Partie I :
1) Le premier de changement de couleur a lieu au plus tôt au second tirage donc X prend ses valeurs dans N\{0 ;1}.
2) ∀k∈ N\{0 ;1}, (X =k)signifie que le premier changement de couleur a eu lieu au k-ième tirage.
Avant le k-ième tirage, les boules avaient toutes la même couleur : rouge, blanche ou verte.
On a donc : (X =k)=(B1
I
B2...I
Bk−1I
Bk)U
(R1I
R2...I
Rk−1I
Rk)U
(V1I I I
V2 ... Vk−1I
Vk)Les trois évènements entre parenthèses étant incompatibles, on en déduit que :
I I I I I I
I
...I I
) ( ... ) ( ... )( )
(X k P B1 B2 Bk 1 Bk P R1 R2 Rk 1 Rk PV1 V2 Vk 1 Vk
P = = − + − + − .
De plus, la formule des probabilités composées nous donne :
) 1 ( )
1 ( ..
. )
( ...
) ( ) ( ) ...
( 1 2 1 1 2 ... 1
1
1 B P1 B b b b b b
P B P B B B
B
P k k B B B k k
k = × × × − = −
×
×
×
= −
− I I −
I I I
.On obtient un résultat similaire pour les boules rouges et vertes.
On a donc ∀k∈ N\{0 ;1}, P(X =k)=(1−b)bk−1+(1−r)rk−1+(1−v)vk−1.
3) La variable aléatoire X admet une espérance si la série
∑
≥
=
2
) (
k
k X
kP converge absolument.
Tous les termes étant positif, cela revient à étudier la convergence.
] ) 1 ( )
1 ( )
1 ( [ )
( 1 1 1
2 2
−
−
−
=
=
− +
− +
−
=
=
∑
∑
N k k kk N
k
v v r
r b
b k k
X kP
∑ ∑ ∑
=
=
=
+ − + −
= − N
k k N
k k N
k
k kv
v kr v r
kb r b
b
2 2
2
1 1
1
− −
− + −
− −
− + −
− −
−
= − v
v v v
r v r
r r
b r b
b b
b 0
) 1 ( 0 1
) 1 ( 0 1
) 1 ( 1
2 2
2 (La convergence est
due au fait que b <1,r <1et v <1)
Après quelques calculs et simplifications, on obtient 2
1 1 1
1 1
) 1
( −
+ − + −
= −
v r
X b
E .
Partie II :
1) On a 2 2
) (
1 )
1 ( ) 1 ,
(x y x x y
x f
− +
= −
∂
∂ et 2 2
) (
1 )
1 ( ) 1 ,
(x y y x y
y f
− +
= −
∂
∂ .
2) f est susceptible de posséder un extremum local sur
] [ ] [
0;1 × 0;1 si ( , )=0∂
∂ x y x
f et ( , )=0
∂
∂ x y y
f .
On a :
+
=
−
+
=
⇔ −
= +
−
= +
⇔ −
+ =
− −
+ =
− −
⇔
∂ =
∂
∂ =
∂
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
) ( ) 1 (
) ( ) 1 ( )
( 1 )
1 (
1
) (
1 )
1 (
1
) 0 (
1 )
1 (
1
) 0 (
1 )
1 (
1
0 ) , (
0 ) , (
y x y
y x x
y x y
y x x
y x y
y x x
y y x f
y x x f
.
] [ ] [
0;1 0;1,) ,
( ∈ ×
∀ x y on a 1−x>0,1−y>0et x+ y>0. Le sytème équivaut donc à :
=
=
⇔
−
=
−
−
⇔ =
= +
=
⇔ +
+
=
−
+
=
−
3 1 3 1 1
3 2 1 1
2
1 2
1 1
y x x
x y
x y
y x y
x y
y x x
L’unique point I de
] [ ] [
0;1× 0;1 en lequel f est susceptible d’admettre un extremum local est ) 3;1 3 (1
I .
3) On a :
- 2 3 3
2
) (
2 )
1 ( ) 2 ,
(x y x x y
x r f
+ +
= −
∂
= ∂
- 3
2
) ( ) 2 ,
(x y x y
x y s f
= +
∂
∂
= ∂
- 2 3 3
2
) (
2 )
1 ( ) 2 ,
(x y y x y
y t f
+ +
= −
∂
= ∂ .
En )
3
;1 3 (1
I , on a
2
= 27
r ,
4
= 27 s et
2
= 27 t .
Ainsi, ) 0
16 1 4 (1 272
2 = − >
−s
rt donc f admet un extremum local en I.
De plus, r>0donc il s’agit d’un minimum local.
4) a) Comme 1−v=b+r,on a E(X)= f(b,r)−2
b) E( X)est minimale lorsque
3
=1
=
=r v
b . C’est donc là qu’on aura « en moyenne » le plus tôt le premier changement de couleur.
Partie III :
1) 9ln(3)
1 )
3 ln(
1 )
3 ln(
1 )
3 ln(
1 )
3 ln(
1 3
1 ln(3) 2ln(3) 2ln(3)
2 ) 3 ln(
2
) 3 ln(
2 = − + → =
−
=
=
∫
− − − − →+∞ −∫
dt e dt e e M e M eM M t t
M
t .
Ainsi,
∫
2+∞3
1t dtconverge et vaut ) 3 ln(
9 1 .
2) •g est positive sur R
•g est continue par morceaux sur R
• +∞
∫ ∫
∞
−
∞
+ = =
= 2 1
3 1 ) 1
( αα
α dt
dt t
g t
g est donc bien une densité de probabilité.
3) •
∫
−2∞tg(t)dt =∫
−2∞t×0dt=0∫ ∫
∫
− − + −
−
=
= M M t
M t M t
dt e t e
dt te dt
t
tg 2 2
) 3 ln(
2 ) 3 ln(
) 3 ln(
2 ln(3)
1 )
3 ) ln(
( (par intégration par parties)
2 2 2
)) 3 (ln(
9
1 ) 3 ln(
2 )
3 ln(
3 1 )
3 ln(
3 1 )
3 ln(
1 ) 3 ln(
3 2 )
3 ln(
3
+
→
− +
+ +
−
= MM M M→+∞
On en déduit que
) 3 ln(
2 1 )) 3 (ln(
9
1 ) 3 ln(
) 2 3 ln(
9 )
(Y = × +2 = +
E .
4) a) Z prend ses valeurs dans N\{0 ;1}.
,
≥2
∀k P(Z =k)= P(k≤Y <k+1)=
∫
kk+1g(t)dt. Ork k k
k k t
k k t
k g t dt e dt e
=
−
=
−
=
=
+ + − −
+
∫
∫
36 1 3 1 1 3 9 1 )
3 ln(
) 1 3 ln(
9 )
3 ln(
9 ) (
1 ) 3 1 ln(
) 3 1 ln(
b) Pour
3
=1
=
=r v
b , on a ∀k ≥2, ( ).
3 6 1 3) 1 1 3 ( 3 1 ) (
1
k Z P k
X P
k k
=
=
=
−
=
=
−
Ainsi, dans ce cas, X et Z ont la même loi de probabilité.
