Montrer que`∈Adh(un) si et seulement si il existe une sous suite (nk) telle que`= lim k→∞unk

Pr´epa-agreg 2016-2017, Universit´e de Bordeaux Oral d’analyse et probabilit´es

Suites

Exercice 1.

1) Soit (un) une suite de r´eels (ou une suite dans un espace m´etrique).

L’ensemble des valeurs d’adh´erences est d´efini par Adh(u_n) := \

n≥1

{u_k;k≥n}.

Montrer que`∈Adh(un) si et seulement si il existe une sous suite (n<sub>k</sub>) telle que`= lim

k→∞u_nk.

2) Lorsque (un) est une suite de r´eels, on pose lim supun= lim

n→∞sup{u_p;p≥ n}. Montrer que lim supun est la plus grande valeur d’adh´erence de (un), et que limu_n existe et vaut 0 si et seulement si lim sup|u_n| ≤ ε pour tout ε >0.

Exercice 2. (Rouvi`ere exo 35)

1) Soit (un)n≥1 une suite de r´eels d´efini par un=f(n) pourn≥1 avec f une fonction croissante telle quef : [1,+∞[→ IR et

x→+∞lim f(x) = +∞ et lim

x→+∞f⁰(x) = 0.

Montrer que la suite un est dense sur le cercle.

(Pour θ ∈ [0,2π] et k un entier (k ≥ f(1)), on pourra consid´erer x_k le r´eel tel que f(x_k) =θ+ 2kπ etn_k sa partie enti`ere.)

2) On consid`ere les cas un = cos(a√

n), un= cos(alnn), un= cos(an), a∈ I . Dans quels cas a-t-onR Adh(u_n) = [−1,1]?

Exercice 3. (Dantzer)

a) Soit f : RI → IR de classeC¹ et`∈ IR tel que f(`) =`(`est appel´e point fixe def). On dit que `est r´epulsif si |f<sup>0</sup>(`)|>1. Soit (u_n) une suite avec u0 donn´e et v´erifiant un+1 = f(un) pour tout n. Montrer que (un) converge vers `si et seulement si il existen<sub>0</sub> tel queu<sub>n0</sub> =`.

b) On suppose quef(x) = 2x²−1. V´erifier quef([−1,1]) = [−1,1], quef a exactement deux points fixes et qu’ils sont tous les deux r´epulsifs. On note C = {u₀ ∈[−1,1]; (un) converge} et Cn ={u₀ ∈ [−1,1];un ∈ {−1/2,1}}.

Montrer queC= S

n≥0

C_n. Montrer que les ensemblesC_nsont finis, en d´eduire que C est d´enombrable, puis que D = [−1,1]\C = {u₀; (un) diverge} est dense dans [−1,1].

On pose u₀ = cos(a), avec a ∈ [0, π]. Montrer que u_n = cos(2ⁿa).

Montrer que un = 1 si et seulement si il existe k ∈ IN tel que a = ₂n−1^k . C⊃ S

n≥0

S

k≥0

cos ^kπ₂n

, puis queC est dense. dans [−1,1].

Exercice 4. Iteration du sinus (Rouvi`ere)

On consid`ere que (u_n) est d´efinie paru_n+1 =f(u_n) avecf : [0,1]→[0,1].

On suppose que un→0 et que f(x) =x−ax^β +o(x^β) au voisinage de 0 et quea >0, β >1.

1) Soit α∈ I , on poseR v_n=u^α_n+1−u^α_n, donner un ´equivalent dev_n. 2) Donner l’unique valeur deα pour laquellevnconverge vers une limite non triviale. En d´eduire que

un∼(a(β−1)n)^1−β1 .

3) Soit u₀ ∈[0,^π₂] etu_n+1 = sin(u_n) pour n≥0, justifier queu_n→0 et que

u_n∼ r3

n. 4) Soit u0 ≥0 etun+1 =p

1 +u²_n pour n≥0. Montrer que un→ +∞

et que

u_n∼√ n.

Exercice 5. Approximation d’une “int´egrale d’Euler” pour x petit `a l’aide de s´eries divergentes(Walter Appel, Math´ematiques pour la physique).

On note pour x >0.

f(x) = Z ∞

0

e^−xt 1 +tdt.

1) Justifier que f est bien d´efinie et que f(x)→0 lorsque x→0.

2) Montrer que 1

1 +t = 1−t+t²+ (−1)ⁿtⁿ+(−1)ⁿ⁺¹tⁿ⁺¹ 1 +t 3) En d´eduire que,

f(x) =

n−1

X

k=0

(−1)^kk!x^k+1+Rn(x) avec

Rn(x) = (−1)ⁿ Z ∞

0

tⁿe^−xt 1 +t dt.

4) On noteS_n(x) =Pn−1

k=0(−1)^kk!x^k+1. Montrer que|f(x)−S_n−1(x)| ≤ n!xⁿ⁺¹.

5) On pose en(x) =k!x^k+1. On poseN =₁

x

.

On suppose maintenant que 0< x <1. Etudier la suitee_n(x) et montrer qu’elle atteint son minimum pour n=N et qu’il vaut _NN^N!+1.

