Montrer que K =k(α)

École polytechnique 2011-2012

Feuille d’exercices 9

Exercice 1. (Théorème de Kummer, suivant Lagrange) Soit K/k une extension galoisienne de groupe de Galois cyclique d’ordren, dont on note σ un générateur. On suppose que l’ensemble µ des racinesn-ièmes de l’unité danskest de cardinal n. Pour chaquex∈K et chaqueζ ∈µ, on note (ζ, x) :=P

0≤i<nζⁱσⁱ(x)(résolvante de Lagrange).

(i). Calculer σ (ζ, x) .

(ii). En déduire que (ζ, x)ⁿ appartient àk.

(iii). Soient ξ une racine primitive n-ième de l’unité etx ∈K tels que α:= (ξ, x) soit non nul.

Montrer que K =k(α).

(iv). Pour chaque x∈K, calculerP

ζ∈µ(ζ, x).

(v). En déduire, lorsque nest premier, l’existence d’unξ et d’unxcomme en (iii).

(vi). Quid si nn’est pas premier ?

Exercice 2. (Une équation quintique résoluble) Soit f =X⁵−5X+ 12∈Q[X], dont on note x₀, . . . , x₄ les racines dansCetGle groupe de Galois sur Q.

(i). On admet que :X⁵−5X+12est irréductible dansF2011[X]et que le discriminant est2¹²5⁶. Que peut-on dire du groupe de Galois de f?

(ii). On admet de plus que l’on a la factorisation suivante en polynômes irréductibles : Y

0≤i<j<5

(T −(x_i+x_j)) = (T⁵−5T³−10T²+ 30T −36)(T⁵+ 5T³+ 10T²+ 10T + 4).

En déduire que l’équation f = 0 est résoluble par radicaux. (Indication : on pourra faire agir Gsur un pentagone régulier et numéroter les racines de sorte quex_i =cⁱ(x₀), oùcest un 5-cycle dans G.)

(iii). Soit z la classe de X dans le corps de rupture K = Q[X]/(f) de f. Montrer que le stabilisateur H d’une racine de f est isomorphe au groupe de Galois def sur Q(z).

(iv). Expliquer comment utiliser l’égalité f = (X −z) X² + ¹₄(−z⁴ −z³−z² + 3z+ 4)X+

1

4(−z⁴−z³−z²−5z+ 8)

X²+¹₄(z⁴+z³+z²+z−4)X+¹₂(−z³−z−2)

pour donner une seconde démonstration du fait que le groupe de Galois def est de cardinal divisant10 donc résoluble.

(v). Montrer queGest le groupe diédral du pentagone. (Indication : on pourra réduire modulo un bon nombre premier ou bien « modulo l’infini ».)

(vi). Soit Y = P

i∈Z/5X_iX_i+1³ ∈ Q[X_i, i ∈ Z/5]. Montrer que le polynôme multivarié Y est invariant par l’action du groupe cyclique Z/5 mais pas pari7→ −i(c’est-à-dire pas par le groupe diédral).

(vii). En déduire quey=x0x³₁+x1x³₂+· · ·+x4x³₀ est de degré au plus2surQ. On admet qu’il est racine du polynômeY²−10Y + 1025. Cet élément appartient donc àQ(√

−10).

(viii). Soit ζ = ¹₄ p 2√

5−10−√ 5−1

, une racine primitive 5-ième de l’unité et soient rj = x₀+ζ^jx₁+ζ^2jx₂+· · ·+ζ^4jx₄, pour0≤j <5, les résolvantes de Lagrange considérées dans l’exercice précédent. Montrer quex₀, et plus généralement chaquex_i, est une combinaison linéaire explicite à coefficients dans Q(ζ) en lesrj.

1

(ix). Expliquer comment on pourrait exprimer les racines x_i par radicaux et montrer en parti- culier que

1 20

p2√

5−10−√ 5−1

5

r

−750p

−5√

5 + 25 + 375p 5√

5 + 25 + 1250√

5−3125 +

1 20

p2√

5−10−√ 5−1

5

r

−375p

−5√

5 + 25−750p 5√

5 + 25−1250√

5−3125 +

1 20

p2√

5−10−√ 5−1

5

r 375p

−5√

5 + 25 + 750p 5√

5 + 25−1250√

5−3125

+

1 5

5

r 750p

−5√

5 + 25−375p 5√

5 + 25 + 1250√

5−3125

est une racine.

Exercice 3. (Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitas eiusdem geometrica in septemdecim partes etc.[Gauß, 1796-3-30]) Soient p= 2ⁿ+ 1un nombre premier de Fermat et ζ =e^2iπ/p.

(i). Soit G un groupe (fini) cyclique. Montrer que pour tout élément g 6= e de G, la somme P

χχ(g) est nulle, où χparcourt l’ensemble Gb des morphismes de groupes G→C^×. (ii). Pour chaque χ dans Fc^×p, on note g_χ la somme de Gauß P

x∈F^×_p χ(x)ζ^x. Montrer que P

χg_χ = (p−1)ζ.

(iii). En déduire que la constructibilité de ζ se ramène à celle des g²_χⁿ. (iv). Pour chaque χ, χ⁰ ∈Fc^×p, montrer que lasomme de Jacobi

J(χ, χ⁰) = X

a+b=1 a,b∈F×

p

χ(a)χ⁰(b)

est constructible.

(v). Montrer que siχ, χ⁰ etχχ⁰ sont non triviaux, on a g_χg_χ⁰ =g_χχ⁰J(χ, χ⁰).

On montre par des arguments semblables que si χ est non trivial, alors g_χg_χ−1 =χ(−1)p.

(vi). En déduire que si χest d’ordre 2^r, le nombre algébriqueg²_χ^r est constructible.

Exercice 4. (Trisection de l’angle) On dira que ϑ ∈ R est un angle constructible si le point e^iϑ est constructible à la règle et au compas.

(i). Montrer que siϑest un angle constructible alors ϑ/2l’est aussi.

(ii). Montrer que siϑangle constructible il n’en est pas nécessairement de même de l’angleϑ/3.

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