Déterminons si f est dérivable en a

(1)

Première S2 Chapitre 8 : feuilles annexes. Page n ° 1 2007 2008

1 Nombre dérivé d'une fonction en un point.

f ( x ) = x².

Soit a ∈ .

Déterminons si f est dérivable en a.

Soit h un nombre réel non nul.

Alors le taux d'accroissement de f entre a et a + h est le rapport r ( h ) =

h ) a ( f ) h a (

f + − =

h

² a )² h a

( + − =

h

² a

² h ah 2

²

a+ + − _{= 2a + h.}

Or hlim0

→ r ( h ) = 2a.

Donc f est dérivable en a et f ' ( a ) = 2a.

f ( x ) = x.

Recherchons la dérivabilité de f en 0.

Soit h un nombre réel non nul.

Alors le taux d'accroissement de f entre 0 et 0 + h est le rapport r ( h ) =

h ) 0 ( f ) h 0 (

f + − ₌ h

0 h−

= h h .

Si h > 0 alors h = h donc r ( h ) = 1 Si h < 0 alors h = - h donc r ( h ) = - 1

Donc r ( h ) n'admet pas de limite quand h tend vers 0.

Donc f n'est pas dérivable en 0.

2 Tangente en un point à une courbe.

Soit f une fonction dérivable en a.

Démontrons qu'une équation de la tangente en A ( a ; f ( a ) ) est y = f ' ( a ) ( x − a ) + f ( a ).

La tangente T est une droite.

Donc une équation de T est de la forme y = mx + p.

Or, par définition, le coefficient directeur de la tangente en A est le nombre dérivé de f en a.

Donc m = f ' ( a ). Une équation de T est donc y = f ' ( a ) x + p.

Or T passe par le point de coordonnées ( a ; f ( a ) ).

Donc f ( a ) = f ' ( a ) × a + p ⇔ p = f ( a ) − f ' ( a ) × a.

Ainsi une équation de T est y = f ' ( a ) x + f ( a ) − f ' ( a ) × a = f ' ( a ) ( x − a ) + f ( a ).

(2)

4 Dérivée d'un somme.

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

Démontrons que ( u + v ) ' = u ' + v '.

Soit a un réel appartenant à I.

Soit h un réel non nul tel que a + h ∈ I.

Alors r ( h ) =

h

) a )(

v u ( ) h a )(

v u

( + + − + =

h

) a ( v ) a ( u ) h a ( v ) h a (

u + + + − − =

h ) a ( u ) h a (

u + − +

h ) a ( v ) h a (

v + −

Or u est une fonction dérivable en a. Donc

0 hlim

→ h

) a ( u ) h a (

u + − = u ' ( a ).

Et v est une fonction dérivable en a. Donc

0 hlim

→ h

) a ( v ) h a (

v + − = v ' ( a ).

Donc

0 hlim

→ r ( h ) = u ' ( a ) + v ' ( a ).

D'où u + v est une fonction dérivable en a et sa dérivée vaut ( u + v ) ' ( a ) = u ' ( a ) + v ' ( a ).

Ainsi u + v est dérivable en tout point a de I. Donc ( u + v ) est dérivable sur I et ( u + v ) ' = u ' + v '.

Exemple :

f ( x ) = x³ + x². Déterminons f ' ( x ).

Je pose u ( x ) = x³ et v ( x ) = x².

Alors u ' ( x ) = 3x² et v ' ( x ) = 2x.

J'applique la formule ( u + v ) ' = u ' + v '.

Ainsi f ' ( x ) = 3x² + 2x.

5 Dérivée de k u.

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

Soit k un nombre réel.

Démontrons que la fonction ( k u ) est dérivable sur I et que ( k u ) ' = k u '.

Soit a un réel appartenant à I. Soit h un réel non nul tel que a + h ∈ I.

Alors r ( h ) =

h

) a )(

ku ( ) h a )(

ku

( + − =

h ) a ( ku ) h a (

ku + − = k ×

h ) a ( u ) h a (

u + − .

0 hlim

→ h

) a ( u ) h a (

u + − = u ' ( a ).

Ainsi

0 hlim

→ r ( h ) = k × u ' ( a ). Donc la fonction ( k u ) est dérivable en a et sa dérivée vaut k u ' ( a ).

Ainsi k u est dérivable en tout point a de I. Donc k u est dérivable sur I et ( k u ) ' = k u '.

(3)

Exemple : f ( x ) = 3x².

Je pose u ( x ) = x² et k = 3.

Alors u ' ( x ) = 2x.

J'applique la formule ( k u ) ' = k u '.

Ainsi f ' ( x ) = 3 × 2x = 6 x.

6 Dérivée d'un produit.

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

Démontrons que la fonction ( u v ) est dérivable sur I et que ( u v ) ' = u ' v + v ' u.

Soit a un réel appartenant à I.

Soit h un réel non nul.