6) Donner la valeur de la meilleure approximation que l’on peut trouver par cette m´ethode de f ₂₀¹

,f ₅₀¹

. Donner un ´equivalent de la meilleure approximation obtenue par cette m´ethode def _N¹

. (On rappelle la formule de StirlingN!'√

2πN ^N_eN

.)

Exercice 6. Ac´el´eration de convergence: Delta de Aitken(Dantzer).

1) Soit (xn) une suite convergeant vers l. On suppose que x_n+1−l

xn−l →kavec k∈(0,1).

2) On pose y_n=x_n−_x ^(xn+1−xn)2

n+2+xn−2x_n+1. Montrer que

y_n−l

xn−l −→n→+∞0.

3) On consid`ere que (xn) est d´efinie par xn+1 = f(xn). Montrer que l’hypoth`ese est v´erifi´ee lorsque x_n converge vers un point fixe attractif (0<

|f⁰(l)|< 1). Proposer dans ce cadre des exemples o`u l’hypoth`ese n’est pas v´erifi´ee.

Exercice 7. M´ethodes it´eratives de r´esolution des syst`emes lin´eaires (Ciarlet, Dunod).

Soit b ∈ CI ⁿ et A ∈ GL_n( CI ). On veut r´esoudre l’´equation Au = b.

Supposons queA=M−N, avec M inversible. On a alors Au=b ⇐⇒ M u=N u+b ⇐⇒ u=M⁻¹N u+M⁻¹b

On d´efinit la suite recurrente (u_k) par u₀ ∈ CIⁿ etM u_k+1 = N u_k+b. Si Au =b, on a alors M u = N u+b et donc M e_k+1 = N e_k, o`u e<sub>k</sub> =u<sub>k</sub>−u d´esigne l’erreur. On dit que la m´ethode converge si ke<sub>k</sub>k → 0. Si k · k est la nome matricielle associ´ee `a une norme k · k sur CI ⁿ, on a ke_k+1k ≤ kM⁻¹Nkke_kkpour toutk, et doncke_kk ≤ kM⁻¹Nk^kke₀k. SikM⁻¹Nk<1, la m´ethode est alors convergente.

M´ethode de Jacobi.

On d´efinit mij =aij si i=j et mij = 0 sinon. La matriceM = (mij) est diagonale et on poseN =M−A.

Th´eor`eme. Si pour touti, on a|a_ii|> P

j6=i

|a_ij|, alors la m´ethode de Jacobi converge.

Prenons pour norme sur CIⁿ la norme sup. On a alors kAk= sup

i n

P

j=1

|a_ij|.

CommeM⁻¹=diag(a⁻¹₁₁,· · · , a⁻¹_nn), le coefficient d’indicesi, jdeM⁻¹N est aij

aii

si j6=iet 0 sinon. Par cons´equent,kM⁻¹Nk= sup

i

1

|a_ii| X

j6=i

|a_ij|<1 et la m´ethode de Jacobi converge.

M´ethode de Gauss-Seidel. On d´efinit m_ij =a_ij si i≥j et m_ij = 0 sinon. La matrice M = (mij) est triangulaire inf´erieure et on pose N = M−A.

Th´eor`eme. Si A est une matrice hermitienne d´efinie positive, alors la m´ethode de Gauss-Seidel converge.

Comme A est une matrice hermitienne d´efinie positive, A est inversible, et, si v ∈ CI ⁿ, kvk = (v^∗Av)^1/2 d´efinit bien une norme sur CIⁿ. Notons que a_ii = e_iAe_i > 0 et la matrice M est aussi inversible. On note D = diag(a11,· · ·, ann). On a

kM⁻¹Nk=kI−M⁻¹Ak= sup{kv−M⁻¹Avk;kvk= 1}

Posonsw=M⁻¹Av, on a doncv=A⁻¹M w,v^∗ =w^∗M^∗A⁻¹ et

kv−wk² =1−v^∗Aw−w^∗Av+w^∗Aw= 1−w^∗M^∗w−w^∗M w+w^∗Aw

=1−w^∗(M^∗+M−A)w= 1−w^∗Dw <1

Comme f : v → kv−M⁻¹Avk atteint son sup sur le compact K = {v ∈ CI ⁿ;kvk= 1} en un point v0, on en d´eduit que kM⁻¹Nk = sup{f(v);v ∈ K}=f(v₀)<1 et la m´ethode de Gauss-Seidel converge.

Exercice 8. 3-cycles, n-cycles (Chambert-Loir, Fermigier, Mail- lot).SoitI un intervalle de RI (born´e ou non) etf :I →I une application.

Pour tout u₀ ∈ I, la suite d´efinie par u₀ et la relation u_n+1 =f(u_n) pour toutn≥0 est bien d´efinie. On note f⁽⁰⁾ =Id,f⁽¹⁾=f,f⁽²⁾ =f◦f, etc.

