G148. Mystères autour d'une urne
Je dispose d’une urne qui contient 2011 boules bleues et rouges mais sa composition est pour moi un mystère. Toutes les configurations de x boules bleues et 2011 – x boules rouges avec 0 <= x <= 2011 sont donc équiprobables, ce qui revient à écrire: Pr{ x boules bleues et 2011 – x boules rouges dans l’urne} = 1/2012 pour 0 <= x <= 2011.
Dans un premier tirage sans remise, je prélève un certain nombre k de boules. Elles sont toutes de couleur rouge. Je calcule qu’avec cette valeur k j’avais une chance sur sept de réaliser un tel tirage. En déduire k.
Après ce premier tirage, l'urne contient 2011 - k boules. J'effectue un deuxième tirage sans remise de k boules. Calculer la probabilité qu'elles soient toutes de couleur bleue.
Solution
L'urne contient a = 2011 boules (x bleues et (a-x) rouges).
La probabilité d'obtenir k boules rouges est la somme des probabilités d'btenir k boules rouges pour chacune des configurations de (0 bleues et a rouges) à ((a-k) bleues et k rouges):
Prob(0 bleue et k rouges) = {[a(a-1)...(a-k+1)]/[a(a-1)...(a-k+1)]+[(a-1)(a-2)...(a-k)]/[a(a-1)...(a-k+1)]+...+[k(k- 1)....2*1]/[a(a-1)...(a-k+1)]} / (a+1)
De même que l'on démontre que 1n[i(i+1)] = [n(n+1)(n+2)] / 3 en écrivant et développant
1n[i(i+1)(i+2)] = 1n[(i+1)(i+2)(i+3)] - 31n[(i+1)(i+2)]
on démontre que
1a-k+1[i(i+1) (i+k-1)] = (a-k+1)(a-k+2)...(a-1)a(a+1) / (k+1) donc: Prob(0 bleue et k rouges) = 1 / (k+1)
==> pour avoir une chance sur 7, il faut procéder à 6 tirages sans remise quelque soit le nombre de boules de l'une ou l'autre couleur, à condition que (2011-x)>=k
