G148. Mystères autour d’une urne

G148. Mystères autour d’une urne

Calculs préliminaires

Montrons par récurrence que ^xn

(1−x)ⁿ⁺¹ =X

k>n

C_kⁿx^k. Pourn= 0, le développement _1−x¹ =X

k>0

x^k est réputé connu.

Dérivons ¹

(1−x)ⁿ⁺¹ =X

k>n

C_kⁿx^k−n,d’où ⁿ⁺¹

(1−x)ⁿ⁺² =X

k>n

(k−n)C_kⁿx^k−n−1. Enfin ^xn+1

(1−x)ⁿ⁺² = X

k>n+1

C_kⁿ⁺¹x^k puisque (n+ 1)C_kⁿ⁺¹= (k−n)C_kⁿ. Fort de ce résultat, développonsx

x^j (1−x)^j+1

x^k−j (1−x)^k−j+1

= ^xk+1

(1−x)^k+2 et iden- tifions le coefficient dexⁿ⁺¹,d’où l’identité

n−k+j

X

m=j

C_m^j C_n−m^k−j =C_n+1^k+1 (*) valable pour 06j 6k6n.

Retour à l’énoncé

NotonsRk l’évènement « tirer kboules rouges parminboules » etU_rⁿ « l’urne contientnboules dont 06r6nrouges ».

Utilisons la formule des probabilités totalesP(Rk) =

n

X

r=0

P(Rk |U_rⁿ)P(U_rⁿ). Nous avons :

– P(Rk |U_rⁿ) = ^C_C^rkk

n (tirage sans remise)

– P(U_rⁿ) =_n+1¹ (équiprobabilité des configurations) Mais

n

X

r=0

C_r^k =

n

X

r=k

C_r^k=C_n+1^k+1 (* avecj =k).

D’oùP(Rk) = ^C

k+1 n+1

(n+1)C^k_n =_k+1¹ ,résultat indépendant den.

Application :P(R_k) = ¹₇ ⇔k= 6.

NotonsB_k l’évènement « tirer kboules bleues parmin−kboules ».

Nous devons évaluer la probabilité conditionnelleP(Bk|Rk) = ^P(B_P(R^k∩Rk)

k) . Nous avons :

– P(Bk∩Rk) =

n

X

r=0

P(Bk∩Rk|U_rⁿ)P(U_rⁿ).

– P(Bk∩Rk|U_rⁿ) =P(Rk |U_rⁿ)P(Bk|Rk|U_rⁿ) =^C_C^rkk n· ^C

k n−r

C_n−k^k . Mais

n

X

r=0

C_r^kC_n−r^k =

n−k

X

r=k

C_r^kC_n−r^k =C_n+1^2k+1 (* avecj=k−j).

D’oùP(Bk |Rk) = ^(k+1)C

2k+1 n+1

(n+1)C^k_nC^k_n−k =_Ck¹

2k+1

,résultat indépendant de n.

Application :P(B₆|R₆) = _C¹6 13

= ₁₇₁₆¹ .

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