D´efinition : (x0, x1,· · · , xn−1) ⊂Iⁿ est un n-cycle si x0, x1,· · ·xn−1 sont deux `a deux distincts, si pour tout 0 ≤ k ≤ n−1, x_k = f^(k)(x₀) et si f⁽ⁿ⁾(x₀) =x₀. On dit alors quex₀ est de p´eriode (exactement) n.

Lemme 1 : Si J est un intervalle de IR et f :J → IR est une application continue telle quef(J)⊃[α, β], alors il existe un intervalle compact J⁰ ⊂J tel que f(J⁰) = [α, β].

Lemme 2 : Si J est un intervalle de IR et f : [α, β] → IR est une application continue telle quef([α, β])⊃[α, β], alors il existe x0 ∈[α, β]tel que f(x0) =x0.

Th´eor`eme : Si f : I → I est continue et poss`ede un 3-cycle, alors pour tout n≥1, f poss`ede un n-cycle.

D´emonstration du th´eor`eme : Par hypoth`ese, il existe 3 points distincts a, b, cdeI tels quef(a) =b,f(b) =cetf(c) =a. Sans perdre de g´en´eralit´e on peut supposer que a < b < c. Notons K = [a, b] et L = [b, c]. Par le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, on a f(K) ⊃ [f(a), f(b)] = L et f(L)⊃[a, c] =K∪L. Montrons l’existence d’unn-cycle.

n = 1. Comme f(L) ⊃ L, d’apr`es le lemme 2, il existe x₀ ∈ L tel que f(x₀) =x₀.

n = 2. Comme f(L) ⊃ K, d’apr`es le lemme 1, il existe un intervalle compact I₁ ⊂L tel quef(I₁) =K. Commef⁽²⁾(I₁) =f(K)⊃L⊃I₁, par le lemme 2, il existe x0 ∈ I1 tel que f⁽²⁾(x0) = x0. On a x0 6=f(x0). En effet, comme x₀ ∈ L et f(x₀) ∈K, si x₀ =f(x₀), alors x₀ =b, mais alors f⁽²⁾(x₀) =a6=b, contradiction.

n≥4. Commef(L)⊃L, d’apr`es le lemme 1, il existe un intervalle compact I₁ ⊂L tel quef(I₁) =L.

Par application it´er´ee du lemme 1, on construit pour tout 2≤k≤n−2 un intervalleI_k⊂Ik−1 tel quef^(k)(I_k) =L(si Ik−1 est construit, f^(k)(Ik−1) = f(f^(k−1)(I_k−1)) =f(L)⊃L on peut donc appliquer le lemme 1 `a f^(k) pour construire I_k⊂Ik−1 tel quef^(k)(I_k) =L).

f⁽ⁿ⁻¹⁾(In−2) = f(f⁽ⁿ⁻²⁾(In−2)) = f(L) ⊃ K, par le lemme 1, il existe In−1⊂In−2 tel quef⁽ⁿ⁻¹⁾(In−1) =K.

Enfin,f⁽ⁿ⁾(In−1) =f(K)⊃L, il existe doncI_n⊂In−1tel quef⁽ⁿ⁾(I_n) =L.

Commef⁽ⁿ⁾(In)⊃In, d’apr`es le lemme 2, il existex0∈Intel quef⁽ⁿ⁾(x0) = x0. Supposons qu’il existe k < n tel que f^(k)(x0) = x0. Ceci implique que pour tout p ≥ 1, f^(p)(x₀) ∈

x₀, f(x₀),· · · , f^(k−1)(x₀) ⊂ L. Or, puisquex₀∈I_n⊂In−1, on af⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀)∈K. Par cons´equent,f⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀)∈ L∩K, et doncf⁽ⁿ⁻¹⁾(x0) =b. Mais alors a=f⁽²⁾(b) =f⁽²⁾(f⁽ⁿ⁻¹⁾(x0)) = f(f⁽ⁿ⁾(x0)) =f(x0)∈L, ce qui est absurde.

D´emonstration du lemme 1 : On peut supposer α < β. Par hypoth`ese, il existex<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> ∈J tel quef(x<sub>1</sub>) =αetf(x<sub>2</sub>) =β. On peut supposerx<sub>1</sub> < x<sub>2</sub>, le cas x1 > x2 se traite de mani`ere analogue.

Posonsr = sup{x∈[x₁, x₂]; f(x)≤α}. On a f(r) =α,r < x₂ etf(x)> α six∈]r, x₂].

Posons s = inf{x ∈ [r, x2]; f(x) ≥ β}. On a f(s) = β et f(x) < β si x∈[r, s[.

Par cons´equent, {α, β} ⊂ f([r, s]) ⊂ [α, β], et par le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, f([r, s]) = [α, β].

D´emonstration du lemme 2 : Par hypoth`ese, il existe x1, x2 ∈ [α, β] tel que f(x<sub>1</sub>) = α et f(x<sub>2</sub>) = β. Posons g(x) = f(x)−x. On a g(x<sub>1</sub>) ≤ 0 et g(x2) ≥ 0, donc par le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, il existe x0 ∈[x1, x2] tel queg(x0) = 0, c’est `a dire f(x0) =x0.