G1917 – Des urnes et des boules (1ère épisode) [*** à la main]
Puce dispose de trois lots de boules rouges, bleues et vertes.
Il met dans une même urne les boules rouges et bleues (à l’exclusion des boules vertes) et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a exactement une chance sur deux de tirer deux boules de même couleur.
Il met ensuite dans l’urne les boules bleues et vertes (à l’exclusion des boules rouges) et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a à nouveau exactement une chance sur deux de tirer deux boules de même couleur.
Il met enfin toutes les boules dans l’urne et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a une probabilité de tirer deux boules de même couleur égale à 11/32.
Q₁ Déterminer le nombre de boules bleues.
Q₂ Calculer la probabilité d’obtenir deux boules de même couleur quand Puce met dans l’urne les boules rouges et vertes (à l’exclusion des boules bleues)
Solution proposée par Daniel Collignon
Q₁
Nous avons les relations suivantes : (C(2,r)+C(2,b))/C(2,r+b) = 1/2 (C(2,b)+C(2,v))/C(2,b+v) = 1/2
(C(2,r)+C(2,b)+C(2,v))/C(2,r+b+v) = 11/32
La première se ramène à l'équation r² - (1+2b)r + b(b-1) = 0 de discriminant (1+2b)²-4b(b-1) = 8b+1.
8b+1 = d² <=> b = (d-1)(d+1)/8 d=4k+/-1 : b=(2k+/-1)2k/2
Dans les 2 cas, b est un nombre triangulaire : b = t_n = n(n+1)/2, de sorte que 8b+1 = 4n(n+1)+1 = (2n+1)² Alors r = ((1+2b)+/-d)/2
D'où r = (n²+n+1)+/-(2n+1))/2
r = (n+1)(n+2)/2 = t_{n+1} ou r = n(n-1)/2 = t_{n-1}
La deuxième relation s'obtient à partir de la première en substituant r par v.
Il reste 4 cas à étudier, que nous pouvons réduire à 3, quitte à inverser le rôle de r et v dans le 2ème cas.
Pour cela, on substitue les valeurs de b, r et v en fonction de n dans la troisième relation.
A noter que 4b(b-1) = n²(n+1)² - 2n(n+1) = n(n+1)(n(n+1)-2) = (n+2)(n+1)n(n-1), d'où C(2,b) = 3C(4,n+2)
r = t_{n+1} = v : 32n(3n+5) = 11(3n+1)(3n+4) => 3n²+5n+44 > 0 : pas de solution
r = t_{n+1}, v = t_{n-1} : 32(n²+n+2) = 11(3n²+3n+2) => (n-6)(n+7)=0, d'où n=6 et donc b=21 r = t_{n-1} = v : 32(n+1)(3n-2) = 11(3n-1)(3n+2) => 3n²+n+42 > 0 : pas de solution
Q₂
Alors {r,v}={15,28}, d'où la probabilité cherchée : (C(2,r)+C(2,v))/C(2,r+v) = 23/43 > 1/2
