  e

; e

 _où e

=  ^{– 1 0 1}  ^{et e}

⁼  ^{– 1 0 1} 

E

={  x ; y ; z tels que x = y= z } =Vect e

 _où e

=  ^{1 1 1} 

Avec D=diag  – 1, – 1,5 et P =  ^{– 1 0 1 – 1 0 1 1 1 1}  ^{, on a A = PDP}

^{et donc A}

^{= PD}

^P

Le calcul de P

^donne P

= 1

3  ^{1 1 1 – 1 1 2 – 1 1 2} 

2. A=2 J – I

où J =  ^{1 1 1 1 1 1 1 1 1}  ^{. On a J}

^{=3 J} et pour tout k de ℕ

, J

=3

J Comme 2 J et – I commutent, on peut utiliser la formule du binôme de Newton :

A

=2 J – I



= – I



 ∑

k=1

n

 ⁿ k  ^{2 J }

^{ – I }

^=−1

^I

^{ ∑}

n

 ⁿ k  ²

³

^{ – 1}

^{ J et etc....}

A

= 1

3  ^{5 5 5}

^{ – – 2    – – – 1 1 1}

^{5 5 5}

^{ – – 2   – – – 1 1 1}

^{5 5 5}

^{ – – 2    – – – 1 1 1}



Si X

=A ^alors AX = X

= XA ^donc X et A commutent.

A est diagonalisable dans ℝ car elle admet trois valeurs propres distinctes 1, 3 et 4.

Comme X et A commutent, X laisse stable les sous-espaces propres de A ce qui signifie qu'une base de vecteurs propres de A est également une base de vecteurs propres de X .

A est semblable à une matrice diagonale D , X semblable à une matrice diagonale  et : X

= A ⇔ P 

P

= PDP

⇔ 

=D ⇔ =diag  ±  ³ , ± 2,± 1 ( huit solutions)

Avec X =P

 P , on trouve X =  ^{– 5 8    3 3   3 }

^{2  }

^{– 16 }

^{ }

^{2 0 0 }

^{0 0 }

 ^{avec }

^{= ± 1 ; }

^{=± 1 ; }

^{=± 1}

1. 

 X =–  2X  X – 1

. rg  A – I ≠1 donc dim Ker  A – I ≠2 et A n'est pas diagonalisable.

E

=vect e

 _avec e

=  ^{0 0 1}  ^{et E}

^{=vect  e}

^{ avec e}

⁼  ^{– – 1 2 4}  ^.

2. En utilisant ce qui précède, a=– 2 et b=1 . Il est légitime de chercher e

tel que e

e

e

 _{soit une} 2010©My Maths Space Page 2/3 1

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base et c=1 , c'est à dire tel que e

 ^{x y} z  ^{vérifie Ae}

^=e

^e

^.

L'égalité précédente se traduit par le système { 4 x8 ^{2 x} y – ^y=1 3 z= – 4 dont une famille de solutions est

 ^{– 1 4 – x x 2  x 4}  ^{x ∈ ℝ} . En faisant le choix de x=1 , on obtient un choix de e

_{qui est}  ^{– 1 0 1}  ^.

.

e

e

e

 est bien une base et pour un tel choix A est semblable à T =  ^{−2 0 0 0 0 1 1 0 1}  ^.

3. On pose T = DN où D=diag – 2,1,1 et N =  ^{0 0 0 0 0 1 0 0 0}  qui vérifie ND = DN et N

=0 Ainsi la formule du binôme de Newton donne : T

= D

nD

N =  ^{ – 0 0 2 }

^{0 0 1 0 n 1}  ^.

Et A

=PT

P

donne pour tout n ∈ ℕ , A

=  ^{– 4 – 2 2 – n}

^{4  – n 1 8 n  4 – 4  – – 2 2 n n}

^{–  4n 1  4  – 0 0 2}





X = ∣ ^{– X 3 0 0 – X 1 2 0 – X 0 2 1 – X 0 0 3} ∣ ^{=3− X } ∣ ^{1 3 0 0 – X 0 1 2 – X 1 2 1 – X 1 0 3} ∣ ^{( L}

^{reçoit L}

^L

^{ L}

^{ L}

^et

factorisation par 3 – X  )



 X =3− X  ∣ ^{1 0 0 0 – X – 1 2 0 3 – X – 1 1 1 – X – 1 3 3} ∣ ^{( L}

^{reçoit L}

^{– 3 L}

) ... développement par rapport à la première colonne et on obtient 

 X =3 – X X 31 – X 1 X  . A a quatre valeurs propres distinctes donc A est diagonalisable dans M

ℝ _.

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