Problème G1917 : Des urnes et des boules
Enoncé : Puce dispose de trois lots de boules rouges, bleues et vertes. Il met dans une même urne les boules rouges et bleues (à l’exclusion des boules vertes) et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a exac- tement une chance sur deux de tirer deux boules de même couleur. Il met ensuite dans l’urne les boules bleues et vertes (à l’exclusion des boules rouges) et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a à nouveau exactement une chance sur deux de tirer deux boules de même couleur. Il met enfin toutes les boules dans l’urne et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a une probabilité de tirer deux boules de même couleur égale à 11/32.
Q1 : Déterminer le nombre de boules bleues.
Q2 : Calculer la probabilité d’obtenir deux boules de même couleur quand Puce met dans l’urne les boules rouges et vertes (à l’exclusion des boules bleues)
Soient r,bet v les nombres respectifs de boules rouges bleues et vertes.
La probabilité de tirer des boules de couleurs différentes lorsque l’on ne met pas les boules vertes est (r+b)(r+b−1)2rb . Pour que cette probabilité soit 12, il faut donc quer+b= (r−b)2. En posantd=r−b, on a doncr= d(d+1)2 et b= d(d−1)2 .
Le même raisonnement que précédemment permet de trouverv= (d−1)(d−2)2 . La probabilité d’avoir deux boules de couleurs distinctes lorsque l’on met toutes les boules est donc f(d) = 3d2d(d−1)2−3d+2). L’écriture f(d) = 2
3+d(d−1)2
prouve que cette fonction ded est strictement croissante sur [1,+∞[; il ne peut y avoir qu’une seule solution avec d > 0 (celle avec d < 0 revient à échanger le rouge et le vert). Comme on veut que ce nombre soit égal à 2132 on se dit qu’il faut essayerd= 7 et bingo. Donc :
Q1 : il y a 21 boules bleues.
Q2 : la probabilité de tirer deux boules de même couleur si on oublie les bleues est1−2043 = 2343
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