Alors r ( h ) =

h

) a )(

uv ( ) h a )(

uv

( + − =

h

) a ( v ) a ( u ) h a ( v ) h a (

u + + − =

h ) a ( u ) h a (

u + − × v ( a + h ) + h

) a ( v ) h a (

v + − × u ( a )

0 hlim

→ h

) a ( u ) h a (

u + − = u ' ( a ).

Et v est une fonction dérivable en a. Donc

0 hlim

→ h

) a ( v ) h a (

v + − = v ' ( a ).

Et hlim0

→ v ( a + h ) = v ( a ) Et

0 hlim

→ u ( a ) = u ( a ). Donc

0 hlim

→ r ( h ) = u ' ( a ) × v ( a ) + v ' ( a ) × u ( a ).

Donc la fonction ( u v ) est dérivable en a et sa dérivée vaut u ' ( a ) × v ( a ) + v ' ( a ) × u ( a ).

Ainsi ( u v ) est dérivable en tout point a de I. Donc ( u v ) est dérivable sur I et ( u v ) ' = u ' v + v ' u.

Exemple f ( x ) = ( 3x + 5 ) × ( - 2x + 4 ).

Déterminons f ' la fonction dérivée de f.

Je pose u ( x ) = 3x + 5 et v ( x ) = -2x + 4 Je dérive u ' ( x ) = 3 et v ' ( x ) = -2 J'applique la formule ( u v )’ = u’ × v + v ’ × u.

Ainsi f ' ( x ) = 3 × ( -2x + 4 ) + ( - 2 ) × ( 3x + 5 ) = -6x + 12 − 6x − 10 = - 12x + 2.

Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = ( 6x − 7 )⁵. Déterminons la fonction dérivée de f.

Je pose u ( x ) = 6x − 7 et n = 5.

Alors u ' ( x ) = 6 et n − 1 = 4 J'applique la formule f ' = n × u ' × u ^n-1

Ainsi f ' ( x ) = 5 × 6 × ( 6x − 7 )⁴ = 30 × ( 6x − 7 )⁴

(4)

7 Dérivée de l’inverse d’une fonction.

Soit v une fonction dérivable sur un intervalle I. Démontrons que la fonction 1

v est dérivable sur I.

Soit a un réel appartenant à I tel que v ( a ) ≠ 0. Soit h un réel non nul.

Alors v ( a + h ) tend vers v ( a ) lorsque h tend vers 0. Comme v ( a ) ≠ 0 alors v ( a + h ) ≠ 0.

Alors r ( h ) = h

) a v( ) 1 h a v(

1 + −

= h

) a ( v

1 ) h a ( v

1+ − ₌

) h a ( v ) a ( hv

) h a ( v ) a (

v − ++ ₌

) h a ( v ) a ( v

1 + × ( - 1 ) × h

) a ( v ) h a ( v + −

Or v est une fonction dérivable en a. Donc

0 hlim

→ h

) a ( v ) h a (

v + − = v ' ( a ).

Et hlim0

→ v ( a + h ) = v ( a ) donc

0 hlim

→ v(a)v(a h)

1 + ⁼v²(a) 1 _{. Donc}

0 hlim

→ r ( h ) = − ) a

²(

v

1 × v ' ( a ).

Donc la fonction 1

v est dérivable en a et sa dérivée vaut − ) a

²(

v ) a ( '

v .

Ainsi 1

v est dérivable en tout point a de I. Donc 1

v est dérivable sur I et

² v

' v v

1 ^'

−

=



 





Exemple : Calculons la dérivée de f ( x ) = 3 x 2

1

+ sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [ . Je pose v ( x ) = 2x + 3 alors v ( x ) ≠ 0 sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [.

Alors v ' ( x ) = 2 J'applique la formule

² v

' v v

1 ^'

−

=



 





Ainsi f ' ( x ) =

)² 3 x 2 (

+2

−

8 Quotient de deux fonctions.

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. On suppose que la fonction v est non nulle sur I.

Démontrons que

² v

u ' v v ' u v

u^'= −



 



 .

u

v = u × 1

v . Donc ( u

v ) ' = u ' × 1 v + ( 1

v ) ' × u = u ' × 1 v −

² v

v × u = '

² v

u ' v v '

u − .

Exemple calculons la dérivée de f ( x ) = x 5 7

2 x 3

−

+ avec I = [ 5 ; + ∞ [.

Je pose u ( x ) = 3x + 2 et v ( x ) = 7 − 5x Je dérive u ' ( x ) = 3 et v ' ( x ) = - 5 J'applique la formule :

² v

u ' v v ' u v

u^' = −



 





Ainsi f ' ( x ) =

)² x 5 7 (

) 2 x 3 )(

5 ( ) x 5 7 ( 3

−− +

−

− =

)² x 5 7 (

10 x 15 x 15

21− −+ + = )² x 5 7 (

−31 .